Table des mati`eres

Table des mati`eres
1 Introduction 5
2 Probl`emes aux moindres carr´es lin´eaires 7
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 La m´ethode des ´equations normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 La m´ethode d’orthogonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.1 Transformation orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2 Factorisation QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.3 Transformation de Householder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.4 Appliquer les matrices de Householder . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.5 Factorisation QR avec les transformations de Householder . . . . . . 10
2.3.6 Factorisation QR par bloc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.7 Les rotations de Givens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.8 Factorisation QR avec les rotations de Givens . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 L’analyse de perturbation des solutions des probl`emes aux moindres carr´es 13
2.5 L’erreur en arri`ere et en avant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.1 L’erreur en arri`ere par composantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Des outils pour les probl`emes creux 16
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Des outils pour les probl`emes creux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.1 Les m´ethodes de stockage creux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.2 La repr´esentation par graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.3 Pr´edire la structure de ATA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.4 Pr´edire la structure de R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.5 Permutation des colonnes pour minimiser le remplissage . . . . . . . 18
3.3 Le raffinement it´eratif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Factorisation QR d’une matrice bloc angulaire 22
4.1 La m´ethode QR pour un probl`eme bloc angulaire . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 L’algorithme parall`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 La m´ethode multifrontale pour la factorisation QR . . . . . . . . . . . . . . 27
5 Les r´esultats exp´erimentaux 32
5.1 Les solveurs directs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2 Les r´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2.1 Les r´esultats de pr´ecision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1

5.2.2 Le temps d’ex´ecution sur un processeur . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2.3 Les r´esultats de m´emoire et de flops . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2.4 Performance parall`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6 Conclusion 39
2

Table des figures
2.1 l’erreur en arri`ere et en avant de la fonction y = f(x). ligne solide = exact ;
ligne pointill´ee = calcul´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1 La repr´esentation par graphe d’une matrice creuse. Les nombres corres-
pondent aux colonnes de la matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 La s´equence des graphes d’´eliminations de la matrice de la Figure 3.1. ligne
pointill´ee = un ´el´ement cr´e´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Une matrice Apour laquelle l’algorithme du degr´e minimum n’est pas optimal 19
4.1 Les ´etapes de factorisation d’une matrice bloc angulaire . . . . . . . . . . . 23
4.2 ROCDEC. Factorisation en cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Example de la factorisation QR en parall`ele d’une matrice bloc angulaire . 27
4.4 Une matrice et son arbre d’´elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.5 La factorisation QR multifrontale. x repr´esente un ´el´ement de la matrice
originale. r est un ´el´ement calcul´e du facteur R. Les entiers dans les matrices
frontales sont utilis´es pour d´enoter le num´ero du noeud correspondant au
bloc de contribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3

Liste des tableaux
5.1 Caract´eristiques des matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2 L’erreur relative et la norme du r´esidu pour le syst`eme consistant et BA1. 34
5.3 l’erreur en arri`ere pour le syst`eme inconsistant et BA1. . . . . . . . . . . . 35
5.4 Nombre de flops (#flops), nombre des ´el´ements non nuls dans R (nnz(R)) et
la m´emoire utilis´ee par Q qui interviennent durant la factorisation de BA1. 36
5.5 Le temps d’ex´ecution en parall`ele, la charge et l’utilisation m´emoire de P MFQR
appliqu´ee sur BA1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.6 Le temps d’ex´ecution en parall`ele, la charge de MA49 appliqu´ee sur les blocs
de la diagonale de BA1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.7 Le temps d’ex´ecution en parall`ele, la charge et l’utilisation m´emoire de PS-
PASES appliqu´ee sur BA1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4

Chapitre 1
Introduction
Les travaux de recherche effectu´es pendant ce stage se situent autour d’un probl`eme
d’estimation d’´etat [1] dans le r´eseau de transport de l’´electricit´e. Ce probl`eme apparaˆıt
dans les syst`emes de gestion d’´energie.
Les estimateurs d’´etat (State Estimators, SE) sont le noyau des syst`emes de la gestion
de l’´energie moderne (Energy Management Systems, EMS). La performance de n’importe
quel autre programme d’application (ex : analyse de s´ecurit´e, etc) d´epend consid´erablement
sur la pr´ecision des donn´ees fournies par SE. L’estimateur d’´etat a recours : `a des mesures
sur terrains, param`etre du r´eseau (R, L, etc.), topologie du r´eseau (breaker position, etc), et
autres informations disponibles, et il profite de la redondance dans l’ensemble des mesures
pour filtrer l’erreur associ´ee `a ces derniers. Due `a ces propri´et´es statistiques, l’approche aux
moindres carr´es pond´er´es est utilis´ee pour r´esoudre ce probl`eme.
D’apr`es le probl`eme physique sous-jacent on tombe sur une matrice de tr`es grande taille
et ayant beaucoup d’´el´ements nuls, une telle matrice est appel´ee une matrice creuse. Pour
r´esoudre un probl`eme aux moindres carr´es on a besoin de factoriser la matrice d’entr´ee A
en utilisant la factorisation QR qui consiste `a d´ecomposer la matrice Aqui s’´ecrit apr`es
la factorisation comme le produit d’une matrice orthogonale Qet une matrice triangulaire
sup´erieure R. Dans les calculs sur les matrices creuses il est essentiel de stocker et d’effectuer
des op´erations sur les ´el´ements non nuls uniquement et il faut essayer de maintenir le plus
petit nombre possible de nouveaux ´el´ements introduits durant le calcul, si on ne prend pas
en compte ces derniers le coˆut m´emoire peut empˆecher la factorisation QR.
Ces travaux se sont r´ealis´es dans le cadre d’une collaboration avec RTE (R´eseau de
transport de l’´electricit´e) France. Pour l’instant, les algorithmes utilis´es par RTE ne per-
mettent pas de r´esoudre des matrices de tr`es grandes tailles. Ceci est dˆu au coˆut m´emoire
important n´ecessaire pour la factorisation QR . Par exemple, le coˆut a empˆech´e la factorisa-
tion QR d’une matrice A d’entr´ee de dimension 715615 ×199709 et ayant 2994230 ´el´ements
non nuls. Cette matrice refl`ete une situation r´eelle du r´eseau d’´electricit´e, et la r´esolution de
ce probl`eme est tr`es importante pour les recherches effectu´ees `a RTE. Ainsi, il est important
de d´evelopper des algorithmes performants pour effectuer la factorisation QR d’une matrice
creuse en parall`ele.
Ce travail de recherche a deux buts : Acc´el´erer le processus de factorisation et ´etudier
la pr´ecision des r´esultats obtenus. Plus pr´ecis´ement, le travail consiste `a mettre en oeuvre
un algorithme pour effectuer la factorisation QR en parall`ele, en consid´erant une approche
par blocs et une ex´ecution en parall`ele sur une grille de processeurs 2D et de comparer
les deux types de r´esolutions : factorisation de Cholesky parall`ele sur la forme normale
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