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A l’heure du café, on n’a pas toujours le temps
d’aller au bout des interrogations.
Questions d’astro.
Alors voici quelques éléments de réponses un peu
plus détaillées aux questions qui se sont posées
aux rencontres du club.
le sujet du jour : « Peser » les astres.
A
Les forces en présence.
On sait depuis Newton (168 ) que deux masses M et m isolées dans l’espace et situées à une distance r
l’une de l’autre s’attirent mutuellement avec une force dont la direction est celle des centres de gravité et
dont l’intensité est donnée par :
A
GMm
où G est la constante de gravitation universelle et vaut G  6.67  1011 (SI)
r2
On sait aussi grâce à Huygens que pour imposer à une masse  une trajectoire circulaire de rayon r
autour d’un point, il faut lui appliquer une force centripète dont l’intensité est donnée par :
C
v 2
r
Lorsque deux objets dotés de vitesses initiales non nulles
passent au voisinage l’un de l’autre, leur trajectoire est
modifiée et, s’il y a capture mutuelle, les deux objets vont
tourner tous les deux autour de leur centre de gravité
commun I sur des orbites elliptiques. [fig 1]. Cette
situation complexe ne sera pas étudiée ici.
I
m
Nous nous plaçons dans le cas où l’un des deux objets
possède une masse M bien supérieure à la masse m de
l’autre. Le centre de gravité est alors confondu avec le
centre de la grosse masse et la révolution se fait autour
de ce centre qui est un foyer de l’ellipse. [fig 2]
Dans le Système solaire, presque toutes les planètes
tournent autour du Soleil sur des orbites quasi circulaires.
De même les orbites des satellites autour des planètes
sont-elles souvent circulaires. [fig 3] Cela va nous donner
de multiples occasions d’appliquer la loi de Gravitation
facilement.
B
r
M
m
r
M
Quand Huygens rencontre Newton...
Dans le cas particulier d’une masse m petite devant M et d’une orbite circulaire de rayon r, on peut
écrire :
GMm mv 2
La simplification par m signifie que le mouvement d’une autre masse serait le même.

r2
r
2 r
En observant que la vitesse est donnée par : v 
, où T est la période de révolution, on aboutit à :
T
GM 4 2r 2
GMT 2  4 2r 3 (1)
ce qui aboutit à :

r2
T 2r
C
Où l’on retrouve Kepler.
Vers 1610, Kepler avait découvert sans pouvoir l’expliquer une relation entre T et r. Il avait énoncé (en
termes simplifié ) : « Pour l’ensemble des planètes, les carrés des temps de révolution autour du Soleil
sont proportionnels aux cubes des rayons des orbites ».
Avec nos notations, cela signifie que le quotient :
Or d’après l’égalité (1) ci-dessus, on a :
T2
est le même pour toutes les planètes.
r3
T 2 4 2

r 3 GM
Le deuxième membre ne contient que la masse du Soleil. La constante est bien la même pour toutes les
planètes. La loi empirique de Kepler devient ainsi une conséquence de la loi de Gravitation.
Mais il y a encore plus fort. Voyez quelques autres applications :
D
« Peser » le Soleil. (*)
M
Une autre façon d’écrire l’égalité (1) est :
4 2r 3
(2)
GT 2
Or, on ne trouve à droite que des quantités mesurables.
r : rayon de l’orbite de la Terre
r  150 millions de km  1.5  1011m
T : Période de révolution = une année
T  365.25  24 3600  31 557 600s
11
G  6.67  10 (SI)
4 2 1.5  1011 
3
On en déduit la masse du Soleil :
E
M
6.67  10
11
 31557600
 2  1030 kg
2
M  2  1030 kg
« Peser » la Terre. (*)
La même formule (2) s’applique bien sûr en remplaçant le Soleil par la Terre et en observant à quelle
vitesse doit aller la Lune pour rester en orbite circulaire autour d’elle.
r : rayon de l’orbite de la Lune
T : Période de révolution = un mois lunaire
r  384 000 km  3.84  108 m
T  27.32 j  2 360 500 s
G  6.67  1011 (SI)
4 2  3.84  108 
3
On en déduit la masse de la Terre : M 
F
6.67  1011  23605002
 6  1024 kg
M  6  1024 kg
Lancer un satellite géostationnaire.
Maintenant que nous connaissons la masse de la Terre, nous pouvons calculer à quelle altitude lancer un
satellite pour qu’en tournant autour de la Terre, il reste toujours à la verticale du même point de
l’équateur. Pour cela, il suffit de reprendre la formule (1) pour en extraire le rayon r, avec :
G  6.67  1011 (SI)
M : Masse de la terre
T : Période de révolution = un jour sidéral
M  6  1024 kg
T  86160 s
GMT 2 6.67  1011  6  1024  861602

 7.525  1022
4 2
4 2
r  4.222  107 m 42 200 km
r3 
Le satellite doit donc tourner à 42 200 km de centre de la Terre, soit à une altitude de 35 800 km
G
« Peser » Jupiter. (*)
Nous allons procéder exactement comme pour « peser » la Terre. Et là nous avons l’embarras du choix
car Jupiter à une foule de satellite dont quatre aisément visible depuis la Terre.
Ces satellites semblent osciller de part et
d’autre de la planète car leur orbite est vue
quasiment par la tranche. Il est donc facile, en
suivant nuit après nuit leur déplacement, de
tracer ces orbites et de mesurer leur rayon
angulaire.
Voyons cela pour le plus proche et donc le plus
rapide des satellites : Io, dont l’orbite est tracée
en surimpression sur la photo ainsi que
l’échelle angulaire.
Une mesure précise montre que le rayon
angulaire de l’orbite de Io est de :
2.45’
 2.46’ soit 7.16  104 rad
Le jour où cette photo a été prise, la distance d
de Jupiter était égale à 590 millions de km. On
peut déduire de ces deux données le rayon
linéaire de l’orbite de Io.
1' 
1
  2.91 104 rad
60
r  d    5.90  1011  7.16  104  4.22  108 m
d  590 millions km  5.9  1011 m
  2.46'  7.16  104 rad
Il est facile d’observer que la période de révolution de Io est de 1.77 jours, soit 152 900 s.
La formule (2), déjà deux fois utilisée, va nous donner enfin la masse de Jupiter :
r : rayon de l’orbite de Io
T : Période de révolution : 1.77 j
G  6.67  1011 (SI)
M
4 2r 3
GT 2
(2)
r  4.22  108 m
T  152 900 s
4 2  4.22  108 
3
On en déduit la masse due Jupiter : M 
6.67  1011  1529002
 1.9  1027 kg
M  1.9  1027 kg
Souvenez-vous que nous avons calculé la masse du Soleil ( 2  1030 kg ) et celle de la Terre ( 6  1024 kg )
On en déduit que Jupiter est 1050 plus léger que le Soleil et 317 fois plus lourd que la Terre !!!
On est ben peu d’chose !!!
(*)
NB : J’ai écrit « peser » entre en guillemets car, malheureusement, il n’existe pas de mot en
Français pour « calculer une masse ». Le verbe peser fait penser à poids, ce qui est dangereux car
justement, il ne faut pas confondre poids et masse.