Matrices d`applications linéaires

E n (−→ e1,−→ e2,...,−→ en)E
(−→ e1,−→ e2,...,−→ en)
λ1−→ e1+λ2e2+· · · +λn−→ en=−→ 0, λ1=λ2=· · · =λn= 0
(−→ e1,−→ e2,...,−→ en)E
E=V ect(−→ e1,−→ e2,...,−→ en)
B= (−→ e1,−→ e2,...,−→ en)E−→ x E
−→
x=x1−→ e1+x2−→ e2+· · · +xn−→ en
x1, x2, . . . , xn−→ x
BX∈ Mn,1(K)
X=
x1
x2
xn
,
X∈ Mn,1(K)−→ x∈EB

E=R3B= (−→ e1,−→ e2,−→ e3)
−→
e1= (1,0,0),−→ e2= (0,1,0),−→ e3= (0,0,1)
−→
x= (1,−2,3)
−→
x= (1,−2,3) = 1 ×(1,0,0) −2×(0,1,0) + 3 ×(0,0,1) = 1−→ e1−2−→ e2+ 3−→ e3
X−→ xB
X=
1
−2
3
(x1, x2, . . . , xn)Rn
x1
x2
xn
E=R3
−→
u= (1,0,0),−→ v= (1,1,0),−→ w= (1,1,1)
B0= (−→ u , −→ v , −→ w)R3
−→
x= (1,−2,3) −→ x
B0
−→
x=a−→ u+b−→ v+c−→ w⇐⇒ (1,−2,3) = a(1,0,0) + b(1,1,0) + c(1,1,1)
⇐⇒ (1,−2,3) = (a+b+c, b +c, c)
⇐⇒
a+b+c= 1
b+c=−2
c= 3
⇐⇒
a= 3
b=−5
c= 3
−→
x= 3−→ u−5−→ v+ 3−→ w
X0−→ xB0
X0=
3
−5
3
−→
x∈R3

E=Rn[X]n+ 1
B= (1, X, X2, X3, . . . , Xn)
P(X) = Xn+ 2X−1
P(X) = −1×1+2×X+ 0 ×X2+ 0 ×X3+· · · + 0 ×Xn−1+ 1 ×Xn
X P B
X=
−1
2
0
0
1
P(X) =
n
k=0
akXkRn[X]
a0
a1
a2
an
E=R2[X] 3
B0= (1, X −1,(X+ 2)2)E
3E
P(X)=3X2−2X+ 1 P X =
1
−2
3
B0
P(X) = a1 + b(X−1) + c(X−2)2⇐⇒ 3X2−2X+ 1 = a+bX −b+cX2−4cX + 4c
⇐⇒ 3X2−2X+ 1 = cX2+ (b−4c)X+ (4c−b+a)
⇐⇒
c= 3
b−4c=−2
a−b+ 4c= 1
⇐⇒
a= 3
b= 10
c= 3
P(X) = 3 + 10(X−1) + 3(X−2)2
P X0=
3
10
3
B0

−→
x1,−→ x2,...,−→ xpp E
(−→ x1,−→ x2,...,−→ xp)(−→ x1,−→ x2,...,−→ xp) = dim (V ect (−→ x1,−→ x2,...,−→ xp))
(−→ x1,−→ x2,...,−→ xp)
•−→ xi−→ xj
•−→ xiα−→ xi+β−→ xjα6= 0 β
−→
x1,−→ x2,...,−→ xpp E n
(−→ x1,−→ x2,...,−→ xp)6p(−→ x1,−→ x2,...,−→ xp)6n
06(−→ x1,−→ x2,...,−→ xp)6min(n, p)
EK3FK2
B= (−→ e1,−→ e2,−→ e3)EB0= (−→ u1,−→ u2)F
f E F
f(−→ e1) = −→ u1−2−→ u2, f(−→ e2) = 3−→ u1+−→ u2, f(−→ e3) = −→ u1+−→ u2
−→
v E (x, y, z)B−→ v=x−→ e1+y−→ e2+z−→ e3
f(−→ v) = f(x−→ e1+y−→ e2+z−→ e3)
=xf(−→ e1) + yf(−→ e2) + zf (−→ e3)f
=x(−→ u1−2−→ u2) + y(3−→ u1+−→ u2) + z(−→ u1+−→ u2)
= (x+ 3y+z)−→ u1+ (−2x+y+z)−→ u2
f:R3−→ R2
(x, y, z)7−→ (x+ 3y+z, −2x+y+z)
E F
f E F
E f

E F f ∈ L(E, F )
B= (−→ e1,...,−→ ep)EB0= (−→ u1,...,−→ un)F
fB B0
f(−→ e1), f(−→ e2), . . . , f(−→ ep)B0
matB,B0(f) =
f(−→ e1)f(−→ e2)· · · f(−→ ep)
−→
u1
−→
un
∀j∈J1, pK, f(−→ ej) =
n
i=1
ai,j −→ ui
BEB0F
f g L(E, F )
BEB0F
matB,B0(f) = matB,B0(g)
f∈ L(E)BE f B B
matB(f)
fB
matB,B0(f) =
f(−→ e1)f(−→ e2)· · · f(−→ en)
−→
e1
−→
e2
−→
en
A∈ Mn,p(R)n p
fRpRnA
RnRp
A