Effet du champ gravitationnel terrestre sur le - MP*1

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X-ENS-MP-2012
Effet du champ gravitationnel terrestre sur le mouvement
d’un gyroscope en orbite
I- Une théorie du gravitomagnétisme
I-1- Le champ électrique en  créé par une charge ponctuelle placée en  est :
On en déduit l’expression du champ gravitationnel créé par une masse ponctuelle  placée en
O :   
I-2- On a la relation de Maxwell-Gauss : 
, d’où par analogie en remplaçant   par
 et la densité volumique de charge par la masse volumique :    ce qui
donne :  
On obtient le théorème de Gauss gravitationnel : 
I-3-  est en . On a la relation de Maxwell-Faraday : 
 ce qui donne comme
unité pour  :  
I-4- On part de l’équation de Maxwell-Ampère: 
 et on prend la
divergence de cette égalité ce qui donne : 
  . On peut
commuter les opérateurs div et 
 ce qui donne : 
Mais on a également l’équation de Maxwell-Gauss :   
 d’où : 
I-6- Une masse ponctuelle placée dans un champ gravitationnel  subit une force 
 .
L’expression de la force électromagnétique de Lorentz est  . Par analogie la
force de Lorentz gravitationnelle s’écrit :  .
I-7- On considère un fil infini, immobile, de masse linéique . On a invariance de la
distribution de masse par translation par rapport à l’axe du fil, appelé axe des et par rotation
par rapport à l’axe des  donc .
Les plans 
 et   sont des plans de symétrie de la distribution de masse
donc   
.
On peut appliquer le théorème de Gauss avec comme surface fermée  la surface d’un
cylindre de rayon , centré sur le fil et de longueur .
On a 
.

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La masse contenue dans ce cylindre vaut  .
On en déduit l’expression du champ gravitationnel : 
 .
I-8- On considère deux fils parallèles, séparés par une distance d.
Un élément de longueur  du fil 2, placé en , subit le champ gravitationnel : 
. Cet élément a une masse  . Il subit une force gravitationnelle :
 ;
en déduit la force par unité de longueur entre les deux fils : 
 (attention
 donc 
, force attractive.
I-9- Cette fois le fil est animée d’une vitesse . On a donc un courant linéique  .
L’étude des symétries pour les translations et les rotations est la même que pour  donc
.
Le plan 
 est un plan de symétrie de la distribution de masse donc    .
On applique le théorème d’Ampère à un cercle de rayon  et d’axe le fil :
  ce qui donne 
I-10- On a deux fils infinis et se déplaçant dans le même sens. Chaque fil sera soumis de la
part de l’autre fil à une force de Lorentz : 
 avec   et
 ce qui donne comme force gravitomagnétique par unité de longueur :
 mais comme  
 cette interaction est répulsive :
Le rapport 
 vaut : 
Pour des vitesses ordinaires    et 
Si on inverse le sens d’un des fils, la force conserve le même module mais devient attractive.
I-11- L’expression du moment magnétique d’une spire de rayon  parcourue par un courant ,
de vecteur normal  orienté par rapport à  par la règle de la main droite est 
𝑑
𝑔
𝑀
𝑀

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I-12- Avec l’analogie proposée, le moment magnétique est 
 . La spire tournant
sur elle-même à la vitesse angulaire  on a   
 et  . On en déduit :
. On introduit  la masse de la spire avec   .
On obtient : 
I-13- Le couple subit par un moment magnétique dans un champ magnétique uniforme et
constant est :  . Par analogie, on en déduit qu’un moment gravitomagnétique subit
un couple  .
Si on applique le théorème du moment cinétique on a :  . Or on a vu que
. L’équation du mouvement de  est donc : 
Montrons que ce mouvement est un mouvement de précession autour de l’axe de  , appelé
axe des .
Si on projette l’équation obtenue en coordonnées cartésiennes on a :
On en déduit que la composante de  dans la direction de  est une constante.
Dans le plan  on a, en dérivant la première équation : 
  ce qui donne en
remplaçant dans la deuxième équation : 
 soit 
Si on suppose qu’au temps  ,   et   on en déduit  
 et
. Le moment cinétique tourne donc dans le sens anti trigonométrique.
La composante de  dans le plan perpendiculaire à  a un mouvement circulaire de
vitesse angulaire 
II- Effet gravitatomagnétique sur un satellite en révolution
II-1- On travaille dans le référentiel géocentrique supposé galiléen et on prend comme
système le satellite. La loi de la quantité de mouvement donne :
 soit en projetant sur   et en supposant le mouvement circulaire :
 ce qui donne  

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Le champ de gravitation au niveau du sol vaut :  
 ce qui donne comme expression de
la vitesse :   
Pour   on peut écrire    soit   .
La période de révolution du satellite est alors :   
 soit   
II-3- Dans le référentiel où le satellite est au repos, la Terre est une masse  qui décrit une
spire de rayon  pendant un temps . L’intensité gravitationnelle vaut :   
.
Le champ magnétogravitationnel ressenti par le satellite est par analogie : 
soit : 
 mais on a vu     soit     et    ce qui
donne : 
II-4- D’après les résultats de la question (I-13) le moment cinétique  a sa composante
parallèle au champ constante et sa composante perpendiculaire au champ qui décrit un
mouvement circulaire de vitesse angulaire 
 c’est-à-dire en prenant le résulat de la
question (II-3) : 
.
Dans le référentiel lié au satellite, le moment cinétique initial est dans le plan orbital du
satellite. La composante parallèle au champ de est nulle. Le moment cinétique reste dans le
plan orbital du satellite et tourne à la vitesse angulaire 
II-5- En un an le moment cinétique aura tourné d’un angle   
soit   
 ce qui donne   . Cette valeur a bien le bon ordre de
grandeur que la valeur mesurée mais varie d’un facteur 2. La théorie proposée est sans doute
trop simpliste et on doit travailler en relativité générale.
III- Effet gravitatomagnétique de la rotation de la Terre sur un satellite
III-1- La Terre est un solide de moment d’inertie  en rotation à la vitesse angulaire 
. Son
moment cinétique est 
. D’après la question (I-12) on en déduit l’expression du
moment gravitomagnétique de la Terre : 
𝜎
𝑢
𝑧

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III-2- On a vu que  
 et 
 ce qui donne comme expression du champ
gravitométrique : 
 ce qui donne   ce qui donne en
projetant sur la base 
 : 
On peut trouver l’allure des lignes de champ en écrivant : 
 ce
qui donne : 
 d’où l’équation (non demandée dans le devoir) des lignes de
champ :  .
L’allure de ces lignes de champ est la suivantes :
III-3- Le vecteur  s’écrit sur la base cartésienne : 
, d’où l’expression
de  : 
 , 
III-4- On a vu que le mouvement du moment cinétique est décrit par :  soit en
intégrant sur une période orbitale  du satellite :   
.
La variation du moment cinétique étant supposée faible pendant une période on va considérer
que    ce qui donne
.
L’angle  est une fonction du temps :   
 où  est la vitesse angulaire du
satellite, soit 
.
On en déduit :   
.
D’où :   
III-5- On a le schéma suivant :
𝜎𝑡
𝛿𝜎
𝜎𝑜
𝑦
𝑥