Effet du champ gravitationnel terrestre sur le - MP*1

1
X-ENS-MP-2012
Effet du champ gravitationnel terrestre sur le mouvement
d’un gyroscope en orbite
I- Une théorie du gravitomagnétisme
I-1- Le champ électrique en 𝑀 créé par une charge ponctuelle 𝑞 placée en 𝑂 est :
𝑞
𝐸⃗ (𝑀) = 4𝜋𝜀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀
𝑜
𝑂𝑀3
On en déduit l’expression du champ gravitationnel créé par une masse ponctuelle 𝑚 placée en
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀
O : 𝑔(𝑀) = −𝐺𝑚 𝑂𝑀3
𝜌
I-2- On a la relation de Maxwell-Gauss : 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ = 𝜀 𝑒, d’où par analogie en remplaçant
𝑜
1
𝜀𝑜
par
−4𝜋𝐺 et la densité volumique de charge par la masse volumique : 𝑑𝑖𝑣𝑔 = −4𝜋𝐺𝜌 ce qui
1
donne : 𝜀𝑔 = − 4𝜋𝐺
On obtient le théorème de Gauss gravitationnel : ∯ 𝑔𝑑𝑆 =
𝑀𝑖𝑛𝑡
𝜀𝑔
= −4𝜋𝐺𝑀𝑖𝑛𝑡
⃗
𝜕ℎ
I-3- 𝑔 est en . 𝑠 −2 . On a la relation de Maxwell-Faraday : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑟𝑜𝑡𝑔 = − 𝜕𝑡 ce qui donne comme
⃗ : [ℎ] = 𝑠 −1
unité pour ℎ
⃗ = 𝜇𝑔 (𝑗 + ε𝑔 𝜕𝑔⃗) et on prend la
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ℎ
I-4- On part de l’équation de Maxwell-Ampère: 𝑟𝑜𝑡
𝜕𝑡
⃗ ) = 𝜇𝑔 (div𝑗 + ε𝑔 𝑑𝑖𝑣 𝜕𝑔⃗) = 0. On peut
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ℎ
divergence de cette égalité ce qui donne : 𝑑𝑖𝑣(𝑟𝑜𝑡
𝜕𝑡
𝜕
commuter les opérateurs div et 𝜕𝑡 ce qui donne : div𝑗 + ε𝑔
𝜕𝑑𝑖𝑣𝑔⃗
𝜕𝑡
𝜌
=0
𝜕𝜌
Mais on a également l’équation de Maxwell-Gauss : 𝑑𝑖𝑣𝑔 = 𝜀 d’où : div𝑗 + 𝜕𝑡 = 0
𝑔
I-6- Une masse ponctuelle placée dans un champ gravitationnel 𝑔 subit une force 𝐹 = 𝑚𝑔 .
⃗ ). Par analogie la
L’expression de la force électromagnétique de Lorentz est 𝐹 = 𝑞(𝐸⃗ + 𝑣 ∧ 𝐵
⃗ ).
force de Lorentz gravitationnelle s’écrit : 𝐹 = 𝑚(𝑔 + 𝑣 ∧ ℎ
I-7- On considère un fil infini, immobile, de masse linéique 𝜆. On a invariance de la
distribution de masse par translation par rapport à l’axe du fil, appelé axe des 𝑧 et par rotation
par rapport à l’axe des 𝑧 donc |𝑔(𝑀)| = |𝑔(𝑟)|.
Les plans (𝑀, 𝑢
⃗ 𝑟, 𝑢
⃗ 𝑧 ) et (𝑀, 𝑢
⃗ 𝑟, 𝑢
⃗ 𝜃 ) sont des plans de symétrie de la distribution de masse
donc 𝑔(𝑀) = 𝑔(𝑟)𝑢
⃗ 𝑟.
On peut appliquer le théorème de Gauss avec comme surface fermée Σ la surface d’un
cylindre de rayon 𝑟, centré sur le fil et de longueur 𝐿.
On a ∯Σ 𝑔𝑀)𝑑𝑆 = 2𝜋𝑟𝐿𝑔(𝑟) =
𝑀𝑖𝑛𝑡
𝜀𝑔
.
2
La masse contenue dans ce cylindre vaut 𝑀𝑖𝑛𝑡 = 𝜆𝐿.
𝜆
On en déduit l’expression du champ gravitationnel : 𝑔(𝑀) = 2𝜋𝜀
𝑔𝑟
𝑢
⃗𝑟 .
I-8- On considère deux fils parallèles, séparés par une distance d.
⃗⃗⃗⃗
𝑔(𝑀)
𝑀
𝑑
Un élément de longueur 𝑑𝑙2 du fil 2, placé en 𝑀2 , subit le champ gravitationnel : 𝑔(𝑀2 ) =
𝜆
2𝜋𝜀𝑔 𝑑
𝑢
⃗ 𝑟 . Cet élément a une masse 𝑑𝑚 = 𝜆𝑑𝑙2. Il subit une force gravitationnelle :
2
𝜆 𝑑𝑙
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝐹 = 2𝜋𝜀 2𝑑 𝑢
⃗𝑟;
𝑔
𝜆2
en déduit la force par unité de longueur entre les deux fils : 𝐹𝑔1→2 = 2𝜋𝜀
1
𝜀𝑔 = − 4𝜋𝐺 donc 𝐹𝑔1→2 = −
2𝐺𝜆2
𝑑
𝑔𝑑
𝑢
⃗ 𝑟1→2 (attention
𝑢
⃗ 𝑟1→2 , force attractive.
I-9- Cette fois le fil est animée d’une vitesse 𝑣. On a donc un courant linéique 𝐼 = 𝜆𝑣.
L’étude des symétries pour les translations et les rotations est la même que pour 𝑔 donc
⃗ (𝑀)| = |ℎ(𝑟)|.
|ℎ
Le plan (𝑀, 𝑢
⃗ 𝑟, 𝑢
⃗ 𝑧 ) est un plan de symétrie de la distribution de masse donc 𝑔(𝑀) = 𝑔(𝑟)𝑢
⃗ 𝜃.
On applique le théorème d’Ampère à un cercle de rayon 𝑟 et d’axe le fil :
⃗ (𝑀)𝑑𝑙 = 2𝜋𝑟ℎ(𝑟) = 𝜇𝑔 𝜆𝑣 ce qui donne ℎ
⃗ (𝑀) =
∮ℎ
𝜇𝑔 𝜆𝑣
2𝜋𝑟
𝑢
⃗𝜃
I-10- On a deux fils infinis et se déplaçant dans le même sens. Chaque fil sera soumis de la
⃗⃗⃗⃗⃗ 1→2 = 𝑑𝑚𝑣 ∧ ℎ
⃗ 1 (𝑀2 ) avec 𝑑𝑚 = 𝜆𝑑𝑙 et
part de l’autre fil à une force de Lorentz : 𝑑𝐹
⃗ 1 (𝑀2 ) = 𝜇𝑔𝜆 𝑢
ℎ
⃗ 𝜃 ce qui donne comme force gravitomagnétique par unité de longueur :
2𝜋𝑑
𝜇𝑔 𝜆2 𝑣 2
𝐹ℎ1→2 = −
𝐹ℎ1→2 =
𝑢
⃗ 𝑟1→2 mais
2𝜋𝑑
2
2
2𝐺𝜆 𝑣
+ 𝑑𝑐 2 𝑢
⃗ 𝑟1→2
‖𝐹ℎ ‖
‖𝐹ℎ ‖
𝑔
‖𝐹𝑔 ‖
Le rapport ‖𝐹 ‖ vaut :
=
comme 𝜇𝑔 = −
2𝐺𝜆2 𝑣2
𝑑𝑐2
2𝐺𝜆2
𝑑
4𝜋𝐺
𝑐2
cette interaction est répulsive :
𝑣2
= 𝑐2
Pour des vitesses ordinaires 𝑣 << 𝑐 et ‖𝐹ℎ ‖ ≪ ‖𝐹𝑔 ‖
Si on inverse le sens d’un des fils, la force conserve le même module mais devient attractive.
I-11- L’expression du moment magnétique d’une spire de rayon 𝑅 parcourue par un courant 𝐼,
⃗⃗ = 𝜋𝑅 2 𝐼𝑛⃗
de vecteur normal 𝑛⃗ orienté par rapport à 𝐼 par la règle de la main droite est 𝑀
3
⃗⃗ 𝑔 = 𝜋𝑅 2 𝜆𝑣𝑒𝑧 . La spire tournant
I-12- Avec l’analogie proposée, le moment magnétique est 𝑀
sur elle-même à la vitesse angulaire 𝜔 on a 𝑣 = 𝑅𝜔𝑢
⃗ 𝜃 et 𝑢
⃗𝑧 =𝑢
⃗𝑟∧𝑢
⃗ 𝜃 . On en déduit :
⃗⃗ 𝑔 = 𝜋𝑅𝜆(𝑅𝑒𝑟 ) ∧ (𝑣𝑒𝜃 ). On introduit 𝑚 la masse de la spire avec 𝑚 = 2𝜋𝑅𝜆.
𝑀
1
⃗⃗ 𝑔 = 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
On obtient : 𝑀
𝑂𝑀 ∧ 𝑚𝑣 = 2 𝜎
2
I-13- Le couple subit par un moment magnétique dans un champ magnétique uniforme et
⃗⃗ ∧ 𝐵
⃗ . Par analogie, on en déduit qu’un moment gravitomagnétique subit
constant est : Γ = 𝑀
⃗.
⃗⃗ 𝑔 ∧ ℎ
un couple Γ = 𝑀
Si on applique le théorème du moment cinétique on a :
⃗
𝑑𝜎
𝑑𝑡
1
⃗ . Or on a vu que
⃗⃗ 𝑔 ∧ ℎ
=Γ=𝑀
⃗
⃗⃗ 𝑔 = 1 𝜎. L’équation du mouvement de 𝜎 est donc : 𝑑𝜎⃗ = 𝜎 ∧ ℎ
𝑀
2
𝑑𝑡
2
⃗ , appelé
Montrons que ce mouvement est un mouvement de précession autour de l’axe de ℎ
axe des 𝑧.
Si on projette l’équation obtenue en coordonnées cartésiennes on a :
1
𝜎̇𝑥 = + 𝜎𝑦 ℎ
2
1
𝜎̇𝑦 = − 2 𝜎𝑥 ℎ
𝜎̇𝑧 = 0
On en déduit que la composante de 𝝈
⃗ dans la direction de ⃗𝒉 est une constante.
2
Dans le plan 𝑥𝑂𝑦 on a, en dérivant la première équation : 𝜎̈𝑥 = +𝜎̇𝑦 ce qui donne en
2
1
remplaçant dans la deuxième équation : 𝜎̈𝑥 ℎ = − 2 𝜎𝑥 ℎ soit 𝜎̈𝑥 +
ℎ
ℎ2
4
𝜎𝑥 = 0
ℎ
Si on suppose qu’au temps 𝑡 = 0, 𝜎𝑥 = 𝜎𝑜𝑥 et 𝜎𝑦 = 0 on en déduit 𝜎𝑥 = 𝜎𝑜𝑥 cos(2 𝑡) et
ℎ
𝜎𝑦 = −𝜎𝑜𝑥 sin(2 𝑡). Le moment cinétique tourne donc dans le sens anti trigonométrique.
La composante de 𝝈
⃗ dans le plan perpendiculaire à ⃗𝒉 a un mouvement circulaire de
⃗
𝒉
⃗⃗ = −
vitesse angulaire 𝛀
𝟐
II- Effet gravitatomagnétique sur un satellite en révolution
II-1- On travaille dans le référentiel géocentrique supposé galiléen et on prend comme
système le satellite. La loi de la quantité de mouvement donne :
𝐺𝑀⊕ 𝑚
𝑑
𝑚 𝑑𝑡 𝑣 = 𝐹 = − (𝑅
𝑣2
𝑅⊕ +𝑎
=
𝐺𝑀⊕
(𝑅⊕ +𝑎)2
2
⊕ +𝑎)
𝑢
⃗ 𝑟 soit en projetant sur 𝑢
⃗ 𝑟 et en supposant le mouvement circulaire :
ce qui donne 𝑣 = √
𝐺𝑀⊕
(𝑅⊕ +𝑎)
4
Le champ de gravitation au niveau du sol vaut : 𝑔 =
la vitesse : 𝑣 = 𝑅⊕ √(𝑅
𝐺𝑀⊕
2
𝑅⊕
ce qui donne comme expression de
𝑔
⊕ +𝑎)
Pour 𝑎 << 𝑅⊕ on peut écrire 𝑣 ≈ √𝑔𝑅⊕ soit 𝑣 = 8.103 𝑚. 𝑠 −1 .
La période de révolution du satellite est alors : 𝑇 =
2𝜋𝑅⊕
𝑣
soit 𝑇 = 5.103 𝑠
II-3- Dans le référentiel où le satellite est au repos, la Terre est une masse 𝑀⊕ qui décrit une
spire de rayon (𝑅⊕ + 𝑎) pendant un temps 𝑇. L’intensité gravitationnelle 𝐼vaut : 𝐼 =
𝑀⊕
𝑇
𝜇𝑔 𝐼
⃗ =
Le champ magnétogravitationnel ressenti par le satellite est par analogie : ℎ
2(𝑅
.
⊕ +𝑎)
𝑒𝑧
⃗ = 𝜇𝑔𝑀⊕ 𝑒𝑧 mais on a vu 𝑣 = √ 𝐺𝑀⊕ soit (𝑅⊕ + 𝑎) = 𝐺𝑀⊕ et 𝜇𝑔 = − 4𝜋𝐺 ce qui
soit : ℎ
2(𝑅 +𝑎)𝑇
(𝑅 +𝑎)
𝑣2
𝑐2
⊕
⊕
4𝜋𝐺𝑣 2 𝑀⊕
⃗ =−
⃗ =−
donne : ℎ
𝑒𝑧 → ℎ
2𝑇𝑐 2 𝐺𝑀
⊕
2𝜋𝑣 2
𝑇𝑐 2
𝑒𝑧
II-4- D’après les résultats de la question (I-13) le moment cinétique 𝜎 a sa composante
parallèle au champ constante et sa composante perpendiculaire au champ qui décrit un
⃗
ℎ
mouvement circulaire de vitesse angulaire ω
⃗⃗ 1 = − 2 c’est-à-dire en prenant le résulat de la
𝜋𝑣 2
question (II-3) : ω
⃗⃗ 1 = + 𝑇𝑐 2 𝑒𝑧 .
Dans le référentiel lié au satellite, le moment cinétique initial est dans le plan orbital du
satellite. La composante parallèle au champ de 𝜎 est nulle. Le moment cinétique reste dans le
𝜋𝑣 2
plan orbital du satellite et tourne à la vitesse angulaire ω
⃗⃗ 1 = + 𝑇𝑐 2 𝑒𝑧
𝑢
⃗𝑧
𝜎
⃗
ℎ
II-5- En un an le moment cinétique aura tourné d’un angle ∆𝜑 = 𝜔1 𝑇𝑎
soit ∆𝜑 =
𝜋𝑣 2
𝑇𝑐 2
𝑇𝑎 ~
𝜋𝑔𝑇𝑎
𝑇𝑐 2
ce qui donne ∆𝜑 = 1,4. 10−5 𝑟𝑑. Cette valeur a bien le bon ordre de
grandeur que la valeur mesurée mais varie d’un facteur 2. La théorie proposée est sans doute
trop simpliste et on doit travailler en relativité générale.
III- Effet gravitatomagnétique de la rotation de la Terre sur un satellite
⃗ ⊕ . Son
III-1- La Terre est un solide de moment d’inertie 𝐽⊕ en rotation à la vitesse angulaire ⃗Ω
⃗⃗ ⊕ . D’après la question (I-12) on en déduit l’expression du
moment cinétique est 𝜎⊕ = 𝐽⊕ Ω
⃗⃗ 𝑔 = 1 𝜎⊕ = 1 𝐽⊕ Ω
⃗⃗ ⊕
moment gravitomagnétique de la Terre : 𝑀
2
2
5
III-2- On a vu que 𝜇𝑔 = −
4𝜋𝐺
⃗⃗ = 1 𝐽⊕ ⃗Ω
⃗ ⊕ ce qui donne comme expression du champ
2
et 𝑀𝑔
𝑐2
⃗⃗ 𝑔 .𝑛
⃗⃗ 𝑔
⃗ )𝑛
⃗ −𝑀
𝜇𝑔 3(𝑀
⃗ =
gravitométrique : ℎ
4𝜋
⃗ = − 𝐺Ω⊕ 𝐽⊕ 3(𝑒𝑧 .𝑛⃗)𝑛⃗− e⃗𝑧 ce qui donne en
ce qui donne ℎ
2𝑐 2
𝑟3
𝑟3
⃗ = − 𝐺Ω⊕ 𝐽⊕ (2𝑐𝑜𝑠𝜃e⃗𝑟 + 𝑠𝑖𝑛𝜃e⃗𝜃 )
projetant sur la base e⃗𝑟 , e⃗𝜃 : ℎ
2𝑐 2 𝑟 3
⃗ = 𝐴𝑑𝑀
⃗⃗ = 𝐴(𝑑𝑟e⃗𝑟 + 𝑟𝑑𝜃e⃗𝜃 ) ce
On peut trouver l’allure des lignes de champ en écrivant : ℎ
qui donne :
2𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑑𝜃 =
𝑑𝑟
𝑟
d’où l’équation (non demandée dans le devoir) des lignes de
champ : 𝑟 = 𝑟𝑜 𝑠𝑖𝑛2 𝜃.
L’allure de ces lignes de champ est la suivantes :
III-3- Le vecteur 𝑛⃗ s’écrit sur la base cartésienne : 𝑛⃗ = 𝑐𝑜𝑠𝜃e⃗𝑧 + 𝑠𝑖𝑛𝜃e⃗𝑦 , d’où l’expression
⃗ :ℎ
⃗ = − 𝐺Ω⊕ 𝐽⊕ 3(cosθ)(𝑐𝑜𝑠𝜃e⃗𝑧 +𝑠𝑖𝑛𝜃e⃗𝑦 )− e⃗𝑧
de ℎ
2𝑐 2
(𝑅 +𝑎)3
⊕
→ ℎ𝑦 = −
𝐺Ω⊕ 𝐽⊕ 3cosθ𝑠𝑖𝑛𝜃
2𝑐 2 (𝑅⊕ +𝑎)
3
, ℎ𝑧 = −
𝐺(3𝑐𝑜𝑠2 𝜃−1)Ω⊕ 𝐽⊕
2𝑐 2 (𝑅⊕ +𝑎)
3
III-4- On a vu que le mouvement du moment cinétique est décrit par :
𝑇1
⃗
𝑑𝜎
𝑑𝑡
1
⃗ soit en
= 2𝜎 ∧ ℎ
⃗ 𝑑𝑡.
intégrant sur une période orbitale 𝑇 du satellite : 𝛿𝜎 = ∫0 2 𝜎 ∧ ℎ
La variation du moment cinétique étant supposée faible pendant une période on va considérer
que 𝜎~𝜎(𝑡 = 0) = 𝜎𝑜 𝑒𝑦 ce qui donne
𝑇
1
⃗ 𝑑𝑡 = − 1 𝜎𝑜 ∫𝑇 𝐺(3𝑐𝑜𝑠
𝛿𝜎 = 2 𝜎𝑜 ∫0 𝑒𝑦 ∧ ℎ
0
2
2
2 𝜃−1)Ω
⊕ 𝐽⊕
3
2𝑐 (𝑅⊕ +𝑎)
𝑑𝑡
𝑒𝑥 𝑑𝑡.
1
L’angle 𝜃 est une fonction du temps : 𝑑𝑡 = 𝑑𝜃 𝑑𝜃 = 𝜃̇ 𝑑𝜃 où 𝜃̇ est la vitesse angulaire du
2𝜋
satellite, soit 𝜃̇ = 𝑇 .
On en déduit : 𝛿𝜎 = −
D’où : 𝛿𝜎 = −
𝐺Ω⊕ 𝐽⊕ 𝜎𝑜 𝑇
3
8𝜋𝑐 2 (𝑅⊕ +𝑎)
𝐺Ω⊕ 𝐽⊕ 𝜎𝑜 𝑇
8𝑐 2 (𝑅⊕ +𝑎)
3
2𝜋
∫0 (3𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 − 1)𝑑𝜃𝑒𝑥 .
𝑒𝑥
III-5- On a le schéma suivant :
𝑦
𝜎(𝑡)
𝛿𝜎
𝜎𝑜
𝑥
6
𝛿𝜎
On déduit de la question précédente que 𝑡𝑎𝑛𝜀~𝜀 = | 𝜎 | soit 𝜀 =
𝑜
𝐺Ω⊕ 𝐽⊕ 𝑇
8𝑐 2 (𝑅⊕ +𝑎)
3
.
Le moment cinétique tourne dans le sens trigonométrique a la vitesse angulaire : 𝜔
⃗2=
soit : 𝜔
⃗2=
𝐺Ω⊕ 𝐽⊕
3
8𝑐 2 (𝑅⊕ +𝑎)
𝐺Ω⊕ 𝑀⊕
24𝑅⊕ 𝑐 2
𝑒𝑧 =
𝑇
𝑒𝑧
𝑒𝑧
III-6- On obtient en remplaçant 𝐽⊕ par 𝐽⊕ =
𝜔
⃗2=
|𝜀|
𝑔𝑅⊕ Ω⊕
24𝑐 2
2
𝑀⊕ 𝑅⊕
3
et en supposant 𝑅⊕ + 𝑎~𝑅⊕ :
𝑒𝑧 en introduisant le champ gravitationnel au sol mais 𝑣 ≈ √𝑔𝑅⊕
𝑣2
ce qui donne 𝜔
⃗ 2 = 24𝑐 2 Ω⊕ 𝑒𝑧
𝜋𝑣 2
𝜋𝑣 2
III-7- On a trouvé ω
⃗⃗ 1 = + 𝑇𝑐 2 𝑒𝑧 ~ 𝑇𝑐 2 𝑒𝑧 ce qui donne le rapport suivant :
𝜔2
𝜔1
=
𝑇Ω⊕
24𝜋
2𝜋
𝜔
1 𝑇
mais 𝑇⊕ = Ω soit 𝜔2 = 12 𝑇 .
1
⊕
⊕
3
On obtient pour 𝑇 = 3.10 𝑠 et 𝑇⊕ = 24 ∗ 3600 𝑠 :
mesurées par Gravity Probe B donnent
𝜔2
𝜔1
𝜔2
𝜔1
~5. 10−3 alors que les valeurs
~6. 10−3 . L’accord entre théorie et expérience est
correct pour le rapport mais pas pour la valeur de 𝜔1.
III-8- La précession de l’effet géodésique se fait autour de la normale au plan du satellite alors
que la précession de l’effet Lensee-Thirring se fait autour du champ gravitomagnétique de la
Terre, vecteur qui se situe dans le plan méridien. Pour séparer ces deux effets il faut que la
normale au plan du satellite soit perpendiculaire au plan méridien.
IV- Mesure du mouvement du gyroscope
⃗ = 𝑟𝑜𝑡𝐴 on a donc ‖𝐴‖ en 𝑇. 𝑚.
IV-1- Si le vecteur 𝐴 vérifie 𝐵
⃗ ) qui donne pour l’unité du champ magnétique le
On a la relation 𝐹 = 𝑞(𝑣 ∧ 𝐵
−1
−1
−1
[𝑁]. [𝐶] . [𝑚. 𝑠 ] = [𝑘𝑔. 𝑚. 𝑠 −2 ]. [𝐶]−1 . [𝑚. 𝑠 −1 ]−1
donc ‖𝐴‖ est en [𝑘𝑔. 𝑚. 𝑠 −2 ]. [𝐶]−1 . [𝑠]
𝒆
⃗⃗ ‖ est en [𝒎. 𝒔−𝟐 ]. [𝒔] = [𝒎. 𝒔−𝟏 ] . Cette expression est bien homogène à
La grandeur ‖𝑨
𝒎𝒆
une vitesse.
IV-2- Par définition 𝑗 = −𝑁𝑒𝑣 ce qui donne 𝑗 = −
𝑁𝑒 2
𝑚𝑒
𝐴
𝜕𝜌
IV-3- La forme locale de l’équation de conservation de la charge est : 𝑑𝑖𝑣𝑗 + 𝜕𝑡 = 0.
Dans un conducteur on a la loi d’Ohm : 𝑗 = 𝛾𝐸⃗ . Si la conductivité du supra conducteur est
infinie, pour que la densité de courant soit une grandeur finie il faut que 𝐸⃗ = ⃗0. Donc d’près
𝜌
l’équation de Maxwell-Gauss, 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ = 𝜀 = 0. La forme locale de conservation de la charge
𝑜
devient : 𝑑𝑖𝑣𝑗 = 0 , soit en remplaçant 𝑗 par son expression : 𝑑𝑖𝑣𝐴 = 0
IV-4- On a vu que 𝐸⃗ = ⃗0 à l’intérieur du supraconducteur.
⃗ = 𝑟𝑜𝑡
⃗ = − 𝑚𝑒2 𝑟𝑜𝑡
⃗⃗⃗ 𝐴 ce qui donne la relation 𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑗
𝐵
𝑁𝑒
7
IV-6- Le supraconducteur est en rotation uniforme autour de son axe et les électrons sont au
⃗⃗ ∧ 𝑟 .
repos par rapport au supraconducteur. La vitesse des électrons est donnée par : 𝑣 = Ω
𝑚
⃗ = − 𝑒2 𝑟𝑜𝑡
⃗ =+
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑗 avec 𝑗 = −𝑁𝑒𝑣 ce qui donne 𝐵
On a vu que 𝐵
𝑁𝑒
𝑚𝑒
𝑒
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣.
𝑟𝑜𝑡
⃗ ∧ 𝑟 = Ω𝑒𝑧 ∧ (𝑥𝑒𝑥 + 𝑦𝑒𝑦 + 𝑧𝑒𝑧 ) soit
On travaille en coordonnées cartésiennes : 𝑣 = ⃗Ω
⃗ = + 𝑚𝑒 𝑟𝑜𝑡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣 ce qui donne :
𝑣 = Ω(𝑥𝑒𝑦 − 𝑦𝑒𝑧 ) ; puis on applique 𝐵
𝑒
⃗ =+
𝐵
⃗ =
𝐵
𝑚𝑒
𝑒
2𝑚𝑒 Ω
𝑒
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣 =
𝑟𝑜𝑡
𝑚𝑒
𝑒
⃗ ∧𝑣 =
∇
2𝑚𝑒
⃗ =
𝑒𝑧 soit 𝐵
𝑒
𝑚𝑒
𝑒
𝜕
𝜕
𝜕
(𝜕𝑥 𝑒𝑥 + 𝜕𝑦 𝑒𝑦 + 𝜕𝑧 𝑒𝑧 ) ∧ Ω(𝑥𝑒𝑦 − 𝑦𝑒𝑧 ) soit :
⃗⃗
Ω
IV-7- La boule constituant le gyroscope est une boule de quartz isolant. Il n’y a donc pas de
courant de conduction. La densité volumique de charge des porteurs de charges positives est
égale à celle des porteurs de charges négatives. Comme il n’y a pas de courant de conduction,
les deux types de porteurs de charges vont à la même vitesse ce qui donne 𝑗 = ⃗0.
De plus on est en régime permanent soit :
𝜕𝐸⃗
𝜕𝑡
= ⃗0
⃗ = ⃗0.
L’équation de Maxwell-Ampère s’écrit : 𝑟𝑜
⃗⃗⃗⃗ 𝑡𝐵
On
utilise
la
relation
d’analyse
vectorielle
⃗ ) = 𝑔𝑟𝑎
⃗ ) − ∆𝐵
⃗.
⃗⃗⃗⃗ 𝑡( 𝑟𝑜
𝑟𝑜
⃗⃗⃗⃗ 𝑡𝐵
⃗⃗⃗⃗ 𝑑(𝑑𝑖𝑣(𝐵
donnée
par
l’énoncé :
⃗ ) = 0 et 𝑟𝑜
⃗ = ⃗0 ce qui donne ∆𝐵
⃗ = ⃗0
Mais 𝑑𝑖𝑣(𝐵
⃗⃗⃗⃗ 𝑡𝐵
On sait qu’en tout point de la surface de cette boule, le champ magnétique est uniforme et
⃗ = 2𝑚𝑒Ω 𝑒𝑧
vaut : 𝐵
𝑒
Les équations en laplacien ayant une solution unique si les conditions aux limites d’un
volume fermé sont vérifiées (en math c’est le théorème de Dirichlet), la solution dans le
⃗ = ⃗0 et ∀ 𝑃 ∈ 𝑠𝑢𝑟𝑓𝑎𝑐𝑒, 𝐵
⃗ (𝑃) = 2𝑚𝑒 Ω 𝑒𝑧 est donc :
volume de la boule qui vérifie ∆𝐵
⃗ = 2𝑚𝑒Ω 𝑒𝑧 . On trouve en application numérique 𝐵~10−8 𝑇
𝐵
𝑒
𝑒
IV-8- D’après la question III-4, le vecteur 𝜎, colinéaire au moment magnétique, aura tourné
pendant un an d’un angle 𝛼 = 𝜔2 𝑇𝑎 avec 𝑇𝑎 = 1an. Soit une variation ∆Ω de la composante
⃗⃗ sur 𝑒𝑧 telle que ΔΩ = |𝜔2 |𝑇𝑎 .
de Ω
Ω
⃗ = 2𝑚𝑒Ω 𝑒𝑧 soit en prenant la dérivée
La relation trouvée à la question IV-7 est 𝐵
𝑒
logarithmique :
𝛿𝐵
𝐵
=
𝛿Ω
Ω
ce qui relie la plus petite variation 𝛿Ω détectable de ΔΩ à 𝛿B. En
𝛿Ω
𝛿𝐵
2 |𝑇𝑎
faisant le rapport de ces deux expressions on a : ΔΩ = 𝐵|𝜔
𝑣2
D’après l’énoncé, |𝜔2 |𝑇𝑎 = 24𝑐 2 Ω⊕ 𝑇𝑎 = 7. 10−8 .
𝛿Ω
On a donc ΔΩ = 7. 10−2
8