Soit Y une variable aléatoire réelle suivant une loi de Bernoulli de

PanaMaths Août 2015
Soit Y une variable aléatoire réelle suivant une loi de Bernoulli de
paramètre p.
1. Soit n un entier naturel non nul. Quelle est la loi de probabilité de la
variable aléatoire n
Y ?
2. Soit n et m deux entiers naturels non nuls. Calculer
(
)
cov ,
nm
YY .
3. Soit Q un polynôme de X
⎡
⎤
⎣
⎦
\. On pose
(
)
Z
QY
=
.
Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire Z ? Calculer
son espérance et sa variance.
Analyse
Les deux premières questions préparent la troisième. Pour autant, on peut aussi traiter la
troisième question sans nécessairement utiliser les propriétés fondamentales de l’espérance et
de la variance mais en revenant à leurs définitions.
Résolution
Question 1.
On a immédiatement, pour tout entier naturel n non nul : 00
n
YY
=
⇔= et 11
n
YY=⇔ =.
Ainsi :
(
)
(
)
11
n
P
YPYp== == et
(
)
(
)
001
n
P
YPY p
=
===−.
Finalement :
Pour tout entier naturel n non nul, la variable aléatoire réelle n
Y
suit une loi de Bernoulli de paramètre p.
Question 2.
Soit n et m deux entiers naturels non nuls.
On a classiquement :
(
)
(
)
(
)
(
)
cov , E . E E
nm nm n m
YY YY Y Y=− .
D’après la question précédente :
(
)
(
)
EE
nm
YYp
=
=.

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On montre facilement que la variable aléatoire .
nm
YY suit une loi de Bernoulli de paramètre p
et donc que l’on a encore :
(
)
E.
nm
YY p
=
.
On déduit de ce qui précède :
(
)
(
)
(
)
cov , 1 V
nm
YY ppp p p Y=−×=×− =
Pour tous entiers naturels non nuls n et m, on a :
(
)
(
)
(
)
cov , 1 V
nm
YY p p Y=×− =
Question 3.
Posons
()
2
01 2 0
... n
nk
nk
k
QX a aX aX aX aX
=
=+ + ++ =
∑.
Par linéarité de l’espérance, il vient :
(
)
(
)
(
)
()
()
()
2
01 2
0
0
01
01
01
00
0
EE
E...
E
E
E
n
n
nk
k
k
nk
k
k
nk
k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
ZQY
aaYaY aY
aY
aY
aaY
apa
apa
ap aa
=
=
=
=
=
=
=
=++++
⎛⎞
=⎜⎟
⎝⎠
=
=+
=+
=+
⎛⎞
=+ −
⎜⎟
⎝⎠
∑
∑
∑
∑
∑
∑
En notant que
()
01
n
k
kaQ
=
=
∑ et
(
)
00aQ=, il vient finalement :
( ) () () ()
()
() ( ) ( )
00
0
E010110
n
k
k
Zap aa Q pQ Q pQ pQ
=
⎛⎞
=+ − = + − =× +−×
⎜⎟
⎝⎠
∑
On aurait bien sûr pu procéder directement en remarquant que la variable aléatoire
(
)
Z
QY=
ne prend que deux valeurs,
(
)
1Q et
(
)
0Q, de probabilités respectives p et 1p−.

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Pour la variance, on a :
(
)
(
)
(
)
()
() ( )
() ()
()
()
()
2
01 2
0
1
2
11
2
11
2
11
2
1
0
0
VV
V ...
V
V
2cov,
12 1
12
1
1
n
n
nk
k
k
nk
k
k
nkkl
kkl
kkln
n
kkl
kkln
n
kkl
kkln
n
k
k
n
k
k
ZQY
aaYaY aY
aY
aY
aV Y aa Y Y
ap p aap p
pp a aa
pp a
pp aa
=
=
=≤<≤
=≤<≤
=≤<≤
=
=
=
=++++
⎛⎞
=⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
=⎜⎟
⎝⎠
=+
=−+ −
⎛⎞
=−× +
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
=−×
⎜⎟
⎝⎠
⎛
=−× −
⎜
⎝
∑
∑
∑∑
∑∑
∑∑
∑
∑
()()()
()
2
2
110ppQ Q
⎞
⎟
⎠
=−× −
Ici encore, on peut procéder directement en utilisant la loi de probabilité de la variable
aléatoire Z :
()
(
)
()
(
)
()()() ()()()
()
() ( ) ( ) () ( ) () ( ) ( ) ( )
()
() ( ) ( )
()
() ( ) () ()
()()()() ()()()
()() () ()()
()
()()()
()
2
2
2
22
222 22
2
222
2
22
22
2
VE E
11 0 11 0
11 0 121 101 0
11 1 021 10
11102110
110210
110
ZZ Z
pQ p Q pQ p Q
pQ p Q p Q p p Q Q p Q
pp Q p p Q p pQ Q
ppQ ppQ ppQQ
ppQ Q QQ
ppQ Q
=−
=× +− × − × +− ×
=× +− × − × − − × −− ×
=− × +−−− × − −×
=−× +−× − −×
=−× + −
=−× −
(
)
(
)
(
)
(
)
E110ZpQ pQ=× +− × et
()()()()
(
)
2
V1 10Zp pQ Q=−× −