Du TP de hier : Le nombre 53689342192 est divisible par 11 si et

Du TP de hier :
Le nombre 53689342192 est divisible par 11 si et seulement si
5+36 +89 +34 +21 +92 est divisible par 11 si et seulement si
5−3+6−8+9−3+4−2+1−9+2 est divisible par 11.
Expliquer.
Réponse :
Nous avons 100 ≡11 1, parce que 11|(100 −1), parce que
99 =11 ·9.Alors
53689342192 =5·1005+36 ·1004+89 ·1003+
+34 ·1002+21 ·100 +92
≡11 5+36 +89 +34 +21 +92
=5+ (3·10 +6)+(8·10 +9) +
+(3·10 +4)+(2·10 +1)+(9·10 +2)
≡11 5−3+6−8+9−3+4−2+1−9+2.
MAT1500 1 of 35

Règles de divisibilité par 7.
Soit b>0 un nombre tel que b≡71 (par exemple b=8).
Soit le nombre naturel Nreprésenté sur la base b>0 comme
N= [cr,cr−1,...,c1,c0]b.
Alors Nest divisible par 7 si et seulement si la somme des chiffres
est divisible pas 7. Et même : Net la somme de ses chiffres ont le
même reste après division par 7 :
N≡7(c0+c1+c2+. . . +cr).
Preuve :
N=
r
X
i=0
cibi≡7
r
X
i=0
ci1i= (c0+c1+c2+. . . +cr).
MAT1500 2 of 35

Du TP de hier :
Supposons que n|3aet qu’il existe deux entiers s,ttels que
3s+nt =1. Montrer que n|a.
Réponse : Une hypothèse est 3s+nt =1 donc aussi
3as +ant =a. Une autre hypothèse est que n|3a. Il suit que n|3as
et n|ant, et donc n|(3as +ant)et donc n|a.
MAT1500 3 of 35

Semblable à un exercice du TP de hier :
Problème : Soit n= (1327 +199 ·23 −311)·(2345 +115). Quel
est le dernier chiffre de ndans la représentation hexadécimale ?
Réponse : On a n>0 donc nous cherchons le nombre 0 ≤r<16
tel que n≡rmod 16. Calculons modulo 16.
n≡16 ((−3)27 +7·7−7)·(9+ (−5)5)
≡16 ((9)13 ·(−3) + 42)·(9+ (25)2·(−5))
≡16 ((81)6·9·(−3) + 10)·(9+ (9)2·(−5))
≡16 ((1)6·(−27) + 10)·(9+ (81)·(−5))
≡16 (−17)·(9+ (1)·(−5))
≡16 (−1)·(4)
≡16 −4
≡16 12
Donc le dernier chiffre est C(douze).
MAT1500 4 of 35

Du TP de hier :
(i) Soient a,c,ndes entiers où n>0. Montrer qu’il existe un
entier xtel ax ≡ncsi et seulement si pgcd(a,n)divise c.
(ii) Trouver un entier xtel que 7x≡100 1.
MAT1500 5 of 35