LPSP1209 - Syllabus d`Exercices (v2015)-original

LPSP 1209 – Syllabus d’exercices / Version 2015
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Faculté de psychologie et Institut de Statistique
Université Catholique de Louvain
LPSP1209 : STATISTIQUE II
INFERENCE SUR UNE OU DEUX VARIABLES
Syllabus d’exercices
Auteurs :
Bernadette Govaerts
Cedric Taverne
Titulaire : Bernadette Govaerts

LPSP 1209 – Syllabus d’exercices / Version 2015
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Introduction
Ce syllabus accompagne l’étudiant durant les TP réalisés « en salle » dans le cadre du cours
LPSP1209 – Statistique : Inférence sur une ou deux variables.
Le syllabus est organisé en chapitres correspondant aux séances de TP et aux échéances
intermédiaires. Veuillez vous référencer à l’échéancier disponible sur iCampus pour connaître les
exercices à réaliser obligatoirement.
Table des matières
Exercices de manipulation des tables .................................................................................................. 3!
TP 1 – Calcul et manipulation de probabilité ..................................................................................... 5!
TP 2 – V.A. normale, binomiale et TCL ............................................................................................. 8!
TP 3 – Exercices d’intégration de probabilité ................................................................................... 21!
Etude de cas de probabilité ............................................................................................................... 23!
TP 4 – Principes d’inférence sur une population normale ................................................................ 24!
TP 5 – Tests et intervalles sur deux populations normales ............................................................... 26!
Etude de cas d’inférence sur une ou deux population(s) normale(s) ................................................ 30!
TP 6 – Inférence sur une ou deux variable(s) catégorielle(s) ........................................................... 31!
TP 7 – Inférence non-paramétrique et sur un coefficient de corrélation .......................................... 35!
Exercices d’intégration sur l’inférence ............................................................................................. 40!
Exercices supplémentaires sur les probabilités ................................................................................. 43!
Exercices supplémentaires sur l’inférence ........................................................................................ 49!

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Exercices de manipulation des tables
1. Probabilité sur une variable aléatoire normale réduite
Soit Z une variable aléatoire (v.a.) normale réduite, Z ~ N(0,1). Calculez :
a) P (Z ≤ 1.29) =
b) P (Z < 1.29) =
c) P (Z = 1.29) =
d) P (Z ≥ 1.29) =
e) P (Z ≥ -1.29) =
f) P (-1.29 ≤ Z ≤ 1.29) =
2. Quantile de la variable aléatoire normale réduite
Soit Z une v.a. normale réduite, Z ~ N(0,1). Calculez la valeur de z telle que :
a) P (Z ≤ z) = 0.975
b) P (Z ≥ z) = 0.95
c) P (-z ≤ Z ≤ z) = 0.95
d) P (Z ≤ z) = 0.1
e) P (Z > z) = 0.01
3. Probabilité sur une variable aléatoire normale générale
Soit X une v.a. N (100, 225) qui correspond à la distribution du QI dans la population. Calculez :
a) P (X = 89) =
b) P (X >130) =
c) P (X < 95) =
d) P (X ≤ 95) =
e) P (85 < X < 115) =
4. Probabilité sur une variable aléatoire binomiale à l’aide de la table
Soit X une v.a. Bi (25 ; 0,4). Calculez à l’aide de la table :
a) P (X < 8) =
b) P (X = 11) =
c) P (X > 8) =
d) P (X ≥ 8) =
e) P (10 < X < 13) =
5. Probabilité sur une variable aléatoire binomiale à l’aide de la méthode exacte
Soit X une v.a. Bi(23;0,2). Calculez à l’aide de la méthode exacte :
a) P (X = 4) =
b) P (X ≥ 1) =
6. Binomiale en grand échantillon
Soit X une v.a. Bi (250;0.4), approximez les probabilités suivantes à l’aide des tables et calculez le
résultat exact à l’aide d’Excel.
a) P(X ≤ 80)
b) P(X < 80)
c) P(X ≥130)
d) P(X = 110)
e) P(X < 81)
f) P(70 ≤ X < 140)
7. Recherche de quantiles (ou seuils critiques)
Soit une variable aléatoire Normale réduite N(0,1) :
a) quelle est la valeur de x telle que P(X < x) = 0.975.
b) quelle est la valeur de x telle que P(X < x) = 0.05.
c) quelle est la valeur de x telle que P(X > x) = 0.1
Soit une variable aléatoire T de Student à 15 degrés de liberté :
d) quelle est la valeur de x telle que P(X < x) = 0.975.
e) quelle est la valeur de x telle que P(X < x) = 0.05.

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f) quelle est la valeur de x telle que P(X > x) = 0.1
Soit une variable aléatoire chi-carré à 20 degrés de liberté :
g) quelle est la valeur de x telle que P(X < x) = 0.975.
h) quelle est la valeur de x telle que P(X < x) = 0.05.
i) quelle est la valeur de x telle que P(X > x) = 0.1
Soit une variable aléatoire F de Fischer à 10 et 20 degrés de liberté :
j) quelle est la valeur de x telle que P(X < x) = 0.975
k) quelle est la valeur de x telle que P(X < x) = 0.95.
l) quelle est la valeur de x telle que P(X < x) = 0.05.
m) quelle est la valeur de x telle que P(X > x) = 0.01
Soient n = 16, m = 21 et α = 0.05. Calculez les percentiles suivants (vous les avez déjà en principe
calculés dans les exercices précédents).
n) z1-α/2 et zα
o) tn-1,1-α/2 et tn-1,α
p) χ2m-1,1-α/2 et χ2m-1,α
q) Fn-1,m-1,1-α et Fn-1,m-1,α
8. Recherche de p-valeurs
Calculez ou donnez un intervalle dans lequel se trouvent les probabilités suivantes :
a) P (Z > 2.8) où Z est une N(0,1)
b) P (Z > -0.5)
c) P (|Z| > 1.4)
d) P (t30 ≥ 2.45).
e) P (t30 > 4).
f) P (|t30| > 1).
g) P (χ²10 > 24).
h) P (χ²10 < 3).
i) P (χ²30 > 55).
j) P(F10,15>2.54)
k) P(Bi(8,0.2)=5)
l) P(Bi(7,0.2)>6)
9. Exercice mélangé
Calculez :
a) P(t18 > 1.33)
b) x tel que P(F10,20 ≥!x!)!=!0.025!
c) z tel que P(Z ≤!z)!=!,!0.12
d) P(Z ≤ -0.12)
e) !!!"
!≥19.37
f) n tel que !!" !,0.1≤1
g) !!" 210,0.9≥200

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TP 1 – Calcul et manipulation de probabilité
Exercices à préparer chez soi
10. Manipulation d’événements et dénombrement
On s’intéresse aux profils des 500 étudiants de BAC 1en psychologie. Les variables récoltées
concernent : leur sexe, leur nationalité et le fait qu’ils kotent ou pas. On observe que parmi les 400
filles, 300 kotent et 60 sont étrangères. Par ailleurs, un garçon sur deux kote et 10 garçons sur
l’ensemble sont étrangers. On constate aussi que tous les étudiants étrangers kotent.
On définit les évènements suivants à propos d’un étudiant choisi (au hasard) dans l’ensemble des
500 étudiants :
F : L’étudiant est une fille B : L’étudiant est belge K : L’étudiant kote
a) Complétez le nombre d’étudiants dans chaque cellule des tableaux croisés ci-dessous.
Belge
Etranger
Total
Fille
Garçon
Total
Kote
Ne kote pas
Total
Fille
Garçon
Total
b) Décrivez en français la catégorie d’étudiants concernée par chaque événement suivant et dites à
combien d’étudiants elle correspond :
• B
• FC
• B∩K
• (F∪K) C
• F C∩B C ∩K
c) Ecrivez à quelle combinaison des événements B, F et K correspondent les événements
suivants :
• L’étudiant(e) ne kote pas
• L’étudiant(e) est étranger et de sexe masculin
• L’étudiant(e) est une fille belge ou un garçon étranger
• L’étudiant(e) n’est pas une fille belge qui kote.
d) Sur base des données disponibles, calculez les probabilités suivantes :
• Probabilité qu’un(e) étudiant(e) ne kote pas
• Probabilité qu’un(e) étudiant(e) soit étranger et ne kote pas
• Probabilité qu’un(e) étudiant(e) soit une fille belge qui kote
Exercices réalisés durant le TP
11. Calcul de probabilité par combinatoire
Si on tire au hasard 4 cartes d'un jeu de 52 cartes :
a) Quelle est la probabilité de n'avoir que des piques ?
b) Quelle est la probabilité d'avoir les 4 as ?
c) Quelle est la probabilité d'avoir exactement 3 as ?
d) Quelle est la probabilité d'avoir exactement un as, un roi, une dame et un valet ?
e) Quelle est la probabilité d’avoir un as, un roi, une dame et un valet si on sait que toutes les
cartes tirées sont des piques ?