Exercices de probabilité (26 mars 2015)

Exercices de probabilité (26 mars 2015)
I
Quel est le nombre manquant pour que le tableau ci-
dessous définisse une loi de probabilité.
xi2 8 9
pi0,3 0,5 0,2
car la somme de toutes les probabilités est égale à 1.
II
Pour chacune des propriétés suivantes, dire si elle est
vraie ou fausse et justifier la réponse :
1. On lance deux dés marqués chacun de 1 à 6.
a) Si A est l’événement « obtenir un double six »,
alors A est l’événement « n’obtenir aucun six ».
FAUX : A est l’événement « obtenir au plus un six »
(donc un six ou aucun six).
b) Si B est l’événement « obtenir un 4 et un 5 », alors
B est l’événement « n’obtenir ni 4 ni 5 ».
FAUX BEST L’ÉVÉNEMENT « Ne pas obtenir un 4
ou ne pas obtenir un 5 »
2. a) Si p(A∩B)=0, alors p(A∪B)=p(A)+p(B)
VRAI : En effet : p(A∪B)=p(A)+b(B)−p(A∩B)
=p(A)+p(B)−0=p(A)+p(B)
b) Si p(A∪B)=p(A)+p(B), alors p(A∩B)=0
VRAI, CAR P(A∩B)=p(A)+p(B)−p(A∪B)
3. a) Si A⊂B, alors p(A)Ép(B). (⊂signifie « est inclus
dans »).
A⊂Bsi et seulement si tous les éléments de A ap-
partiennent à B.
VRAI
Première méthode : p(B) est la somme des proba-
bilités de tous les événements élémentaires de B ;
dans cette somme, on a la somme de tous les évé-
nements élémentaires de A, donc p(A)Ép(B).
Deuxième méthode : Les éléments de B sont de
deux sortes : ceux qui sont dans A et ceux qui ne
sont pas dans A, donc dans A.
On peut donc écrire B=(B∩A)∪(B∩A;B∩Aet
B∩Aont une intersection vide, donc
p(B)=p(B∩A)+p³B∩A´.
On en déduit que p(B∩A)Ép(B).
Si A⊂B,B∩A=A; on en déduit p(A)Ép(B).
b) Si p(A)Ép(B), alors A⊂B.
Contre-exemple : on mange un dé. L’univers as-
socié à cette expérience aléatoire est
Ω={1 ; 2 ; 3 ; ′; 5 ; 6}.
On considère les événements :
— A : « obtenir la fac numérotée 1 »
— B : « obtenir un multiple de 2 »
On a A={1} et B={2 ; 4 ; 6}
p(A)=1
6et p(B)=3 6=1 2
p(A)Ép(B) mais A n’est pas inclus dans B !
III Le rap en question
Dans un groupe de 60 personnes, 34 aiment le rap, 24
ont plus de 20 ans, et parmi ces 24 personnes, 8 aiment le
rap.
1. Recopier et compléter le tableau suivant.
Goût
Âge Moins
de 20
ans
Plus de
20 ans
Total
Aiment le rap 26 8 34
N’aiment pas le rap 10 16 26
Total 36 24 60
2. On rencontre au hasard une personne de ce groupe.
Calculer la probabilité de chacun des événements :
— A : « la personne a plus de 20 ans » ;
— B : « la personne n’aime pas le rap » :
— C .« la personne a plus de 20 ans et n’aime pas le
rap ».
•p(A)=24
60 =12×2 12×5=2 5.
•p(B)=26
60 =13 30
•p(C)=16
60 =4 15
IV
On lance deux dés normaux à six faces. On appelle mle
plus petit des deux résultats obtenus.
En dessinant un tableau à double entrée, donner la loi de
probabilité modélisant cette expérience aléatoire.
Dé 2
Dé 1 1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2
3 1 2 3 3 3 3
4 1 2 3 4 4 4
5 1 2 3 4 5 5
6 1 2 3 4 5 6
Dans chaque case, on place le nombre m, minimum des
deux faces : par exemple, pour le couple (2 ; 4), le mini-
mum est m=2. Chaque case a la même probabilité qui est
1
36.

m=3 apparaît sept fois, donc p(m=3) =7
36 .
On en déduit la loi de probabilité de mest :
xi1 2 3 4 5 6
p(m=xi)11
26
9
36
7
36
5
36
3
36
1
36
V Trois lancers
Une pièce bien équilibrée est lancée trois fois.
On désigne par ale nombre de fois où l’on a obtenu « pile».
1. En utilisant un arbre de dénombrement, déterminer
la probabilité de chacun des événements :
Arbre :
P
PP
F
FP
F
F
PP
F
FP
F
a) p(« a=3 ») =1
8car il y a 8 chemins possibles et un
seul comportant trois « Pile ».
b) p(« a=0 ») =1
8(cela revient à avoir trois « Face »)
c) p(« a=1 ») =3
8car il y a trois chemins ne compor-
tant qu’un seul résultat « Face » : FPP ; PFP ; PPF
2. Donner de deux manières la probabilité de l’événe-
ment « a = 2 » :
•Calcul direct :p(« a=2 ») =3
8en comptant direc-
tement le nombre de chemins comptant deux ré-
sultats « Face ».
•On sait que la somme de toutes les probabilités
vaut 1, donc
p(« a=2») =1−£p(« a=0 »)+p(« a=1 »+p(« a=3 »))¤=
1−µ1
8+3 8+1 8¶
=1−5
8=3 8