Feuille de T. D. B1 Nombres complexes

Lycée Bellevue – Toulouse
PCSI 2 – Mathématiques
Année 2016-2017
Feuille de T. D. B1
Nombres complexes
Exercices de cours
1
Calculer
a. a + b, ab,
2
3
4
avec a = 4 − i et b = 3 + 2i.
a b
b, a
27
270576
b. i , i , i , i , i
.
c. (−i)2 , (−i)3 , (−i)4 .
d. (1 + i)2 , (1 + i)3 , (1 + i)4 , (1 + i)8 , (1 + i)27 .
2
Démontrer que pour tout complexe non-nul z
on a
z∈U
⇐⇒
z −1 = z̄.
3
Donner la forme algébrique de
√
5π
4π
z1 = 2ei 2
z2 = 4e−i 3
z3 = 2ei3π .
Donner une forme exponentielle de
√
z4 = 3 − i z5 = −4i z6 = 5 − 5i z7 = −7.
9
Résoudre les équations suivantes :
a. z 2 − (1 + 2i)z − 1 + i = 0
b. z 2 − (1 + i)z + 2 + 2i = 0
c. z 2 − iz − 1 = 0
d. z − 3 = i − z4
{
z1 + z2 = 6i
e.
z1 z2 = −13
f. z 2 + z − i = 0
10 Déterminer et représenter U6 et U8 .
√
11 Résoudre l’équation 32z 4 = 3i − 1.
12 Résoudre les équations
√
a. ez = 3 + i
b. eizπ = 1 − i
√
c. e1−z + ez = 2e.
Travaux dirigés
(
π )24
.
4
Calculer 1 + ei 3
5
Soit z un complexe non-nul et différent de 1, et
A, B, C les points d’affixes respectives z, z 2 et z 3 .
1 Donner la forme algébrique des complexes suivants :
a = (2 − 5i)2 (−4 − i) + 2(−1 + 7i)(2 + 3i)(−i)
a. Démontrer que A, B, C sont alignés si et seulement si z est réel.
√ )3
(
c = 1 + 3i
b. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en
A si et seulement si A admet −1 pour partie
réelle.
b=
(3+5i)2
1−2i
d=
3+i
2−i
+
2−i
3+i
√ )2
(√
2 + 5i
(
)(
)
f = 13 − 16 i 41 − 12 i
c. Donner une condition nécessaire et suffisante g = 1 + i + i2 + · · · + i21 .
pour que le triangle ABC soit rectangle en B.
2 Donner une forme exponentielle des complexes
suivants
:
6
Linéariser cos2 t sin2 t.
a = 3 − 3i
∫ π4
2
2
cos t sin t dt.
En déduire la valeur de
b = −5i
√ )( √
√ )
(√
0
c=
6 + 2i − 6 + 6i
√ i 5π
d
=
3
+
3e 6
7
Retrouver
les
formules
donnant
cos
2θ
et
sin
2θ
1−i
en fonction de cos θ et sin θ.
e = √3−i .
Calculer cos 4θ et sin 4θ en fonction de cos θ et sin θ
de deux manières différentes : en utilisant la formule de Moivre, puis en utilisant cos 4θ = cos 2(2θ)
8
Résoudre l’équation cos t + sin t = 1. Quel est
le maximum de la fonction f (t) = cos t + sin t et en
quels points est-il atteint ?
e=
3 Calculer les nombres complexes suivants :
π
π
a = ei 6 + iei 3
(4+3i)(3+4i)
b = (4−3i)(3−4i)
( √ )20
3
c = 1+i
1−i
)3 (
√ )6
)3 (
)2 ( √3
(
i
+
3 − 3i .
d = 32 + 23 i 65 − 56 i
6
6
4 Démontrer la formule du parallélogramme :
′
′ 2
′ 2
′ 2
11 Résoudre les équations suivantes dans C :
∀(z, z ) ∈ C , |z + z | + |z − z | = 2(|z| + |z | )
puis l’inégalité
∀(z, z ′ ) ∈ C2 , |z| + |z ′ | ⩽ |z + z ′ | + |z − z ′ |.
a. z 2 − 2iz − 1 + 2i = 0
5 Soit z un complexe différent de 1. À quelle
z+1
condition nécessaire et suffisante le complexe
z−1
est-il réel ? Imaginaire pur ? De module 1 ?
d. z +
2
2
6 À tout point M d’affixe z différente de 1 on
associe le point M ′ d’affixe z ′ = z−1
1−z .
′
′
−1
+1
a. Démontrer que zz−1
est réel et que zz−1
est imaginaire pur.
b. En déduire une construction géométrique du
point M ′ connaissant le point M .
c. Quel est le module de z ′ ?
b. z 2 − (4 + 2i)z + 6 + 8i = 0
c. z 4 − 2z 2 cos θ + 1 = 0 (où θ ∈ R)
10
z
= 3 − 2i
e. z + (2 − i)z 3 + 2 + 2i = 0
6
f. 4z 2 + 8|z|2 − 3 = 0
g. (z 2 − 3z − 1)2 + (4z + 7)2 = 0.
{
x+y =4
h.
xy = 4 + 2i
i. z̄ + iz = 1
j. |z| + iz = 1
k. 2z + 3z̄ + 6|z|2 = 65 + 3i
l. |z − 4| = |z + 2i|
√
3i−1
8
7 Quel est l’ensemble des points M du plan com- m. z = (i−1)(i+1)
plexe d’affixe z tels que les points d’affixe z, z 2 et n. 8 + z 6 = 0
z 4 soient alignés ?
o. 1 + 2z + 2z 2 + · · · + 2z n−1 + z n = 0
Répondre à la même question avec les points d’af(où n ∈ N∗ )
fixes z, z1 et (z − i).
p. (2 − z)n = z n
(où n ∈ N∗ ).
8 Soit C un cercle du plan complexe de centre Ω
i 2π
et de rayon r. Soient A et B deux points de C dis- 12 Soit j = e 3 . Résoudre le système d’équatincts. Soient ω, a et b les affixes respectives de Ω, tions :


A et B.
x + y + z = 2
π
x + jy + j 2 z = ei 3
a. Démontrer qu’il existe des réels α et β tels que

iα
iβ

π
a − ω = re
et
b − ω = re .
x + j 2 y + jz = e−i 3
b. Démontrer que si M est un point de C d’affixe z
alors
13 On souhaite démontrer le théorème suivant,
(−−→ −−→) (−→ −→)
2 M A, M B = ΩA, ΩB .
appelé théorème de Napoléon :
En particulier, l’angle AM B ne dépend pas de la Soit ABC un triangle. Soient A′ , B ′ et C ′ les points
position du point M sur le cercle à π près.
tels que les triangles A′ CB, ACB ′ et AC ′ B soient
extérieurs au triangle ABC et équilatéraux. Soient
9 Linéariser les expressions suivantes :
U , V et W les centres de gravité respectifs des
a(x) = cos4 x
b(x) = cos 4x sin 3x
triangles A′ CB, ACB ′ et AC ′ B. Alors le triangle
U V W est équilatéral.
c(x) = sin2 x sin 3x
d(x) = cos x cos 2x cos 3x
2
5
3
On rappelle que le centre de gravité d’un triangle
e(x) = cos x sin x
f (x) = cos x sin x.
est l’intersection de ses trois médianes, ou de façon
équivalente le point dont l’affixe est la moyenne des
10 Calculer les intégrales suivantes :
∫ π
∫ π
affixes des sommets du triangle.
sin2 t dt
sin t dt
I2 =
I1 =
Les triangles sont notés dans le sens direct, c’est-à0
0
dire
la notation ABC sous-entend que l’angle
∫ π
∫ π3
(−−→que
−→)
3
AB, AC admet une mesure dans l’intervalle
I3 =
sin t dt
I4 =
cos 4t sin 3t dt
π
0
4
[0, π].
∫
∫
2π
π
cos4 t dt
I5 =
π
3
π
∫
sin2 t sin 3t dt
I6 =
(
(
π)
π)
cos t −
cos t +
dt
π
3
3
3
∫ π2
∫ π6
5
cos t sin t dt
I9 =
I8 =
cos2 2t sin2 3t dt
2π
3
I7 =
π
4
0
∫
∫
π
4
tan t dt
I10 =
0
I11 =
0
π
4
tan2 t dt.
a. Soit M1 , M2 , M3 trois points d’affixes respectives
π
z1 , z2 et z3 , et ζ = ei 3 . Démontrer que le triangle
M1 M2 M3 est équilatéral (direct) si et seulement
si
z3 = ζz1 + ζz2 .
b. Exprimer les affixes de A′ , B ′ et C ′ en fonction
de celles de A, B, C.
c. Déterminer les affixes de U , V et W puis
conclure.