Produit scalaire, longueur et orthogonalité Algèbre linéaire I

Produit scalaire, longueur et orthogonalité
Algèbre linéaire I — MATH 1057 F
Julien Dompierre
Département de mathématiques et d’informatique
Université Laurentienne
Sudbury, 15 février 2011
Vecteurs et multiplications
Nom
Multiplication
par un scalaire
Notation
cu
Résultat
Vecteur
Autre nom
Page
28
Dot product
uT v = u · v
Cross product
375
u⊗v
117
Produit scalaire
(Produit interne)
Produit vectoriel
uT v
Scalaire
Vecteur
Produit tensoriel
(Produit externe)
u×v
uvT
Matrice
Produit scalaire (p. 178 dans Gareth Williams)
Définition
Soient u = (u1 , u2 , . . . , un ) et v = (v1 , v2 , . . . , vn ), deux vecteurs de
IRn . Le produit scalaire de u et v est noté u · v et est défini par
u · v = u1 v 1 + u2 v 2 + · · · + un v n .
Le produit scalaire assigne un nombre réel à chaque pair de
vecteurs de même dimension.
Produit scalaire (p. 375 dans David C. Lay)
Si u et v sont des vecteurs dans IRn , on peut considérer que u et v
sont des matrices colonnes de taille n × 1. Le vecteur transposé uT
est une matrice ligne de taille 1 × n, et le produit matricielle uT v
donne une matrice de taille 1 × 1, qu’on écrit comme un simple
nombre réel (un scalaire), sans crochets.
Définition
Soient u et v des vecteurs de IRn . Le nombre


v1


 v2 
T
u v = u1 u2 · · · un  ..  = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn
 . 
vn
est appelé le produit scalaire, ou le produit interne de u et v. Il
est noté u · v (ce qui explique le nom dot product en anglais).
Propriétés du produit scalaire (p. 376)
Théorème (1)
Soient u, v et w des vecteurs dans IRn , et soit c un scalaire. Alors
a. u · v = v · u
b. (u + v) · w = u · w + v · w
c. (cu) · v = c(u · v) = u · (cv)
d. u · u ≥ 0, et u · u = 0 si et seulement si u = 0
Appliquées de façon répétée, les propriétés (b) et (c) conduisent à
la très utile règle suivante :
(c1 u1 + · · · + cp up ) · w = c1 (u1 · w) + · · · + cp (up · w)
La norme d’un vecteur (p. 376)
Définition
La norme euclidienne (ou longueur) d’un vecteur
v = (v1 , v2 , . . . , vn ) dans IRn est le scalaire positif ou nul kvk défini
par
q
√
kvk = v · v = (v1 )2 + (v2 )2 + · · · + (vn )2 .
Le carré de cette définition est souvent utilisé :
kvk2 = v · v.
Quel que soit le scalaire c, la norme de cv est égale à |c| fois la
norme de v, ce qui s’écrit
kcvk = |c| kvk.
Vecteur unitaire (p. 377)
Définition
Un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme est 1.
Si v est un vecteur non nul, alors le vecteur
u=
1
v
kvk
est un vecteur unitaire dans la même direction que v.
Définition
Construire u = v/kvk à partir de v de cette manière s’appelle
normer v.
Distance entre deux points (p. 378)
Définition
Soient a = (a1 , a2 , . . . , an ) et b = (b1 , b2 , . . . , bn ), deux points
dans IRn . La distance entre a et b, que l’on écrit d(a, b) (ou
dist(a, b)), est la norme du vecteur a − b, autrement dit,
d(a, b) = ka − bk.
x2
x2
b
b
a
a
x1
x1
−b
a−b
p
d(a, b) = ka − bk = (a − b) · (a − b)
q
(a1 − b1 )2 + · · · + (an − bn )2 .
=
Propriétés de la norme et de la distance
Propriétés de la norme
Propriétés de la distance
kuk ≥ 0
La longueur d’un vecteur ne
peut être négative.
d(a, b) = ka − bk = kuk ≥ 0,
où u = a − b. La distance entre
deux points a et b ne peut être
négative.
kuk = 0 ssi u = 0
La longueur d’un vecteur est
nulle si et seulement si le vecteur est nul.
d(a, b) = 0 ssi a = b.
La distance entre deux points a
et b est nulle ssi les deux points
coı̈ncident.
Propriétés de la norme et de la distance
Propriétés de la norme
Propriétés de la distance
d(a, b) = ka − bk
kcuk = |c| kuk
La longueur de cu est |c|
fois la longueur de u.
= k(−1) (b − a)k
= | − 1|kb − ak
= kb − ak = d(b, a).
La distance entre a et b est la même
que la distance entre b et a.
Les vecteurs orthogonaux (p. 379)
Définition
Deux vecteurs u et v de IRn sont orthogonaux (l’un à l’autre) si
u · v = 0.
Note : Le vecteur nul 0 est orthogonal à n’importe quel vecteur de
IRn puisque 0 · v = 0T v = 0 pour tout v.
M
A
ku − vk
r
r
B
v
0
u
ku − (−v)k
−v
d (u, −v) = d (u, v) (p. 379)
[d(u, −v)]2 = ku − (−v)k2 = ku + vk2
= (u + v) · (u + v)
= u · (u + v) + v · (u + v)
= (u + v) · u + (u + v) · v
= u·u+v·u+u·v+v·v
= u·u+u·v+u·v+v·v
= kuk2 + kvk2 + 2(u · v)
[d(u, v)]2 = ku − vk2
= (u − v) · (u − v)
= u · (u − v) − v · (u − v)
= (u − v) · u − (u − v) · v
= u·u−v·u−u·v+v·v
= u·u−u·v−u·v+v·v
= kuk2 + kvk2 − 2(u · v)
définition, p. 378
définition, p. 376
théorème 1(b), p. 376
théorème 1(a), p. 376
théorème 1(b), p. 376
théorème 1(a), p. 376
définition, p. 376
définition, p. 378
définition, p. 376
théorème 1(b), p. 376
théorème 1(a), p. 376
théorème 1(b), p. 376
théorème 1(a), p. 376
définition, p. 376
d (u, −v) = d (u, v) (p. 379)
On a donc que
d(u, −v) = d(u, v)
si et seulement si
kuk2 + kvk2 + 2(u · v) = kuk2 + kvk2 − 2(u · v)
si et seulement si
2(u · v) = −2(u · v)
si et seulement si
u · v = 0.
Le théorème de Pythagore (p. 380)
Théorème (2)
Soient u et v des vecteurs dans IRn .
u · v = 0 si et seulement si ku + vk2 = kuk2 + kvk2 .
Démonstration.
ku + vk2 = (u + v) · (u + v)
= u · u + 2u · v + v · v
= kuk2 + 2u · v + kvk2
Donc ku + vk2 = kuk2 + kvk2 si et seulement si u · v = 0.
Angle entre deux vecteurs (p. 381)
Définition
Soient u et v deux vecteurs non nuls de IRn . Le cosinus de l’angle
θ entre ces deux vecteurs est
cos(θ) =
u
u·v
,
kuk kvk
0 ≤ θ ≤ π.
ku − vk
kuk
v
θ
kvk
Loi des cosinus c 2 = a2 + b 2 − 2ab cos(θ)
Angle entre deux vecteurs (p. 381)
Démonstration (n = 2).
c 2 = a2 + b 2 − 2ab cos(θ)
ku − vk2 = kuk2 + kvk2 − 2kuk kvk cos(θ)
1
kuk kvk cos(θ) =
kuk2 + kvk2 − ku − vk2
2
1
2
2
2
2
2
2
(u1 + u2 ) + (v1 + v2 ) − (u1 − v1 ) +(u2 − v2 )
=
| {z }
2
1 2
=
u1 + u22 + v12 + v22 − u12 + v12 − 2u1 v1 + u22 + v22 − 2u2 v2
2
= u1 v1 + u2 v2
= u·v
Inégalité de Cauchy-Schwartz (p. 432)
Théorème
Si u et v sont des vecteurs dans IRn alors
|u · v| ≤ kuk kvk.
Ici, |u · v| signifie la valeur absolue de u · v.
Démonstration.
Pour tout angle θ, on a −1 ≤ cos(θ) ≤ 1, soit | cos(θ)| ≤ 1. Donc
u·v kuk kvk ≤ 1
|u · v| ≤ kuk kvk
Inégalité triangulaire (p. 433)
Théorème
Soient u et v des vecteurs de IRn . Alors
ku + vk ≤ kuk + kvk
Démonstration.
ku + vk2 = (u + v) · (u + v)
= u · u + 2u · v + v · v
= kuk2 + 2u · v + kvk2
≤ kuk2 + 2|u · v| + kvk2
≤ kuk2 + 2kuk kvk + kvk2
2
= (kuk + kvk)
(Cauchy-Schwartz)
Propriétés de la norme et de la distance
Propriété de la norme
ku + vk ≤ kuk + kvk
Inégalité triangulaire.
Propriété de la distance
d(a, b) = ka − bk
= ka − c + c − bk
≤ ka − ck + kc − bk
= d(a, c) + d(c, b)
Inégalité triangulaire.
À retenir
Produit scalaire u · v
Norme d’un vecteur kuk =
Distance entre deux points.
√
u · u.
Deux vecteurs u et v sont orthogonaux ssi u · v = 0.