Cours de Troisi`eme / Arithmétique

Cours de Troisi`eme / Arithm´etique
E. Dostal
juillet 2014

Table des mati`eres
1 Arithm´etique 2
1.1 EnsemblesdeNombres...................................... 2
1.2 NombresEntiersNaturels .................................... 3
1.3 Nombresrationnels........................................ 5
1.4 CalculsetCalculatrices ..................................... 5
1

Chapitre 1
Arithm´etique
1.1 Ensembles de Nombres
D´efinition 1
Pour information, les notations des ensembles suivants ne sont pas `a connaitre par coeur.
•On note N, l’ensemble des entiers naturels (nombre entier positif, historiquement les premiers
nombres pour d´enombrer avec des cailloux dans des boules de glaise).
N={0; 1; 2; 3; ...; 163; ...}
•On note Z, l’ensemble des entiers relatifs (nombre entier avec un signe +ou −).
Z={...;−367; ...;−1; 0; 1; 2; 3; ...; 163; ...}
•On note D, l’ensemble des d´ecimaux (avec un nombre fini de chiffres apr`es la virgule).
exple : −3,64 ∈D
•On note Q, l’ensemble des rationnels (fraction de deux nombres entiers p
q).
exple : 5
3∈Q
•On note R, l’ensemble des r´eels (tous les nombres rencontr´es jusqu’ici).
exple : π= 3,141592... ∈R
2

Remarque 1 :πet √2 sont des nombres r´eels mais ne peuvent s’´ecrire comme fraction de deux
entiers (beaucoup ont cherch´e !), on dit qu’ils sont irrationnels.
Remarque 2 : On peut reconnaˆıtre un nombre rationnel `a son ´ecriture d´ecimale (infinie si ce n’est un
d´ecimal), qui a la particularit´e d’ˆetre p´eriodique.
M´ethode : Dire `a quel ensemble un nombre appartient, c’est d´eterminer le plus petit ensemble qui
le contient. (en g´en´eral, si la r´eponse n’est pas imm´ediate, il faut tenter de changer l’´ecriture du nombre
en tentant de le simplifier)
Exercice 1. A quel ensemble appartiennent les nombres suivants :
•12 appartient `a ........................................
•8
5appartient `a ........................................
•39
13 appartient `a ........................................
•22
7appartient `a ........................................
•3,14 appartient `a ........................................
1.2 Nombres Entiers Naturels
1.2.1 diviseurs d’un entier naturel non nul
D´efinition 2 Soit nun entier naturel non nul.
p, un entier naturel, est un diviseur de ns’il existe un entier naturel ktel que n=pk
Remarque 1 : On dit aussi que nest divisible par pou que nest un multiple de p.
3

Proposition 1 Soit nun entier naturel.
•nest divisible par 2.................................................
•nest divisible par 3.................................................
•nest divisible par 5.................................................
Exemple et M´ethode : Trouver les diviseurs de 72.
←-On essaye les divisions successives par les nombres entiers naturels (1,2, 3, 4 , ... )
1 72
2 36
3 24
4 18
6 12
8 9
On s’arrˆete lorsque le nombre de la colonne de droite est plus grand que celui de la colonne de gauche.
donc 72 admet ........ diviseurs qui sont, rang´es dans l’ordre croissant :
Exercice 2.
D´eterminer tous les diviseurs de 720
D´efinition 3 Soit aet bdeux entiers naturels non nul.
k, un entier naturel, est appel´e diviseur commun `a aet bs’il est `a la fois un diviseur de aet
un diviseur de b.
Exercice 3.
D´eterminer tous les diviseurs communs `a 72 et 720
D´efinition 4 Soit aet bdeux entiers naturels non nul.
aet bsont premier entre eux signifie que 1est le seul diviseur commun de aet b.
Exercice 4.
1. 72 et 720 sont-ils premiers entre-eux ?
2. 72 et 97 sont-ils premiers entre-eux ?
D´efinition 5 Soit aet bdeux entiers naturels non nuls.
le PGCD de aest best le Plus Grand Diviseur Commun.
Remarque 1 : PGCD en anglais se dit (greatest common divisor= GCD)
Remarque 2 : On note le PGCD de aet bPGCD(a ;b)
Exercice 5.
1. Quel est le PGCD(72 ;720) ?
2. Quel est le PGCD(72 ;97) ?
4