Chapitre 2 Les probabilités

Chapitre 2 Les probabilités
Objectifs du chapitre :
• Comprendre une expérience aléatoire (socle)
• Utiliser des notions élémentaires de probabilité (socle)
• Calculer des probabilités lors d'expériences aléatoires à une (socle) ou deux épreuves.
I. Notion de probabilité
1) Issues, arbre pondéré
Définition :
Une expérience est dite aléatoire lorsqu'elle a plusieurs résultats ou issues possibles et que l'on
ne peut pas prévoir avec certitude quel résultat se produira.
Remarque : aléatoire vient du latin alea qui signifie hasard.
Exemple :
On tourne la roue bien équilibrée ci-contre et on relève le numéro du secteur
qui s'arrête en face du repère.
Cette expérience est-elle aléatoire ? Justifie.
Oui car la roue est bien équilibrée donc on ne peut pas prédire à l'avance sur quel
secteur va s'arrêter la roue.
Quelles sont les issues possibles ? Les issues sont 1 ; 2 ; 3.
Complète les phrases suivantes :
2 secteurs sur 6 portent le numéro 1 donc il y a 2 chances sur 6 d'obtenir 1.
On dit que la probabilité de sortie du 1 est
2
6
soit
1
3
.
De même, la probabilité de sortie du 2 est
1
6
et celle de sortie du 3 est
3
6
soit
1
2
.
Construis l'arbre pondéré de cette expérience :
2
Propriétés :
• La probabilité d'une issue est un nombre compris entre 0 et 1.
On l'exprime généralement sous forme fractionnaire.
• La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire est égale à 1.
Exemple :
En reprenant l'exemple précédent, vérifier la dernière propriété. On a :
1
3+1 6+1 2=2 6+1 6+3 6=6 6=1
donc la somme des probabilités de toutes les issues est bien égale à 1.
2) Probabilité d'un événement
Définition :
Un événement est constitué par des issues d'une expérience aléatoire.
On dit qu'une de ces issues réalise l'événement.
Exemple :
Avec l'exemple précédent : on note S l'événement : « Sortie d'un nombre inférieur ou égal à 2 »
Par quelle(s) issue(s) est-il réalisé ? Par la sortie de 1 ; du 2.
1
1/3
3
1/6
1/2

Propriétés :
Avec un arbre pondéré, la probabilité d'un événement A est la somme des probabilités écrites sur
les branches conduisant aux issues qui réalisent A. On la note p(A).
Tout événement a une probabilité comprise entre 0 et 1.
Exemple :
Calcule la probabilité de l'événement S :
p(S)= 1
3+1 6=2 6+1 6=3 6=1 2
Propriété :
Lorsque les issues d'une expérience aléatoire ont toutes la même probabilité alors la probabilité d'un
événement est égale au quotient :
nombre d ' issues favorablesà l ' événement
nombre d ' issues possibles
Exemple :
On lance un dé non truqué à 6 faces numérotées de 1 à 6.
Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à 2 ?
Le dé n'est pas truqué donc toutes les faces ont la même probabilité d'être obtenue
(on dit qu'il y a équiprobabilité). Le nombre d'issues favorables à l'événement est 4
(obtenir un 3 ; un 4 ; un 5 ; un 6) et le nombre d'issues possibles est 6 (puisqu'il y a 6
faces numérotées de 1 à 6) donc la probabilité demandée est
4
6
soit
2
3
.
Vocabulaire :
Un événement est dit impossible s'il ne peut pas se produire : sa probabilité est égale à 0.
Un événement est dit certain s'il se produit nécessairement : sa probabilité est égale à 1.
Exemple :
En reprenant l'exemple de la roue, énonce un événement impossible et un événement certain.
Événement impossible : « obtenir zéro » ;
événement certain : « obtenir un nombre inférieur à 4.
3) Événements incompatibles ; événements contraires
Définition :
Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
Propriété :
Lorsque deux événements sont incompatibles, la probabilité pour que l'un ou l'autre se réalise est
égale à la somme des probabilités de ces deux événements.
Exemple :
En reprenant l'exemple de la roue :
Les événements A : « Sortie du 1 » et B : « Sortie d'un nombre pair » sont incompatibles.
Calculer p(A) et p(B) :
p(A)= 2
6=1 3
et
p(B)=1
6
La probabilité de la sortie du 1 ou d'un nombre pair est :
p(A ou B)=p(A)+ p(B)= 1
3+1 6=3 6=1 2
Définition :
L'événement contraire d'un événement A est celui qui se réalise lorsque A ne se réalise pas.
On le note
¯
A
ou non A.

Propriété :
La somme des probabilités d'un événement et de son contraire est égale à 1.
Donc
p(¯ A)+p(A)=1
.
Exemple :
En reprenant l'exemple de la roue :
B est l'événement « Sortie d'un nombre pair ».
Écrire l'événement contraire de B : « Sortie d'un nombre qui n'est pas pair » donc « sortie
d'un nombre impair ».
Calculer
p(¯ B)
:
p(¯ B)=1−p(B)=1−1
6=5 6
4) Fréquences et probabilités
Il y a des situations où la probabilité d'une issue ne peut pas se définir par des considérations
intuitives. Dans ce cas, en réalisant un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la
fréquence d'une issue a tendance à se stabiliser autour d'un nombre p, qui est la probabilité de cette
issue.
Exemple :
II. Expériences aléatoires à deux épreuves
Vocabulaire :
Sur l'arbre pondéré d'une expérience aléatoire à deux épreuves, une succession de deux branches
est appelée un chemin.
Propriété :
Avec l'arbre pondéré d'une expérience aléatoire à deux épreuves, la probabilité de l'issue auquel
conduit un chemin est égale au produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.
Exemple :
On réalise l'expérience aléatoire à deux épreuves suivantes :
on lance une pièce de monnaie équilibrée : on note si elle tombe sur pile (P) ou sur face (F) ;
ensuite, on tire au hasard une boule d'un sac contenant 9 boules (4 noires ; 2 rouges ; 3 vertes) et on
note sa couleur.
L'issue « la pièce est tombée sur pile et on a tiré une boule rouge du sac » est notée (P ; R)
a) Faire l'arbre pondéré de cette expérience.
b) En déduire la probabilité de l'issue (P ; R).
a) Comme la pièce est équilibrée et que la boule est tirée au hasard, on a donc
équiprobabilité.
Donc la probabilité d'obtenir Pile est
1
2
tout comme celle d'obtenir Face.
La probabilité de tirer une boule noire est
4
9
(car 4 boules noires parmi les 9 dans
le sac) celle de tirer une boule rouge
2
9
et celle de tirer une boule verte
3
9=1 3
.

On peut donc construire l'arbre pondéré suivant :
1re épreuve 2e épreuve
b) Pour obtenir la probabilité de l'issue (P ; R), on suit le chemin P puis R et on
multiplie les probabilités rencontrées sur chaque branche d'où
p(P ;R)=1
2×2 9=1 9
P
F
N
R
V
N
R
V
1/2
1/2
4/9
2/9
1/3
4/9
2/9
1/3