Produit scalaire, longueur et orthogonalité Algèbre linéaire I

Produit scalaire, longueur et orthogonalit´e
Alg`ebre lin´eaire I — MATH 1057 F
Julien Dompierre
D´epartement de math´ematiques et d’informatique
Universit´e Laurentienne
Sudbury, 15 f´evrier 2011

Vecteurs et multiplications
Nom Notation R´esultat Autre nom Page
Multiplication cuVecteur 28
par un scalaire
Produit scalaire uTvScalaire Dot product 375
(Produit interne) uTv=u·v
Produit vectoriel u×vVecteur Cross product
Produit tensoriel uvTMatrice u⊗v117
(Produit externe)

Produit scalaire (p. 178 dans Gareth Williams)
D´efinition
Soient u= (u1,u2,...,un)et v= (v1,v2,...,vn), deux vecteurs de
IRn. Le produit scalaire de uet vest not´e u·vet est d´efini par
u·v=u1v1+u2v2+···+unvn.
Le produit scalaire assigne un nombre r´eel `a chaque pair de
vecteurs de mˆeme dimension.

Produit scalaire (p. 375 dans David C. Lay)
Si uet vsont des vecteurs dans IRn, on peut consid´erer que uet v
sont des matrices colonnes de taille n×1. Le vecteur transpos´e uT
est une matrice ligne de taille 1 ×n, et le produit matricielle uTv
donne une matrice de taille 1 ×1, qu’on ´ecrit comme un simple
nombre r´eel (un scalaire), sans crochets.
D´efinition
Soient uet vdes vecteurs de IRn. Le nombre
uTv=u1u2··· un
v1
v2
.
.
.
vn
=u1v1+u2v2+···+unvn
est appel´e le produit scalaire, ou le produit interne de uet v. Il
est not´e u·v(ce qui explique le nom dot product en anglais).

Propri´et´es du produit scalaire (p. 376)
Th´eor`eme (1)
Soient u,vet wdes vecteurs dans IRn, et soit c un scalaire. Alors
a. u·v=v·u
b. (u+v)·w=u·w+v·w
c. (cu)·v=c(u·v) = u·(cv)
d. u·u≥0, et u·u= 0 si et seulement si u=0
Appliqu´ees de fa¸con r´ep´et´ee, les propri´et´es (b) et (c) conduisent `a
la tr`es utile r`egle suivante :
(c1u1+···+cpup)·w=c1(u1·w) + ···+cp(up·w)