DYNAMIQUE DU POINT MATÉRIEL PARTIE II

PARTIE II
DYNAMIQUE DU
POINT MATÉRIEL
1.DÉFINITIONS GÉNÉRALES
a – Dynamique
Étude - du mouvement d’un objet connaissant les causes qui le produisent
- des causes connaissant le mouvement
b – Forces
Causes ou actions capables de mettre en mouvement un objet
ou de modifier son mouvement
Dues ou créées par (au moins) un autre objet
On parle aussi d’interactions
Particule libre ou isolée: n’est soumise à aucune interaction
Remarque :
Une particule libre n’existe pas : il y a toujours des interactions même très faibles
c - Interactions fondamentales
S’exercent entre les particules élémentaires
∃ quatre interactions fondamentales :
•/•
Interaction gravitationnelle
S’exerce entre deux objets matériels. Toujours attractive. Force peu intense et à longue
portée.
Deux objets ponctuels ⇒ loi de Newton
Force principale à l’échelle du système solaire
Interaction électromagnétique
Interaction entre objets chargés électriquement. Attractive ou répulsive
Force intense et à longue portée
Deux charges ponctuelles et immobiles ⇒ force électrique donnée par la loi de Coulomb
(1040 fois plus intense que la précédente)
Si charges en mouvement apparaît une force magnétique
Interaction e.m. intervient dans : cohésion de la matière, forces élastiques (ressorts,..),
forces de contact (frottements)
Interaction forte
Assure la cohésion des noyaux atomiques. Force la plus intense de la nature.
De très faible portée (de l’ordre de 10-15 m)
Interaction faible
De très courte portée et très peu intense (échelle du noyau atomique)
Intervient au cours de la désintégration de certaines particules
•/•
A notre échelle :
Les phénomènes observés résultent d’interactions entre un très grand nombre de particules
Les lois physiques décrivant certains phénomènes sont donc difficiles à établir et sont
souvent déduites d’expériences
Dans la suite on s’intéressera essentiellement aux interactions gravitationnelle
•/•
2. LOIS DE LA DYNAMIQUE
Expriment le lien entre les propriétés du mouvement d’un objet et la force qu’il subit
1/ Notion de référentiel d’inertie - Première loi de Newton ou principe d’inertie
Un référentiel d’inertie ou galiléen est un référentiel dans lequel une particule peut être libre
Enoncé : Dans un référentiel galiléen, un objet isolé (libre) est soit animé d’un
mouvement rectiligne uniforme, soit au repos
∃ infinité de référentiels galiléens : ils sont en translation rectiligne uniforme les
uns/autres. Ex : référentiel de Copernic (qui est ~ fixe) C’est à dire v e = cste
Caractéristiques du référentiel galiléen:
1/ a c = 0 : Pas de rotation du référentiel relatif par rapport au repère fixe
2/ a e = 0 : Référentiel mobile en translation uniforme par rapport au repère fixe
⇒ Référentiel mobile galiléen : a r = a a
Remarque :
Une particule libre n’existe pas donc un référentiel galiléen non plus
•/•
2/ Deuxième loi de Newton – Principe fondamental de la dynamique (PFD)
La vitesse seule ne peut expliquer les caractéristiques d’un mouvement, la quantité de
matière du corps en mouvement intervient :
masse d’inertie (ou masse inerte) : caractérise la quantité de matière de l’objet
(scalaire ≥ 0, en kg) – Indépendante du référentiel.
⇒ Grandeur caractéristique d’un corps en mouvement = masse d’inertie × vitesse
= Quantité de mouvement
Objet : masse mi, vitesse v dans un référentiel R
possède dans R la quantité de mouvement
p = mi v
Dans référentiel galiléen (d’inertie) Rg :
Si objet soumis, durant dt, à forces extérieures de somme F
⇒ sa quantité de mouvement varie de d p = F dt
⇒ Pour une force donnée, les changements dans le mouvement d’un objet dépendent
de la masse d’inertie.
Mot Inertie : signifie que plus la masse d’un objet est importante, plus le changement dans
le mouvement de l’objet est difficile à provoquer.
./.
2ième loi de Newton : Dans un référentiel d’inertie, une force s’exerçant sur un corps
entraîne une variation de sa quantité de mouvement par unité de temps qui lui est égale
(ne se démontre pas) :
F =
dp
: Principe Fondamental de la Dynamique
dt
valable seulement dans un référentiel galiléen
F s’exprime en kg.m.s-2 = Newton (N)
Cas particuliers :
dv
- Si mi = cste
= mi a
F = mi
dt
(par ex pour point matériel)
a = accélération
⇒ F est dans le même sens que a
- Si aucune force extérieure n’est appliquée à l’objet ⇒
⇒ p = p o (vecteur constant)
dp
=0
dt
⇒ dans un référentiel galiléen ∃ conservation de la quantité de mouvement d’un
corps isolé
Remarque :


Corps soumis à des forces qui se compensent 

∑
i

F i = 0  : corps pseudo-isolé


./.
3/ Troisième loi de Newton
Soit un système de deux corps A1 et A2 en interaction instantanée :
Principe des actions mutuelles (ou réciproques) ou de l’action et de la réaction
(ne se démontre pas)
Quand deux corps interagissent chacun est soumis de la part de l'autre à une force et
les deux forces sont égales et opposées
F2 /1
A1
F1 / 2
A2
F 2/1 : force qui s’exerce sur A1 et qui est due à la présence de A2
F1 / 2 : force qui s’exerce sur A2 et qui est due à la présence de A1
⇒ F 2/1 = - F1 / 2
Exemple :
Deux billes reliées par un élastique tendu sont soumises à deux forces égales et opposées
./.
Exemple : Astronaute hors de sa navette et lançant un astéroïde
Au départ : l’astronaute et l’astéroïde sont immobiles et forment un système isolé
(aucune force externe n’agit sur ce système)
⇒ Quantité de mouvement totale de ce système : nulle et est conservée
Masse de l’astronaute : M
Masse de l’astéroïde : m
Astéroïde lancé avec une vitesse v
m
mv + M V = 0 ⇒ V = − v
M
Vitesse V de l’astronaute ?
⇒ Vitesse de l’astronaute opposée à celle de l’astéroïde
V
v
•
G
•/•
4/ Conséquences
a – Impulsion
Sous l’action d’une force F agissant pendant l’intervalle de temps dt, la quantité de
mouvement varie de d p = F dt
⇒ ∆ p = F ∆t = impulsion
Si F = cste pendant ∆t
⇒ Un corps au repos se met en mouvement dans la direction de la force appliquée
b – Force et mouvement
Il y a donc équivalence entre
d p et F ou entre
a et F
dt
On pourra :
- Prévoir le mouvement d’un corps si on connaît les forces qui lui sont appliquées
- Etudier les forces qui s’exercent si on connaît le mouvement du corps
Exemple : Force constante s’exerçant sur un objet de masse m et de vitesse initiale vo
Suivant Ox : a =
F
m
⇒a=
F
= cste
m
Ramené au cas étudié en cinématique
⇒x=
⇒ v = at + v o
F
O
F 2
t + vo t + x o
2m
x
•/•
PFD pour mi : Fi = mi
d 2 ri
G
Ai
d 2 (mi ri )
=
dt 2
dt 2
ri = OA i (mi en Ai , ∀ l’origine O)
•O
r
F
c – Centre de masse
Objet : grand nombre de masses élémentaires ponctuelles mi
ri
Fi
PFD pour l’objet : somme de toutes les forces
externes agissant sur toutes les masses mi ⇒ F =
∑

d2

Fi = 
i
∑ (m r )

i i

i
dt
2
[somme des forces internes (action - réaction) ≡ 0 ]
Soit m =
∑
mi , en posant r =
∑ ( m i ri )
on peut écrire F = m
i
m
i
d2 r
dt 2
⇒ Force externe = masse totale de l’objet × accélération d’un point G repéré par r
Et aussi m
dr
=
dt

∑  m
i
i
d ri
dt




Soit p =
i
i
G : centre de masse de l’objet
Si O est placé en G ⇒
∑p
∑ ( m GA )= 0
i
⇒ Position du centre de masse
i
i
⇒Théorème du centre de masse :
Mouvement du centre de masse G d’un système matériel S de masse m soumis à des forces
extérieures : celui d’un point matériel de masse m soumis à la résultante en G des forces •/•
EXEMPLE : Centre de masse d’un système de deux masses ponctuelles distantes de D
m1 GA1 + m 2 GA 2 = 0 En projection sur l’axe A 2A1 : m1 (D − d ) − m 2 d = 0
A2 (m2)
•
d
A1(m1)
•
G
•
D-d
⇒d=
m1 D
m1 + m 2
Cas du système Terre-Lune
Masse Terre : MT = 6 1024 kg. Masse Lune : M L =
MT
82
Rayon Terre : RT = 6,4 106 m. Distance centre Terre- centre Lune : D = 4 108 m = 62,5 RT
Distance entre centre O de la Terre et le centre de masse G du système Terre-Lune :
ML D
D
M L (D − R G ) − M T R G = 0 ⇒ R G =
=
≈ 0,75 R T
M L + M T 83
Se trouve à l’intérieur de la Terre
•
G
•
D
Par rapport à G, le centre de la Terre décrit un mouvement circulaire uniforme de
rayon RG ≈ 0,75 RT
•/•
3. DIFFÉRENTS TYPES DE FORCES
1/ Les forces newtoniennes
- Forces en
1
r2
: interactions gravitationnelles et coulombiennes (électrostatiques)
Remarque : Forces de gravitation toujours attractives
Forces électrostatiques peuvent être attractives ou répulsives
Ce sont des forces ‘centrales’, ( leur support passe par un point fixe)
a – Propriétés générales
Mouvement plan
Loi des aires
S=
dA
dt
VOIR PARTIE 1
Vitesse aréolaire
Le rayon r balaye des aires égales pendant des intervalles de temps égaux ∆t : A = S ∆t
•/•
b – Interaction coulombienne
- Deux charges électriques ponctuelles q1 et q2 exercent l’une sur l’autre des
forces égales et opposées (principe de l’action et de la réaction) qui agissent
suivant la droite qui joint les charges
F2 /1
q1 u
•
q2
r
•
F1 / 2
q1 u
•
Cas q1q2 > 0
F2 /1
r
F1/ 2
q2
•
Cas q1q2 < 0
- Répulsion si charges toutes deux du même signe (> 0 ou < 0), c’est à dire si q1q2 > 0
- Attraction si charges de signe opposé, c’est à dire si q1q2 < 0
F1 / 2 : Force exercée par q1 sur q2 , appliquée en q2
F 2 / 1 = − F1 / 2 : Force exercée par q2 sur q1, appliquée en q1
r : distance entre les deux charges
u : vecteur unitaire porté par la droite passant par les charges, de q1 vers q2
K : constante dépendant du milieu dans lequel baignent les charges
Dans le vide (ou l’air) K = Ko ≈ 9 109 Nm2 C-2
⇒ Loi de Coulomb
qq
F1 / 2 = K 1 2 2 u
r
•/•
c – Interaction gravitationnelle
Deux objets ponctuels matériels distants de r sont soumis à une interaction toujours
attractive : l’interaction gravitationnelle
Elle s’exprime en fonction de 2 quantités > 0 : masses "graves" mg1 et mg2
F=−G
m g1 m g2
r2
u
Loi de Newton, dite de l’attraction universelle
F : force exercée par mg1 sur mg2 . Appliquée en mg2
u : vecteur unitaire porté par la droite passant par les masses, de mg1 vers mg2
r : distance entre les deux masses
•
G = 6,67 10-11 Nm2/kg2
Constante ‘universelle’ de gravitation
u
−F
r
F
•
mg2
mg1
− F : Force exercée par mg2 sur mg1, appliquée en mg1
Expérimentalement : masse d’inertie = masse grave à 10-13 près, on les notera m
Forces subies par 2 masses de 1 kg distantes de 1 m : environ 6,7 10-11 N
•/•
REMARQUE :
Principe de superposition :
Si mo est placée au voisinage de plusieurs autres masses :
Force sur mo = somme vectorielle des forces dues à chacune des autres
masses agissant seule
• m2
m1
•
F1 / 0 F 2 / 0
F = F1/ 0 + F2 / 0 + F3 / 0
•
mo
F3 / 0
• m3
•/•
2/ Le poids
En première approximation (si on ne tient pas compte de la rotation de la Terre sur ellemême) : c’est l’attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur cet objet
Objet de masse m au voisinage de la surface de la Terre :
Poids = Force exercée par la Terre (masse MT, rayon RT) ⇒ vecteur
Norme : P = G
mM T
R T2
= mg
g =G
MT
R T2
: accélération due à la pesanteur
Remarque : Tout se passe comme si la terre était ponctuelle
En vecteurs : P = m g
Vecteurs poids P et accélération due à la pesanteur g : même sens et orientés
approximativement vers le centre de la Terre (leur direction est donnée par fil à plomb)
Au voisinage d’un lieu : g et P sont constants
MT ≈ 6,1 1024 kg et RT ≈ 6400 km ⇒ g = 6,67 10-11
Remarque
6,1 1024
(6,4 10 )
6 2
≈ 9,81 m / s 2
(à la surface)
Terre : sphère non parfaite ⇒ g n’a pas la même valeur en tout point du globe
•/•
3/ Les forces de liaison
= forces qui ne s’exercent pas à distance
Elles sont dues à des contacts entre corps
a – Tension d’un fil
T
Le fil exerce une force sur la masselotte,
il l’empêche de tomber
P
b – Réaction d’un support
Cas d’un objet posé immobile sur un support horizontal :
Le support exerce une force sur l’objet, il l’empêche de le traverser
(force répulsive) :
R = réaction
R
P
./.
4/ Les forces de frottement
a – Définitions
Expérience : Objet en mouvement non soumis à une force motrice finit toujours par
s’arrêter contrairement à ce que dit la première loi de Newton
Certaines interactions s’opposent donc au mouvement forces de frottement
Conditionnent la vie de tous les jours : marche, engins à roues, freinage d’une
voiture, préhension d’un objet…
Deux types de frottements : - frottements solides
- frottements fluides
Lorsqu’un frottement - empêche un mouvement de démarrer frottement statique
- s’oppose au mouvement d’un objet frottement cinétique
•/•
b – Force de frottement solide : Force constante
A – FROTTEMENT STATIQUE
Expérience :
Objet d’un matériau quelconque de masse m sur une surface
horizontale. Si m immobile, 2ième loi de Newton la surface oppose une force de réaction R telle que : R + P = 0
Force de traction horizontale T d’abord faible
Si le bloc reste au repos ⇒ R + P + T = 0
⇒ R = − P + T n’est plus opposée à P
(
)
R
P
R
RN
T
R fs
R N = −P
Soit R = R N + R fs ⇒ 
R fs : force de frottement statique
R fs = −T
T augmente, le bloc restant immobile ⇒ R fs augmente aussi
P
Si pas de mouvement : R fs = T avec R fs toujours opposé à T
Si T dépasse une valeur maxi R f max ⇒ bloc en mouvement : il accélère
- R fs max indépendante de l’aire de contact entre les deux corps solides
- R f max proportionnel à R N
- Le coefficient de proportionnalité dépend de la nature et de l’état des matériaux
en contact coefficient de frottement statique µs : R fs max = µs R N
•/•
B – FROTTEMENT CINÉTIQUE
Bloc soumis à la force de traction T suffisamment importante pour que le bloc se déplace
Reste freiné par l’action d’une force de frottement cinétique R fc
R fc : égale et opposée à la force de traction nécessaire pour maintenir le bloc en
mouvement uniforme
Même propriétés que frottement statique mais avec un coefficient de frottement
R fc = µc R N
cinétique µc :
• µ c < µs (plus facile de maintenir le mouvement d’un objet que de le démarrer)
• µ c indépendant de la vitesse lorsqu’elle est faible
(diminue lorsque la vitesse devient très élevée)
Quelques coefficients de frottement
µs
µc
Acier sur acier sec
0,6
0,4
Acier sur acier huilé
0,1
0,05
Chaussure sur glace
0,1
0,05
Articulation des os
0,0003 0,0003
Remarque : µs et µc coefficients sans unité
•/•
EXEMPLE
Bloc au repos sur un plan incliné faisant un angle θ avec l’horizontale
Bloc immobile ⇒ R N + P + R fs = 0
R = P cosθ
R
Projection suivant x’x et y’y ⇒  N
⇒ fs = tanθ
RN
 R fs = P sinθ
On augmente l’inclinaison jusqu’au moment
où le bloc commence à glisser ⇒ θmax
⇒ Rfs = Rfs max= µsRN
⇒ tanθ max = µs
⇒ Façon simple de mesurer µs
x
RN
R fs
y’
θ
y
P θ
x’
•/•
c – Frottement fluide
Forces de frottement proportionnelles à la vitesse du corps
Exemple : Corps tombant dans un fluide (lâché sans vitesse initiale)
Corps : masse m, volume V, masse volumique ρc . Fluide : masse volumique ρf
P = mg = ρc V g
– Le poids
Trois forces s’exercent
sur le corps :
O_
– La poussée d’Archimède A = − m f g = −ρ f V g
– Le frottement du fluide f = −α v
dv
α
=g− v
Cas ρc » ρf , 2ième loi de Newton :
ma = P + f ⇒
dt
m
dv z α
Projection suivant Oz (axe vertical orienté vers le bas) :
+ vz = g
dt
m
On pourrait résoudre cette équation différentielle pour trouver vz(t)
Étude restreinte à la situation limite : on réécrit
f
m•
A
g
dv
α
a z = z = g − vz
dt
m
P
1. vz(0) = 0 ⇒ az(0) = g > 0 ⇒ quand t , vz ⇒ az z
2. az ⇒ az s’annulera ⇒ vz → vitesse limite vzl
3. 0 = g −
α
v zl
m
⇒ Vitesse limite: v zl =
m
g
α
•/•
5/ Forces élastiques : Cas des forces proportionnelles à l’allongement
a – Cas d’un ressort horizontal
Corps de masse m (poids P ) attaché à un ressort, posé sur un plan horizontal
R N : réaction du support : P + R N = 0
Hypothèse : Pas de frottements
Origine de l’axe x’x : extrémité du ressort au repos où la masse est attachée
u : vecteur unitaire sur x’x
RN
FR
Masse déplacée de x
x’
P
u
x<0
O
x>0
x
⇒ ∃ force qui tend à ramener la masse à son point de départ
Force de rappel F R = −kx u k (> 0) : constante de raideur du ressort
- si x > 0 : FR suivant − u
- si x < 0 : FR suivant
⇒ FR toujours opposée au déplacement x
u
•/•
PFD : F R + R N + P = ma c’est à dire F R = ma
Suivant l’axe x’x : − kx u = m &x& u
Soit
ω2 =
k
m
⇒ &x& + ω2 x = 0 Équation du mouvement
ω=
k
m
: pulsation
Cette équation caractérise un oscillateur harmonique
Solution de la forme : x (t ) = Acos (ω t + ϕ)
x(t) : élongation
A : amplitude
ϕ : phase à l’origine des temps
constantes d’intégration que l’on peut déterminer
à l’aide des conditions initiales du mouvement
Par exemple :
x o = Acos ϕ
À t = 0, x = xo et v = vo ⇒
v o = −ωAsinϕ
Période du mouvement :
⇒ T=
2π
m
= 2π
ω
k
⇒ tan ϕ = −
vo
ω xo
et A = x o2 +
 
 
cos(ωt + ϕ) = cos(ωt + ϕ + 2π) = cos ω t +
période des oscillations
v o2
ω2
2π  
+ϕ
ω  
T indépendant de l’amplitude
isochronisme des oscillations
•/•
b – Cas du ressort vertical
lo : longueur à vide
x’
Masse m accrochée
Equilibre : P + FRo = 0
⇒ mg + FRo = 0
Projection sur x’x ⇒ mg − k ∆l = 0 avec ∆l = l − l o
⇒ ∆l =
mg
k
Mouvement : mg + F R = ma
O : origine des x (position d’équilibre de m)
Projection sur x’x ⇒ mg − k
(l + x − l o ) = m&x&
⇒ &x& + ω2 x = 0
l + x’
lo
l
O
FR
l+x
Même équation du mouvement que précédemment
P
x
•/•
c – Résumé
x(t)
Mouvement de m :
2.0
x (t ) = Acos (ω t + ϕ)
1.5
1.0
Vitesse de m :
0.5
v(t ) = −Aω sin (ω t + ϕ)
0.0
= Aω cos (ω t + ϕ + π 2)
⇒ Déphasage v
•
─
•
-0.5
-1.0
x: π 2
-1.5
-2.0
Accélération de m :
0
a (t ) = −Aω cos (ω t + ϕ) = −ω x(t )
2
2
4
2
⇒ Opposition de phase a
•
─
•
6
8
10
12
14
t (s)
a(t) v(t)
x
Caractéristiques du mouvement harmonique que l’on retrouve très souvent dans la nature
•/•
6/ Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non galiléen
a – Forces d’inertie
D’après la loi de composition des accélérations aa = a r + a e + a c , pour un corps
effectuant un mouvement dans un référentiel non galiléen Rng , son accélération
relative peut s’écrire : a r = a a − a e − a c
Si le corps a une masse m, nous obtenons : m a r = m a a − ma e − m a c
Ce qui s’écrit : m a r = F − ma e − m a c
( F : résultante des forces appliquées au corps)
Si le référentiel n’est pas galiléen, on peut donc encore écrire le Principe Fondamental de
la Dynamique à condition d’ajouter à la résultante des forces F appliquées, qui sont des
forces réelles, les forces fictives :
- Force d’inertie d’entraînement Fe = − ma e
- Force d’inertie complémentaire Fc = − m a c
On ne constate les effets de ces forces fictives que dans le référentiel Rng.
Pour un observateur placé dans le référentiel absolu (galiléen), elles n’existent pas.
a e = 0

a c = 0
⇒ ar = aa
•/•
Accélération du référentiel du
laboratoire (point situé en un point
de latitude λ à la surface de la
Terre) par rapport au référentiel
terrestre ou géocentrique lié au
centre de la Terre (axes xyz de
directions fixes) ⇒ centripète de
norme a R T = ω2 R cos λ
b – Référentiels galiléens ?
Valeur maxi : à l’équateur (λ = 0)
2
 2π 
a RT =   R
T
2
2π 

3
≈
 6400 10
 24 × 3600 
≈ 3,4 10−2 m / s 2 = 3,4cm / s 2
Le référentiel du laboratoire est
animé d’un mouvement de rotation
faiblement accéléré par rapport au
référentiel géocentrique
Vitesse du référentiel du
laboratoire à l’équateur
 2π 
v R T =  R ≈ 0,47 km / s
•/•
T
z
y
x
Accélération
du
référentiel
géocentrique par rapport au
référentiel de Copernic lié au centre
du Soleil (axes XYZ également de
directions fixes)
2
Z
Y
X
 2π 
a R C = Ω2R =   R t
 T' 
2
2π


9
≈
 150 10
 365 × 24 × 3600 
≈ 6 10−3 m / s 2 = 6mm / s 2
Le référentiel géocentrique est
animé d’un mouvement de rotation
très faiblement accéléré par rapport
au référentiel de Copernic
Vitesse du référentiel géocentrique
 2π 
v R T =  R t ≈ 30 km / s
 T' 
•/•
Accélération du référentiel de
Copernic par rapport au référentiel
lié au centre la Galaxie
2
 2π 
a Rg =   R g
 T" 
R g = 30 000 années − lumière
Soleil
= 3108 × 3600 × 24 × 365 × 30 000
≈ 2,8 1020 m
T" = 200 millions d' années
≈ 2 108 × 365 × 24 × 3600 ≈ 6,31015 s
2
 2π 
 2,8 1020
a Rg ≈ 
15 
 6,310 
≈ 2,8 10−10 m / s 2 = 2,8 Å /s 2
Le référentiel de Copernic est
pratiquement animé d’un
mouvement rectiligne uniforme
⇒ Pratiquement galiléen
Vitesse du référentiel de Copernic
 2π 
v R T =  R g ≈ 280 km / s
•/•
 T" 
c – Exemples
(i) La force centrifuge
Soit un mobile ponctuel M de masse m relié par une ficelle de longueur L à un point O
et tournant à une vitesse angulaire constante ω = θ&
- Référentiel du laboratoire ∼ galiléen : on y attache un repère OXY (axes de direction fixe)
- Référentiel mobile R tournant avec OM
(
On y attache un repère Oxy (Ox suivant OM). Vecteurs unitaires u x , u y
M est immobile dans R donc a r = a c = 0
et m a r = F + Fe + Fc
devient : 0 = F + Fe
F est la somme des forces réellement appliquées à M,
c’est à dire uniquement la tension T du fil
)
Y
R
Fe
y
T
ux
uy
•
x
M (m)
L
θ
X
O
Fe est la force d’inertie d’entraînement ( Fe = − ma e )
Mouvement du point coïncidant : circulaire uniforme ⇒ a e = −ω2 L u x
⇒ Fe = m ω2 L u x appelée dans le cas d’une rotation : force centrifuge
Dans le repère tournant, M est en équilibre (au repos) sous l’action de la tension du fil
et de la force centrifuge T + Fe = 0
⇒ T = − m ω2 L u x
•/•
Application : Variation de g avec la latitude Référentiel du laboratoire : NON galiléen
Objet M de masse m, suspendu par un fil à la surface de la Terre en un lieu de latitude λ
uz
Z
Ω : Vitesse angulaire de rotation de la Terre autour de son axe
ae
-Référentiel géocentrique ∼ galiléen
R
Repère OXYZ (axes de direction fixe)
uθ
M
uρ
Y
λ
O
- Référentiel mobile R : du laboratoire, tourne avec le lieu
X
on choisit le repère cylindrique de vecteurs unitaires ( u ρ , u θ , u z )
PFD appliqué à M dans R : m a r = F + Fe + Fc
T
Fc = 0 car v r = 0
Mvt du point coïncidant : circulaire uniforme
(vitesse angulaire Ω)
(
)
uz
⇒ a e = − Ω 2 R cos λ u ρ
(
)
M Fe
⇒ Force d’inertie d’entraînement Fe = − ma e = mΩ R cos λ u ρ
⇒ 0 = F + Fe
où F = T + A
A : force d’attraction de la Terre
(dirigée vers O)
(
⇒ T = − A + Fe
2
)
λ
A
P
T : tension du fil
Par définition, le poids de M : P = −T = A + Fe
Puisque A = −G
MTm
2
u r , si l’on pose P = mg
•/•
⇒ gλ = −
GM T
2
R
R
Conséquence : La norme de l’accélération due à la pesanteur et
sa direction (direction de la verticale, définie par
le fil à plomb) varient avec la latitude
(
(
  GM  2

2
GM T 2
Ω cos 2 λ 
g λ =   2T  + Ω 2 R cos λ − 2
 R 

R


Remarque : Terre = sphère non parfaite
)
u r + Ω 2 R cos λ u ρ
uz
Π
M
12
)
uρ
ur
Fe u ρ
ε
• •
λ
A
P
⇒ g n’a pas la même valeur en tous les points de même latitude
(
)
u r ∧ g λ = Ω R cos λ sin λ u θ = g λ sin ε u θ
Or g 90 = G
2
MT
R2
g0 = G
MT
R2
− Ω 2 R et
Ω 2 R sin 2λ
⇒ sin ε =
2g λ
g 90 − g 0 Ω 2 R 3
=
≈ 0,35 %
g 90
GM T
Ω 2 R sin 2λ
Ω2R 3
⇒ sin ε ≈
≈
sin 2λ La verticale (fil à plomb) ≠ radiale OM (angle ε )
2g 90
2GM T
(sin ε )90 = (sin ε )0 = 0 ε = 0 à l’équateur et aux pôles, ε est maxi à λ = 45°
(sin ε )max i =
Ω2R 3
≈ 1,7 10 −3 rd ≈ 6'
2GM T
•/•
(ii) Notion de poids effectif
z
Soit une personne M de masse m, immobile dans un ascenseur qui accélère
vers le haut (ou vers le bas) avec une accélération a
a
R
Dans le référentiel lié à l’ascenseur (non galiléen) :
M est immobile dans l’ascenseur donc : a r = a c = 0 , de plus a e = a
⇒ Fe = − m a
et m a r = F − m a
•M
F est la somme des forces réellement appliquées à M : F = R + m g
m g : Poids de la personne
⇒ma =R +mg
R : Réaction du plancher de l’ascenseur
mg
soit R = − m( g − a )
• Si a = 0
R = − m g équilibre le poids de l’expérimentateur : R = − P = − m g
• Si a ≠ 0
R = −m ( g − a ) équilibre le poids ‘effectif’ de l’expérimentateur : R = − P e
Le poids effectif peut être mesuré à l’aide d’un pèse-personne : P e = m ( g − a )
Dans ce référentiel, en général : poids ≠ mg
•/•
Poids effectif :
Pe = m ( g − a )
z
2
Exemple : Soit a dirigée vers le haut de norme a = 2 m/s
g est dirigée vers le bas de norme g = 9,8 m/s
2
⇒ Pe ≈ m (1,2g )
⇒ impression de ‘lourdeur’ dans un ascenseur
qui accélère vers le haut
Si l’ascenseur tombe en chute libre :
il acquiert une accélération vers le bas a = g et
Pe = 0
La personne ‘flotte’ dans l’ascenseur : elle est en état d’apesanteur
•/•
(iii) Déviation vers l’est
Objet M de masse m, en chute libre en un lieu de latitude λ (fil du pendule coupé)
PFD appliqué à M dans R : m a r = F + Fe + Fc
F = A et force d’inertie de Coriolis
ici
Fc ≠ 0 = − m.2Ω ∧ v r
⇒ m a r = A + F e + Fc
⇒ m a r = mg − m.2Ω ∧ v r
ΩΩΩΩ
=P
uz
M
uρ
La chute libre ne s’effectue donc pas suivant g
O
v r ≈ suivant MO ⇒ Ω ∧ v r vers - u θ càd vers l’ouest
mg
⇒ chute déviée vers l’est
Fc = 2mΩv r cos λ
déviation nulle aux pôles, maxi à l’équateur
A.N.: λ = 50°, chute de 150 m : déviation ≈ 3 cm
•/•
(iv) Problème des marées
Ne peuvent se comprendre que si l’on prend en compte :
- la force d’attraction de la Lune
- la force d’inertie engendrée par le mouvement
de la Terre autour du centre de gravité du
système Terre-Lune
• G
Interactions gravitationnelles
Forces d’inertie centrifuge
Résultantes
•/•
⇒ Gonflement de la surface des mers dans la région face à la Lune et aussi dans la région
diamétralement opposée
C’est Laplace à la fin du 18ème siècle, qui a compris que la force génératrice des
marées est la résultante de l'attraction exercée par la Lune et de la force d’inertie
d’entraînement du centre de la Terre
Puisque rotation de la Terre sur elle-même en 24 heures, un point donné de la Terre
rencontre, lors d’une rotation, deux renflements d’amplitude identique
⇒ Alternance de marée haute et basse toutes les 6 heures
•/•
4. THÉORÈME DU MOMENT CINÉTIQUE
F
M
Rappel : Moment d’une force F par rapport à un point O
r
M o (F) = OM ∧ F = r ∧ F
•
m
•
O
Rappel : Moment cinétique par rapport à un point O
= moment de la quantité de mouvement du point matériel M de masse m L o = r ∧ p
dL o
dr
dp
dp
dp
= ∧p+r∧
= v∧p+r∧
=r∧
dt
dt
dt
dt
dt
dp
Dans référentiel galiléen
=F
où F = résultante des forces appliquées à m
dt
dL o
⇒
= r ∧ F = M o (F)
dt
Calculons
Théorème du moment cinétique : Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport
au temps du mt cinétique par rapport à un point fixe est égale au moment par rapport à
ce point des forces appliquées
Remarque : * Si la particule est isolée F = 0 ⇒ L o = cste
* Si la particule est soumise à une force centrale : r ∧ F = 0 ⇒ L o = cste
•/•
O
Exemple: le pendule simple
Moment cinétique de m par rapport à O :
θ
L o = r ∧ mv
r = lu ρ
v = lθ& u θ
l
C
T
uθ
⇒ L o = ml θu z
2&
uρ
Moment des forces appliquées à m par rapport à O :
Poids : M o (P) = OM ∧ mg = lm u ρ ∧ g = −lmg sin θu z
Tension : M o (T ) = OM ∧ T = 0
Théorème du moment cinétique : dL o = M o (F)
⇒ ml 2&θ& = −mgl sin θ
dt
C’est-à-dire :
l&θ& + g sin θ = 0
FIN DE LA PARTIE II
P