Exercices de probabilité (26 mars 2015)

Exercices de probabilité (26 mars 2015)
— A : « obtenir la fac numérotée 1 »
— B : « obtenir un multiple de 2 »
On a A = {1} et B = {2 ; 4 ; 6}
1
3 1
p(A) =
et p(B ) = =
6
6 2
p(A) É p(B ) mais A n’est pas inclus dans B !
I
Quel est le nombre manquant pour que le tableau cidessous définisse une loi de probabilité.
xi
pi
2
0,3
8
0,5
9
0,2
car la somme de toutes les probabilités est égale à 1.
III Le rap en question
Dans un groupe de 60 personnes, 34 aiment le rap, 24
ont plus de 20 ans, et parmi ces 24 personnes, 8 aiment le
Pour chacune des propriétés suivantes, dire si elle est rap.
vraie ou fausse et justifier la réponse :
1. Recopier et compléter le tableau suivant.
II
Âge
1. On lance deux dés marqués chacun de 1 à 6.
Goût
a) Si A est l’événement « obtenir un double six »,
alors A est l’événement « n’obtenir aucun six ».
FAUX : A est l’événement « obtenir au plus un six »
(donc un six ou aucun six).
b) Si B est l’événement « obtenir un 4 et un 5 », alors
B est l’événement « n’obtenir ni 4 ni 5 ».
FAUX B EST L’ÉVÉNEMENT « Ne pas obtenir un 4
ou ne pas obtenir un 5 »
2. a) Si p(A ∩ B ) = 0, alors p(A ∪ B ) = p(A) + p(B )
VRAI : En effet : p(A ∪ B ) = p(A) + b(B ) − p(A ∩ B )
= p(A) + p(B ) − 0 = p(A) + p(B )
Aiment le rap
N’aiment pas le rap
Total
Moins
de 20
ans
26
10
36
Plus de
20 ans
Total
8
16
24
34
26
60
2. On rencontre au hasard une personne de ce groupe.
Calculer la probabilité de chacun des événements :
— A : « la personne a plus de 20 ans » ;
— B : « la personne n’aime pas le rap » :
— C .« la personne a plus de 20 ans et n’aime pas le
rap ».
b) Si p(A ∪ B ) = p(A) + p(B ), alors p(A ∩ B ) = 0
VRAI, CAR P (A ∩ B ) = p(A) + p(B ) − p(A ∪ B )
3. a) Si A ⊂ B , alors p(A) É p(B ). (⊂ signifie « est inclus
dans »).
A ⊂ B si et seulement si tous les éléments de A appartiennent à B.
VRAI
• p(A) =
24 12 × 2
2
=
=
.
60 12 × 5
5
• p(B ) =
13
26
=
60
30
• p(C ) =
4
16
=
60
15
Première méthode : p(B ) est la somme des proba- IV
bilités de tous les événements élémentaires de B ;
On lance deux dés normaux à six faces. On appelle m le
dans cette somme, on a la somme de tous les évéplus
petit des deux résultats obtenus.
nements élémentaires de A, donc p(A) É p(B ).
En dessinant un tableau à double entrée, donner la loi de
Deuxième méthode : Les éléments de B sont de probabilité modélisant cette expérience aléatoire.
deux sortes : ceux qui sont dans A et ceux qui ne
sont pas dans A, donc dans A.
On peut donc écrire B = (B ∩ A) ∪ (B ∩ A ; B ∩ A et
B ∩ A ont une intersection
³
´vide, donc
p(B ) = p(B ∩ A) + p B ∩ A .
On en déduit que p(B ∩ A) É p(B ).
Si A ⊂ B , B ∩ A = A ; on en déduit p(A) É p(B ).
Dé 1
Dé 2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1
2
3
3
3
3
1
2
3
4
4
4
1
2
3
4
5
5
1
2
3
4
5
6
b) Si p(A) É p(B ), alors A ⊂ B .
Contre-exemple : on mange un dé. L’univers as- Dans chaque case, on place le nombre m, minimum des
deux faces : par exemple, pour le couple (2 ; 4), le minisocié à cette expérience aléatoire est
′
mum est m = 2. Chaque case a la même probabilité qui est
Ω = {1 ; 2 ; 3 ; ; 5 ; 6}.
1
.
On considère les événements :
36
1
car il y a 8 chemins possibles et un
8
seul comportant trois « Pile ».
7
.
36
On en déduit la loi de probabilité de m est :
a) p(« a = 3 ») =
m = 3 apparaît sept fois, donc p(m = 3) =
1
11
26
xi
p (m = x i )
2
9
36
3
7
36
4
5
36
5
3
36
6
1
36
b) p(« a = 0 ») =
1
(cela revient à avoir trois « Face »)
8
3
car il y a trois chemins ne compor8
tant qu’un seul résultat « Face » : FPP ; PFP ; PPF
c) p(« a = 1 ») =
V Trois lancers
Une pièce bien équilibrée est lancée trois fois.
On désigne par a le nombre de fois où l’on a obtenu « pile ».
1. En utilisant un arbre de dénombrement, déterminer
la probabilité de chacun des événements :
Arbre :
P
P
b
b
P
b
F
b
P
b
F
b
P
b
F
b
P
b
F
b
F
b
b
P
b
F
b
F
b
2. Donner de deux manières la probabilité de l’événement « a = 2 » :
3
en comptant direc8
tement le nombre de chemins comptant deux résultats « Face ».
• Calcul direct : p(« a = 2 ») =
• On sait que la somme de toutes les probabilités
vaut 1, donc
£
¤
p(«µa = 2 ») = 1−
¶ p(« a = 0 ») + p(« a = 1 » + p(« a = 3 »)) =
1 3 1
1− + +
8 8 8
3
5
= 1− =
8
8