1/6 COMPOSITION DE PHYSIQUE (XULC) Effet du champ

X Physique MP 2012 — Énoncé 1/6
ÉCOLEPOLYTECHNIQUE–ÉCOLESNORMALES SUPÉRIEURES
CONCOURSD’ADMISSION2012 FILIÈREMP
COMPOSITION DEPHYSIQUE(XULC)
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesn’estpasautorisée pourcette épreuve.
Onse contentera,pourlesapplicationsnumériques,d’un seulchiffresignificatif.
⋆ ⋆ ⋆
Effetdu champgravitationnelterrestre
surlemouvementd’un gyroscope enorbite
Lathéoriedelarelativitégénérale,publiée parA.Einsteinen1916,préditl’existence dedeux
effets,ditseffetgéodétique eteffetLense-Thirring,surlemouvementd’un gyroscope enorbite
autourdelaTerre.Ceux-ciontétémesurésavec succèsparlesatelliteGravityProbeBen
2008.Dansce problème,nousallonsessayerderendre comptede cesperturbationsdu mouve-
mentclassique en nousfondantsurunegénéralisation post-newtoniennedu champgravitationnel
obtenueparanalogieavec l’électromagnétisme.Cetteanalogiepermetde comprendrel’origine
desphénomènesetd’encalculerun ordredegrandeur,maisnedonnepaslesmêmesrésultats
quelathéoriedelarelativitégénérale.
Donnéesnumériques
Vitessedelalumièredanslevidec=3,0×108m·s−1
Rayon delaTerreR⊕=6,4×106m
Accélération delapesanteuràlasurface delaTerreg=9,8m·s−2
Durée del’année 1 an=3,2×107s
Massedel’électron:me=9,1×10−31 kg
Charge élémentaire:e=1,6×10−19 C
Formulaire−→
rotÄ−→ rot~ Aä=−−→ gradÄdiv~ Aä−∆~ A
I.Unethéoriedu gravitomagnétisme
Danscettepartie,nousallonspartirdel’analogieformelle entrele champélectrique etle
champgravitationnel. Cecinouspermettrade construirel’équivalentgravitationneldeséquations
deMaxwell etfera apparaîtreun champ « gravitomagnétique»,analoguedu champmagnétique.
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X Physique MP 2012 — Énoncé 2/6
I.1Quelle estl’expression du champélectrique~ Ecréé enMparune chargeponctuelleqplacée
enO?Donnerl’expression du champgravitationnel~gobtenu enMenremplaçantqparune
masseponctuellem.On noteraGlaconstantedegravitation universelle.
I.2Ons’intéressemaintenantàunedistributioncontinuede charge électriqueayantladensité
ρe(~r)ou dematièreayantlamassevolumiqueρ(~r).En poursuivantl’analogiedelaquestion
précédente,justifierqueladivergence du champgravitationnelprend laformediv~g=ρ/ǫg,où
ǫgestune constantedoncon préciseral’expression.Montrerquel’on peutalorsretrouverle
théorèmedeGauss gravitationnel.
Dansle casgénéral, le champélectromagnétiquevérifieleséquationsdeMaxwell. En nous
fondantsurl’analogieformelle entrele champélectriqued’unedistribution de charge etle champ
gravitationneld’unedistribution demasse,nousallons supposerl’existence d’un champgravito-
magnétique~ hcoupléauchampgravitationnel~gselonleséquations
div~g=ρ
ǫg
div~ h=0
−→
rot~g=−∂~
h
∂t
−→
rot~ h=µgÅ~
j+ǫg
∂~g
∂tã
où~ j=ρ~vdésignelevecteurdensitéde courant,~vétantlavitessedelamatièreau pointconsidéré.
I.3Quelle estladimension de~ h?
I.4Àpartirde ceséquations,déduirelaformelocaledel’équation de conservation delamasse.
I.5Montrerquele champgravitationneldanslevide,enl’absence demasse,estsolution d’une
équation d’onde.Onsupposequelavitessedepropagation de cesondesgravitationnellesest
égaleàc,vitessedelalumièredanslevide.En déduirel’expression deµgenfonction deGetc.
I.6Rappelerl’expression delaforce subieparunemasseponctuellemplongée dansun champ
gravitationnel~g.Paranalogieavec l’électromagnétisme,donnez l’expression delaforce deLorentz
dueauchampgravitomagnétique~ h.
Nousallonsmaintenantcomparerl’action du champgravitationneletdu champgravitoma-
gnétique enétudiantlesystème constituédedeuxfilsparallèlesinfinis.
I.7Déterminerle champgravitationnelcréé parun filrectiligneinfini, immobile,demasse
linéiqueλ,entoutpointextérieuràcelui-ci. En particulier,on préciseralesargumentsdesymétrie
quipermettentdesimplifierle calcul.
I.8Exprimerlaforce gravitationnelleparunitédelongueur−→ Fgentredeuxfilsidentiqueset
parallèles,séparésparunedistance d.
I.9Onconsidèreàprésentun filrectiligneinfinidemasselinéiqueλenmouvementuniforme
àlavitesse~vparallèleaufil. Déterminerle champgravitomagnétique~ hqu’il crée en un point
extérieurquelconque.Unefoisencore,on préciseralesargumentsdesymétriequipermettentde
simplifierle calcul.
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X Physique MP 2012 — Énoncé 3/6
I.10 Donnerl’expression delaforce gravitomagnétiqueparunitédelongueur−→ Fhentredeuxfils
rectilignesidentiquesetparallèles,enmouvementàlamêmevitesse~vparallèleàleurdirection
etséparésparunedistance d.Cetteforce est-elleattractiveourépulsive?Comments’écritle
rapport k−→ Fhk/k−→
Fgk?Quelle estl’importance relativedeseffetsgravitomagnétiquespourdes
vitessesordinaires?Quesepasse-t-il sioninverselesensdelavitessedel’un desfils?
Ons’intéressemaintenantàl’action d’un champgravitomagnétiquesurun gyroscope.
I.11 Rappelerl’expression du momentmagnétique−→ Md’unespire circulairederayonRparcourue
parun courantI.
I.12 Onconsidèreunespire circulairedemassemetderayonRenrotation uniformeàla
vitesseangulaire~ωautourdel’axeperpendiculaireàson planetpassantparsoncentre.En
poursuivantl’analogie,montrerquesonmomentgravitomagnétique−→ Mgestproportionnelàson
momentcinétique~σ.Donnerlavaleurdelaconstantedeproportionnalité.Onsupposeracette
relation deproportionnalitégénérale.
I.13 Rappelerle couplequesubitun momentmagnétiqueplongédansun champmagnétique
uniforme etconstant.Onconsidèreun gyroscopedemomentcinétique~σplacé dansun champ
gravitomagnétique~ huniforme etconstant.Déduireparanalogiel’équation du mouvementde~σ
etdécriresuccinctementsonévolutionaucoursdu temps.
II.Effetgravitomagnétiquesurun satellitedû àsarévolution
II.1Onconsidèreun satellite enorbite circulaireautourdelaTerre.Exprimersavitessev
enfonction desonaltitudea,delamasseM⊕et rayonR⊕delaTerre etdelaconstante
degravitation universelleG.Comments’écritcettevitesse enfonction del’accélération dela
pesanteuràlasurface delaTerreg,deaetdeR⊕?
Application numérique:Calculervpourun satelliteorbitantàbassealtitudea≪R⊕.En
déduirelavaleurdesapériodederévolution.
Dansleréférentielbarycentriquedu satellite, laTerretourneautourdelui, ce quicrée un
champgravitomagnétiquedontnousallonsétudierl’effet.Poursimplifierlamodélisation,nous
supposons,danscettepartieuniquement,queleréférentielbarycentriquedu satellite estgaliléen.
II.2Rappelerl’expression du champmagnétique−→ Baucentred’unespire circulairederayonR
parcourueparun courantd’intensitéI.
II.3Paranalogie,en déduirel’expression du champgravitomagnétique~ hressentiparlesatellite,
danslalimiteoùlaTerre estponctuelle.Onl’exprimeraenfonction dev,cetdesapériodede
révolutionT.
II.4Ungyroscope estplacé aucentredegravitédu satellite ens’arrangeantpourqu’il n’ait
aucun contactavec celui-ci, desorteàlaisserlibrestous sesdegrésdelibertésderotation.On
notera~σlemomentcinétiquedu gyroscopedansleréférentielbarycentriquedu satellite.La
directioninitialede~σestchoisiedansleplanorbitaldu satellite.
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X Physique MP 2012 — Énoncé 4/6
Montrerque~σprécesseàunevitesseangulaireω1donton donneral’expressionenfonction
dev,cetT(effetdit«géodétique»).On préciserasurun schémaladirectionetlesensdu
mouvementdeprécession.
II.5Calculernumériquementl’angledont tourne~σen un an pourun satelliteorbitantàbasse
altitude.Comparerce résultat théoriqueavec lavaleurexpérimentale3,2×10−5radianmesurée
parlesatelliteGravityProbeB.
III.Effetgravitomagnétiquedelarotation delaTerresurun satellite
Danscettepartie, il s’agitmaintenantde calculerl’effetgravitomagnétiqueinduitparla
rotation propredelaTerresurl’orientation d’un gyroscope enorbite.On désigneparOxyz
un référentielgéocentrique,supposégaliléen,oùOestle centredelaTerre etOzsonaxede
rotation.On note−→ Ω⊕=Ω⊕~ezlavitesseangulairedelaTerredansce référentieletJ⊕son
momentd’inertiepar rapport àl’axeOz.
III.1Donnerl’expression du momentgravitomagnétiquedelaTerre,noté−→ Mg,dû àsarotation
propre.
III.2Onrappellequele champmagnétique−→ Bcréé en un pointPparun dipôlemagnétiquede
moment−→ Msitué enOestdonnépar
−→
B=µ0
4π
3(−→ M.~n)~n−−→ M
r3avec ~r=−→
OPet~n=~r
r
Donnerl’expression du champgravitomagnétiquedelaTerre,assimilée danslasuitedu
problèmeàun momentgravitomagnétiqueponctuel. Tracerl’alluredeseslignesde champ dans
un plancontenantl’axederotationterrestre.
Onconsidèredésormaisun satellitedeplanorbitalOyz(orbitepolaire).Laposition du
satellitesursonorbite est repérée parun angleθdesortequelescoordonnéesdu satellitesont
donnéespary=(R⊕+a)sinθetz=(R⊕+a)cosθ.
III.3Donnerl’expression descomposanteshyethzdu champgravitomagnétiqueterrestreres-
sentiparlesatellite enfonction deθ.
CommedanslapartieII,un gyroscope estplacé aucentredegravitédu satellite,sanscontact
avec celui-ci. On notera~σlemomentcinétiquedu gyroscopedansleréférentielbarycentriquedu
satellite.Initialement, ladirection de~σestparallèleàOy.
III.4Exprimerlavariationδ~σ,supposée faible,de~σsurunepériodeorbitaleT.
III.5Dequelangleεtourne~σpendantlapériodeT?En déduirel’expression delavitesse
angulairemoyennedeprécession de~σ,notée ω2(effetdit«Lense-Thirring»).
III.6On donneJ⊕≃1
3M⊕R2
⊕etonseplace danslalimiteoùa≪R⊕.Exprimerω2enfonction
deΩ⊕,cetv, lavitessedu satellite.
III.7Déterminerlerapport ω2/ω1,oùω1estlavitesseangulaire calculée danslapartieII.
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X Physique MP 2012 — Énoncé 5/6
Application numérique: lesatelliteGravityProbeBamesuré|ω2|=1,9×10−7radian/an.
L’ordredegrandeurde ce résultatest-il compatibleavec lamodélisation proposée plushaut?
III.8LesatelliteGravityProbeBa aussimesuréladirection desdeuxmouvementsdeprécession
du gyroscope.Montrerquele choixd’uneorbitepolairepermetdeséparerl’effetgéodétiquede
l’effetLense-Thirring.
IV.Mesuredu mouvementdu gyroscope
Legyroscope estunebouledequartzisolant revêtued’unefinepelliculedeniobiumsupra-
conducteur.L’ensemble estmisenrotation.Unsupraconducteurenrotationestlesièged’un
champmagnétiquealignéavec sonaxederotation.Laprécession du gyroscope estdéterminée
pardesmesuresdefluxde ce champmagnétiqueàtraversuneboucleàinduction.Lebutde
cettepartie estd’établirl’expression du champmagnétique engendréparun supraconducteuren
rotation,puisd’estimerlaprécision delamesure.
IV.1Onadmetqu’il existeun choixdu potentielvecteur telquelavitessedesélectrons soit
donnée entoutpointdu supraconducteurpar
~v=e
me
~
A,
oùeestlacharge élémentaire,meestlamassedel’électron,et~
Aestlepotentielvecteurau
pointoùsetrouvel’électron.Vérifierque cette équationestdimensionnellementcorrecte.
IV.2On noteNladensitévolumiqued’électronsdanslesupraconducteur.Exprimerladensité
de courant~ jensupposantquelesélectrons sontles seulsporteursde charge.
IV.3Onadmetqu’un supraconducteurestun conducteurohmiquederésistiviténulle.Écrirela
formelocaledel’équation de conservation delacharge en un pointàl’intérieurdu supraconduc-
teur.Quelle conditionimpose-t-ellesurlepotentielvecteur~ A?
IV.4OnsupposeparailleursquelepotentielscalaireVestpartoutnulàl’intérieurdu supra-
conducteur.Exprimerle champélectrique~ Eetle champmagnétique~ Benfonction de~ j.
IV.5Parmi lesquatre équationsdeMaxwell, lesquelles sontautomatiquementvérifiéesparces
expressionsde~ Eet~ B?
IV.6Lesupraconducteurestenrotation uniformeàlavitesseangulaire~ Ω=Ω~ezautourdel’axe
Oz.Onsupposequelesélectrons sontaurepospar rapport ausupraconducteur.En déduire
l’expression de~ven un point~r,puisl’expression du champ~ Bdanslapelliculesupraconductrice.
IV.7En déduirel’expression du champ~ Bàl’intérieurdelaboule constituantlegyroscope.
Application numérique:Lavitesseangulairederotation du gyroscope embarquésurlesatellite
GravityProbeBestΩ=900 rad·s−1.CalculerB,moduledu champmagnétiqueàl’intérieur
du gyroscope.
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