Cours de Troisi`eme / Arithmétique

Cours de Troisième / Arithmétique
E. Dostal
juillet 2014
Table des matières
1 Arithmétique
1.1 Ensembles de Nombres . .
1.2 Nombres Entiers Naturels
1.3 Nombres rationnels . . . .
1.4 Calculs et Calculatrices .
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2
2
3
5
5
Chapitre 1
Arithmétique
1.1
Ensembles de Nombres
Définition 1
Pour information, les notations des ensembles suivants ne sont pas à connaitre par coeur.
• On note N, l’ensemble des entiers naturels (nombre entier positif, historiquement les premiers
nombres pour dénombrer avec des cailloux dans des boules de glaise).
N = {0; 1; 2; 3; ...; 163; ...}
• On note Z, l’ensemble des entiers relatifs (nombre entier avec un signe + ou −).
Z = {...; −367; ...; −1; 0; 1; 2; 3; ...; 163; ...}
• On note D, l’ensemble des décimaux (avec un nombre fini de chiffres après la virgule).
exple : − 3, 64 ∈ D
• On note Q, l’ensemble des rationnels (fraction de deux nombres entiers pq ).
exple :
5
∈Q
3
• On note R, l’ensemble des réels (tous les nombres rencontrés jusqu’ici).
exple : π = 3, 141592... ∈ R
2
√
Remarque 1 : π et 2 sont des nombres réels mais ne peuvent s’écrire comme fraction de deux
entiers (beaucoup ont cherché !), on dit qu’ils sont irrationnels.
Remarque 2 : On peut reconnaı̂tre un nombre rationnel à son écriture décimale (infinie si ce n’est un
décimal), qui a la particularité d’être périodique.
Méthode : Dire à quel ensemble un nombre appartient, c’est déterminer le plus petit ensemble qui
le contient. (en général, si la réponse n’est pas immédiate, il faut tenter de changer l’écriture du nombre
en tentant de le simplifier)
Exercice 1. A quel ensemble appartiennent les nombres suivants :
• 12 appartient à ........................................
8
appartient à ........................................
5
39
•
appartient à ........................................
13
22
•
appartient à ........................................
7
•
• 3, 14 appartient à ........................................
1.2
Nombres Entiers Naturels
1.2.1
diviseurs d’un entier naturel non nul
Définition 2 Soit n un entier naturel non nul.
p, un entier naturel, est un diviseur de n s’il existe un entier naturel k tel que n = pk
Remarque 1 : On dit aussi que n est divisible par p ou que n est un multiple de p.
3
Proposition 1
Soit n un entier naturel.
• n est divisible par 2 .................................................
• n est divisible par 3 .................................................
• n est divisible par 5 .................................................
Exemple et Méthode : Trouver les diviseurs de 72.
←- On essaye les divisions successives par les nombres entiers naturels (1,2, 3, 4 , ... )
72
1
2
36
3
24
4
18
6
12
8
9
On s’arrête lorsque le nombre de la colonne de droite est plus grand que celui de la colonne de gauche.
donc 72 admet ........ diviseurs qui sont, rangés dans l’ordre croissant :
Exercice 2.
Déterminer tous les diviseurs de 720
Définition 3 Soit a et b deux entiers naturels non nul.
k, un entier naturel, est appelé diviseur commun à a et b s’il est à la fois un diviseur de a et
un diviseur de b.
Exercice 3.
Déterminer tous les diviseurs communs à 72 et 720
Définition 4 Soit a et b deux entiers naturels non nul.
a et b sont premier entre eux signifie que 1 est le seul diviseur commun de a et b.
Exercice 4.
1. 72 et 720 sont-ils premiers entre-eux ?
2. 72 et 97 sont-ils premiers entre-eux ?
Définition 5
Soit a et b deux entiers naturels non nuls.
le PGCD de a est b est le Plus Grand Diviseur Commun.
Remarque 1 : PGCD en anglais se dit (greatest common divisor= GCD)
Remarque 2 : On note le PGCD de a et b PGCD(a ;b)
Exercice 5.
1. Quel est le PGCD(72 ;720) ?
2. Quel est le PGCD(72 ;97) ?
4
1.2.2
Algorithmes de recherche du PGCD
Algorithme par soustractions successives
Proposition 2 a et b sont deux entiers naturels non nuls avec a > b. Si d est un diviseur
commun de a et b alors d est un diviseur commun de b et a − b.
démonstration
Algorithme par divisions successives dit ”Algorithme d’Euclide”
Proposition 3 a et b sont deux entiers naturels non nuls avec a > b. Si d est un diviseur
commun de a et b alors d est un diviseur commun de b et r où a = bq + r (division euclidienne).
démonstration
1.3
Nombres rationnels
Définition 6 Une fraction est dite irréductible lorsque le PGCD de son numérateur et de son
dénominateur est 1.
Proposition 4
par leur PGCD.
1.4
1.4.1
Pour rendre une fraction
a
irréductible, il faut et suffit de diviser a puis b
b
Calculs et Calculatrices
Valeurs approchées
nombre : A = 1, 23456789
–
–
–
–
troncature à 4 décimales : 1,2345
valeur approchée à 10−4 par défaut : 1,2345
valeur approchée à 10−4 par excès : 1,2346
valeur arrondie à 10−4 : 1,2345 (car le chiffre suivant est > 5)
La calculatrice donne des arrondis !
1.4.2
Différentes écritures
Pour manipuler un nombre, on peut l’écrire de 3 manières :
écriture décimale
a × 10n avec n entier
b×
24357000
24357 × 103
10n
écriture scientifique
avec b n’ayant qu’un chiffre avant la virgule
2, 4357 × 107
Remarque : Ces deux dernières écritures sont pratiques pour des ordres de grandeur ou pour des
calculs.
1.4.3
Réduire une fraction
5