Mouvement brownien standard, fractionnaire et multifractionnaire

Mouvement brownien standard, fractionnaire et
multifractionnaire
Joachim LEBOVITS
Laboratoire d’Analyse, Géométrie et Applications
Journée Mathématiques en mouvement
Université Paris I - Panthéon-Sorbonne, Paris le 28 Mai 2014
Joachim LEBOVITS (LAGA, P.XIII)
MBs,f,m & distributions stochastiques
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Mon parcours
1999-2012: Licence & Masters à l’Université Pierre & Marie Curie
(Paris VI)
Agrégation de mathématiques
Doctorat de probabilités à l’École Centrale Paris & à l’Université
Pierre et Marie Curie (Paris VI)
Post-doctorat à l’Université Ruprecht Karls de Heidelberg, Allemagne
Sep. 2013: Maître de conférences à l’université Paris XIII
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Outline of the presentation
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Du jeu de pile ou face au mouvement brownien
Motivations
Variable aléatoire gaussienne
Construction du mouvement brownien
2
Mouvements brownien standard, fractionnaire et multifractionnaire
Le mouvement brownien (standard)
Le mouvement brownien fractionnaire
Le mouvement brownien multifractionnaire
3
Identification du paramètre H caractérisant un mBf
Estimation du paramètre H caractérisant un fBm
4
Bibliographie & conseils
Bibliographie
Conseils
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Du jeu de pile ou face au mouvement brownien
Motivations
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Du jeu de pile ou face au mouvement brownien
Motivations
Variable aléatoire gaussienne
Construction du mouvement brownien
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Mouvements brownien standard, fractionnaire et multifractionnaire
Le mouvement brownien (standard)
Le mouvement brownien fractionnaire
Le mouvement brownien multifractionnaire
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Identification du paramètre H caractérisant un mBf
Estimation du paramètre H caractérisant un fBm
4
Bibliographie & conseils
Bibliographie
Conseils
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Du jeu de pile ou face au mouvement brownien
Motivations
Motivations: A quoi servent les probabilités?
Nombreuses sont les applications des probabilités en sciences aussi qu’en
dehors.
Physique, mathématiques, images,....
Modélisation:
Modéliser et “prédire” l’évolution du relief d’une montagne (2D/3D) au
cours du temps.
Modéliser et “prédire” l’évolution du cours d’un actif financier au cours
du temps.
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Du jeu de pile ou face au mouvement brownien
Variable aléatoire gaussienne
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Du jeu de pile ou face au mouvement brownien
Motivations
Variable aléatoire gaussienne
Construction du mouvement brownien
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Mouvements brownien standard, fractionnaire et multifractionnaire
Le mouvement brownien (standard)
Le mouvement brownien fractionnaire
Le mouvement brownien multifractionnaire
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Identification du paramètre H caractérisant un mBf
Estimation du paramètre H caractérisant un fBm
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Bibliographie & conseils
Bibliographie
Conseils
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Du jeu de pile ou face au mouvement brownien
Variable aléatoire gaussienne
Variable aléatoire gaussienne
On souhaite modéliser un jeu consistant à lancer une pièce de monnaie
(pile ou face) de façon équitable.
Soit Xi le résultat du i ème lancé: Xi = 1 si pile et Xi =
1 si face.
On a donc P(Xi = 1) = 1/2 = P(Xi =
1).
P
On note Sn := X1 + X2 + · · · + Xn = nk=1 Xk
Théorème (De Moivre 1733)
Il existe une variable, notée N , telle que: pour tout réel a on ait:
P
Sn
p
n
6a
! P {N 6 a}
n!+1
On dit que N est une variable aléatoire gaussienne.
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Du jeu de pile ou face au mouvement brownien
Variable aléatoire gaussienne
On connaît la variable aléatoire gaussienne N puisque l’on connaît la valeur
de la probabilité P {N 6 a}, pour tout a.
1
0.5
0
−4
−2
0
2
4
Ainsi, on a: P{N 6 0, 32} = 0, 3745; P{N 6 3, 29} = 0, 9995.
Sn
Autrement dit, pour n grand, notre “fortune renormalisée” i.e. p
” sera
n
inférieure à 3, 29 e avec une probabilité de 99,95%.
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Du jeu de pile ou face au mouvement brownien
Construction du mouvement brownien
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Du jeu de pile ou face au mouvement brownien
Motivations
Variable aléatoire gaussienne
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Mouvements brownien standard, fractionnaire et multifractionnaire
Le mouvement brownien (standard)
Le mouvement brownien fractionnaire
Le mouvement brownien multifractionnaire
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Identification du paramètre H caractérisant un mBf
Estimation du paramètre H caractérisant un fBm
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Bibliographie & conseils
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Du jeu de pile ou face au mouvement brownien
Construction du mouvement brownien
Le mouvement brownien
Soient N1 , N2 , N3 , · · · une famille de variables aléatoires gaussiennes
(n)
(indépendantes). Pour tout entier n, on définit la fonction t 7! Bt en
posant:
n
X
(n)
Bt :=
ak (t) Nk ,
k=0
où t 7! ak (t) est une fonction déterministe du temps qui est dérivable.
(n)
Pour tout t, Bt converge vers un élément noté Bt , lorsque n ! +1. On
le note
+1
X
Bt :=
ak (t) Nk .
k=0
La famille de variables aléatoires gaussiennes (Bt )t2R+ s’appelle le
mouvement brownien.
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MBs, mBf & mBm
Le mouvement brownien (standard)
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Motivations
Variable aléatoire gaussienne
Construction du mouvement brownien
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Mouvements brownien standard, fractionnaire et multifractionnaire
Le mouvement brownien (standard)
Le mouvement brownien fractionnaire
Le mouvement brownien multifractionnaire
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Identification du paramètre H caractérisant un mBf
Estimation du paramètre H caractérisant un fBm
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Bibliographie & conseils
Bibliographie
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MBs, mBf & mBm
Le mouvement brownien (standard)
Objet universel en théorie des probabilités, le mouvement brownien jouit de
nombreuses propriétés remarquables.
Question: A quoi ressemble la représentation graphique de t 7! Bt ?
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MBs, mBf & mBm
Le mouvement brownien (standard)
0.5
Trajectoire d’un mouvement brownien
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
0
200
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400
600
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800
1000
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MBs, mBf & mBm
Le mouvement brownien (standard)
Des problèmes lorsque l’on souhaite modéliser un certain nombres de
phénomènes:
le mBs est à accroissements indépendants
sa régularité est constante au cours du temps et vaut 1/2.
Pbm: on ne peut modéliser que des phénomènes dont la régularité est
constante au cours du temps.....
Essayons autre chose que le mouvement brownien!
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MBs, mBf & mBm
Le mouvement brownien fractionnaire
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Du jeu de pile ou face au mouvement brownien
Motivations
Variable aléatoire gaussienne
Construction du mouvement brownien
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Mouvements brownien standard, fractionnaire et multifractionnaire
Le mouvement brownien (standard)
Le mouvement brownien fractionnaire
Le mouvement brownien multifractionnaire
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Identification du paramètre H caractérisant un mBf
Estimation du paramètre H caractérisant un fBm
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Bibliographie & conseils
Bibliographie
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MBs, mBf & mBm
Le mouvement brownien fractionnaire
Un processus gaussien plus flexible et général que le mBs
(A. Kolmogorov, 1949): Trajectoires de trois mBf
fBm avec H = 0.3
1
0. 5
0
-0. 5
-1
-1. 5
0
200
400
600
800
1000
1200
1000
1200
1000
1200
fBm avec H = 0.5
0. 5
0
-0. 5
-1
-1. 5
-2
-2. 5
0
200
400
600
800
fBm avec H = 0.8
2. 5
2
1. 5
1
0. 5
0
0
200
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400
600
800
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MBs, mBf & mBm
Le mouvement brownien fractionnaire
Problèmes & inconvénients de l’emploi du fBm
A propos du fBm
le fBm est caractérisé par un paramètre H 2 (0, 1).
(H)
même construction que celle du mBs avec ak (t) au lieu de ak (t)
Pbm: on ne peut modéliser que des phénomènes dont la régularité est
constante au cours du temps (même si on peut la déterminer à priori).....
Essayons autre chose que le mouvement brownien fractionnaire!
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MBs, mBf & mBm
Le mouvement brownien multifractionnaire
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Motivations
Variable aléatoire gaussienne
Construction du mouvement brownien
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Mouvements brownien standard, fractionnaire et multifractionnaire
Le mouvement brownien (standard)
Le mouvement brownien fractionnaire
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Estimation du paramètre H caractérisant un fBm
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Bibliographie & conseils
Bibliographie
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MBs, mBf & mBm
Le mouvement brownien multifractionnaire
Représentations graphiques de mBm B h pour plusieurs
fonctions h différentes
mBm with h(t) := 0.1 + 0.8t
1
0. 5
0
-0. 5
-1
-1. 5
-2
0
200
400
600
800
1000
1200
mBm with h(t) := 0.5 + 0.3 sin(4⇡t)
0. 5
0
-0. 5
-1
-1. 5
-2
-2. 5
0
200
400
600
800
mBm with h(t) := 0.3 + 0.3(1 + exp(
1000
1200
100(t 0.7)) ) 1
1. 5
1
0. 5
0
-0. 5
-1
0
200
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400
600
800
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1000
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Identification du paramètre H caractérisant un mBf
Estimation du paramètre H caractérisant un fBm
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Le mouvement brownien (standard)
Le mouvement brownien fractionnaire
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Estimation du paramètre H caractérisant un fBm
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Conseils
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Identification du paramètre H caractérisant un mBf
Estimation du paramètre H caractérisant un fBm
Retour au mBf?
Comment déterminer la fonction h que l’on va devoir prendre pour la
modélisation? (2010 pr une réponse!)
revenons au mBf et à H.
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Identification du paramètre H caractérisant un mBf
Estimation du paramètre H caractérisant un fBm
Comment estimer le paramètre H caractérisant un mBf?
Méthode de la valeur absolue
(B H )t2R+ étant un mouvement brownien fractionnaire, on observe des
réalisations de B H à différents instants; que l’on note: B1H , B2H , · · · BnH . On
note:
X1 := B1H , X2 := B2H
B1H , · · · , Xn := BnH
BnH 1 .
Pour des entiers k et m, on note:
P
n
X m (k) := m1 km
i=(k 1)m Xi ; k = 1, 2, · · · , [ m ]
P
Xn := n1 ni=1 Xi .
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Identification du paramètre H caractérisant un mBf
Estimation du paramètre H caractérisant un fBm
Identification du paramètre H caractérisant un mBf
Posons:
Im :=
[n/m]
1 X
|X m (k)
n/m
Xn |.
k=1
Grâce aux propriétés d’invariance du mouvement brownien fractionnaire, on
sait que
lim
m!+1
Im
⇡
m!+1
mH
1
.
Donc on connaît une façon d’identifier le paramètre H, qui caractérise un
mouvement brownien fractionnaire car:
1 + ln
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Im
m
⇡
m!+1
H.
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Bibliographie & conseils
Bibliographie
Références bibliographiques sur le métier & livres de
vulgarisation
Villani C. (2012), Théorème vivant, Grasset.
Sing S. (1999), Le dernier théorème de Fermat, Hachette littérature.
Sing S. (2005), Le roman du Big Bang, Jean-Claude Lattès.
Feynman R.P. (2007). Vous voulez rire Monsieur Feynman!, Odile Jacob.
Gray, Jeremy (2004). Le défi de Hilbert, Dunod.
Certains sites internet permettent de regarder en ligne des conférences de mathématique
de niveaux très divers. Attention aux hurluberlus!....
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Bibliographie & conseils
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Bibliographie & conseils
Conseils
Ne pas hésiter à aller voir les chercheurs et enseignants-chercheur:
séminaires, rencontres thématiques, fête de la science,....
Que ce soit dans le milieu de la recherche académique, dans le monde
de l’industrie, de la banque,...
Une bonne formation en mathématique est toujours appréciée et est
relativement facile à valoriser (statisticiens notamment).
La carrière de chercheur et d’enseignant-chercheur permet de
découvrir des personnes de tous pays et de toute nationalité. Il permet
aussi de voyager!
Faire des mathématiques n’est jamais une perte de temps; au contraire!
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