Rappels d`Analyse et d`Alg`ebre

Licence de Sciences Physiques Universit´e Paris-Sud
Rappels d’Analyse et d’Alg`ebre
Cours et Exercices
Jean-Luc Raimbault
[e-mail]
– 2006 –

Les notes qui suivent contiennent quelques outils qui vous aideront, du moins
je l’esp`ere, `a appr´ehender une partie des difficult´es math´ematiques rencontr´ees
dans vos cours de physique et chimie. Les contraintes de temps imposent un
choix limit´e de sujets qui se regroupent, grosso modo, autour de 3 th`emes :
celui des fonctions de plusieurs variables r´eelles, celui de l’analyse de Fourier
et celui des ´equations diff´erentielles. Ce choix est un peu arbitraire, et il au-
rait ´et´e tout aussi souhaitable, par exemple, de traiter d’un peu de probabilit´e,
d’alg`ebre lin´eaire, voire des fonctions analytiques. Les questions ´etudi´ees dans la
premi`ere partie tournent autour des notions de diff´erentiabilit´e, d’int´egrabilit´e
et d’extr´emalisation des fonctions de plusieurs variables ; il s’agit donc d’une
partie du bagage math´ematique n´ecessaire `a la formulation des th´eories macro-
scopiques continues, telles que l’´electromagn´etisme, la m´ecanique des fluides, la
thermodynamique. On y a ajout´e une petite introduction `a la distribution de Di-
rac qui devrait vous ˆetre utile pour le cours de m´ecanique quantique. L’analyse
de Fourier, s´eries et transform´ees de Fourier, est l’outil universel pour le traite-
ment des ph´enom`enes ondulatoires. Son importance, tant en math´ematique que
dans les applications, est telle qu’on ne peut esp´erer comprendre les nouveaux
outils du traitement de l’information, sans une solide connaissance de l’analyse
de Fourier traditionnelle. Enfin, dans la derni`ere partie, on rappelle succin-
tement les m´ethodes ´el´ementaires de r´esolutions des ´equations diff´erentielles
lin´eaires, et on vous donne quelques ´el´ements de dynamique qualitative qui
fournit une approche g´eom´etrique du comportement des syst`emes non lin´eaires.
Pour l’expos´e des concepts, j’ai essay´e dans la plupart des cas de donner une
formulation pr´ecise des th´eor`emes dont vous connaissez souvent les r´esultats
sous forme d’une formule, sans toujours ˆetre capable de cerner pr´ecis´ement les
hypoth`eses n´ecessaires `a son application. Il ne faut donc pas vous laisser rebuter
par les s´equences un peu aust`eres de d´efinitions et th´eor`emes, qui n’ont d’autres
buts que de structurer le texte et d’apporter une information pr´ecise. Pour un
physicien, il est plus important de savoir appliquer les th´eor`emes `a bon escient,
que de connaˆıtre le d´etail des d´emonstrations `a la fa¸con des math´ematiciens.
Vous ne trouverez donc pas dans ce qui suit de d´emonstrations des r´esultats
”avec les ε“, mais plutˆot les id´ees directrices, et une mise en garde sur les condi-
tions requises `a leur application. Les exemples et exercices sont d´elib´er´ement
choisis dans les applications de vos cours de physique. Essayez de les comprendre
et de les chercher, en vous imposant de v´erifier si les hypoth`eses n´ecessaires `a
l’application d’un th´eor`eme pr´ecis sont satisfaites, sans vous interdire, pour au-
tant, de faire le lien avec le contexte physique dans lequel le probl`eme apparaˆıt.
Calculer une s´erie de Fourier ou la divergence d’un champ de vecteur analy-
tiquement, et se les repr´esenter mentalement sont deux choses bien distinctes.
Pourtant, il est souvent n´ecessaire, dans une science formalis´ee comme la phy-
sique, d’avoir une intuition g´eom´etrique des grandeurs repr´esent´ees par des sym-
boles. Le logiciel de calcul symbolique et num´erique Mathematica, que vous
´etudierez un peu, est un outil tr`es performant pour repr´esenter les courbes,
les champs de vecteurs, les solutions des ´equations diff´erentielles, etc... A ce
titre, il peut vous apporter une aide compl´ementaire pour assimiler les notions
pr´esent´ees dans ce cours.

Premi`ere partie
Fonctions de plusieurs
variables r´eelles
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Chapitre 1
Scalaires, vecteurs, tenseurs
Sommaire
1.1 Introduction ....................... 5
1.2 Notations et changement de base . . . . . . . . . . . 6
1.3 Scalaires, vecteurs et tenseurs . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Produits et contractions . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Base r´eciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
On pr´esente dans ce premier chapitre quelques notions d’alg`ebre tensorielle
utiles, en particulier, pour la compr´ehension des cours d’´elasticit´e et de cristal-
lographie. Comme on le d´ecouvrira dans l’introduction, les tenseurs g´en´eralisent
la notion famili`ere de vecteurs et d’op´erateurs lin´eaires en les pla¸cant dans le
cadre math´ematique plus large de l’alg`ebre multilin´eaire.
1.1 Introduction
Soit Eun espace vectoriel r´eel (le corps de base est donc R) de dimension
finie N. Tout ensemble de Nvecteurs lin´eairements ind´ependants forment une
base, et il en existe une infinit´e. Soit {~ei}et {~e ′i}deux bases diff´erentes de E.
Notons Pet P−1les matrices de passage 1d’une base `a l’autre, soit :
~e ′i=
N
X
j=1
Pji ~ej,et ~ej=
N
X
i=1
P−1
ij ~e ′i(1.1)
Un vecteur quelconque ~x ∈Epeut s’´ecrire indiff´eremment dans l’une o`u
l’autre base de E :
~x =
N
X
j=1
xj~ej=
N
X
i=1
x′
i~e ′i
1. Par d´efinition, la matrice de passage Pde la base {~ei}`a la base {~e ′
i}est telle que sa
i`eme colonne est form´ee des composantes de ~e ′
ipar rapport `a la base {~ei}.
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