Groupe 2 Année 2010-2011 Résumé de cours sur les Groupe

IUFM d’Aix-Marseille
PCL1 de mathématiques
Écrit de Géométrie - Groupe 2
Année 2010-2011
Résumé de cours sur les Groupes
Le sujet étant vaste et déjà largement abordé au cours de vos études, je me limiterai
ici à un « squelette » de cours et vous renverrai à des éléments bibliographiques traitant
le sujet de façon beaucoup plus complète et à la planche d’exercices.
Pour le concours de la session 2010-2011, le programme officiel de référence du
concours est celui des Classes Préparatoires aux Grandes Écoles (CPGE). Voici les
éléments de ce programme en ce qui concerne les Groupes :
a) Groupes Z{nZ
Structure des sous-groupes de Z. Relation de congruence modulo un entier n ¡ 0, notation a b modulo n. Compatibilité avec l’addition ; groupe quotient Z{nZ, morphisme
canonique de Z sur Z{nZ. Générateurs du groupe Z{nZ. Tout autre exemple de groupe
quotient est hors programme.
Étant donné un élément a d’un groupe G, morphisme k ÞÑ ka (ou k ÞÑ ak ) du groupe
Z dans G ; noyau et image d’un tel morphisme. Le sous-groupe de G engendré par a est
isomorphe à Z si ce noyau est réduit à 0 ; il est isomorphe à Z{nZ si ce noyau est nZ.
Définition d’un groupe cyclique G (groupe fini admettant un générateur a) ; isomorphisme de Z{nZ sur G, où n est l’ordre de G. Application au groupe Un des racines
n-ièmes de l’unité.
b) Groupes
Il s’agit d’introduire quelques notions de base sur les groupes et de les mettre en oeuvre
sur les groupes figurant au programme (groupe symétrique Sn , groupe linéaire, groupe orthogonal et leurs sous-groupes), en relation étroite avec l’algèbre linéaire et la géométrie.
Il convient notamment d’étudier des exemples simples de réalisations géométriques de
groupes finis par des groupes d’isométries.
Définition du produit de deux groupes. Définition d’une partie génératrice d’un groupe.
L’étude générale des groupes, ainsi que celle des groupes finis, est hors programme. On
donnera des exemples de parties génératrices issus de l’algèbre et de la géométrie.
I. Généralités
Voici une liste de mots-clés dont vous devez connaı̂tre les définitions précises. Si ce
n’est pas le cas et/ou si le rappel mentionné ne suffit pas, consultez l’ouvrage de Roger
Godement, Cours d’algèbre, chez Hermann, ou l’ouvrage de François Combes, Algèbre
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et Géométrie, chez Bréal.
Groupe ; sous-groupe d’un groupe (sg en abrégé) ; homomorphismes de groupes ;
noyau d’un homomorphisme de groupe ; produit direct de groupes ; sous-groupe engendré
par une partie non vide d’un groupe. Classe d’équivalence modulo un sg : soit G un
groupe, pour une loi notée multiplicativement par . , et H un sg de G. On définit dans
G, la relation R par :
@g, g1 P G, gRg1 ô g1.g1 P H.
On peut remarquer que la condition g 1 .g 1 P H est équivalente à g 1 P H.g.
Cette relation est une relation d’équivalence et l’ensemble H.g th.g, h P H u est appelée
la classe à gauche (de g) modulo H (certains auteurs, à propos de la même classe, parlent
de classe à droite ...). Notez bien qu’à ce stade, l’ensemble des classes n’est pas muni
d’une structure de groupe. La notion définie est purement ensembliste.
Groupes finis ; théorème de Cauchy ; théorème de Lagrange ; exemples de groupes :
Z, Z{nZ, le groupe de Klein, Sn , ∆n , ...
Remarque : les lois pour lesquelles les ensembles mentionnés sont des groupes ne sont pas
précisées car l’hypothèse est faite que, pour des groupes aussi classiques, elles vont de
soi. Il est clair qu’un ensemble ne peut être un groupe que lorsqu’une loi (de composition
interne), bien précise, a été définie sur cet ensemble.
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II. Sous-groupes distingués - Groupes quotient - centre - commutateurs
Définition : Soit G un groupe et H un sg de G. Si, @g P G, H.g g.H, on dit que H est
un sg distingué (sgd) de G, on note souvent H ˜ G (alors que H sg de G est souvent
noté H G).
Commentaires :
– H est distingué signifie que les classes à droites sont les mêmes que les classes à
gauche ; l’ensemble quotient est donc défini sans avoir à distinguer le ” sens ” des
classes qui y figurent ; une telle classe est notée cl(g) ou g.
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1
– La condition H.g g.H est équivalente à g.H.g H, ce qui revient à dire que
@h P H, g.h.g1 P H.
– Cette dernière écriture traduit que l’automorphisme intérieur de G, associé à g,
laisse H invariant. Cela justifie qu’un sg distingué est souvent qualifié aussi de sg
invariant (sous-entendu : invariant par les automorphismes intérieurs) de G.
Proposition : Si H ˜ G, alors l’ensemble quotient G{H est un groupe pour l’opération
définie par : cl(g) cl(g 1 ) = cl(g.g 1 ).
Vérifions que la définition est cohérente. Pour cela, considérons deux éléments quelconques de cl(g) et de cl(g 1 ) respectivement : h.g et h1 .g 1 . Leur produit (pour la loi de G,
évidemment) est égal à ph.g q.ph1 .g 1 q h.pg.h1 q.g 1 h.ph2 .g q.g 1 ph.h2 q.g.g 1 P clpg.g 1 q.
L’associativité de découle de celle de la loi . ; si on note e l’élément neutre de G, cl(e)
est élément neutre de et @g P G, clpg q1 clpg 1 q.
Il est clair que si G est un groupe commutatif, alors tous ses sg sont distingués. La notion
ne présente d’intérêt que si G est un groupe non commutatif.
Proposition : Soit G et G1 deux groupes et ϕ un homomorphisme de G dans G1 . Le noyau
de ϕ est un sgd de G.
Définition : Soit G un groupe. Si les seuls sgd de G sont teu et lui-même, on dit que G
est un groupe simple.
Pour n ¥ 5, le sg des permutations paires de Sn , que l’on note classiquement An , est
simple. Ce dernier résultat joue un rôle fondamental dans la démonstration du théorème
Galois qui affirme qu’une équation algébrique réelle (un polynôme de RrX s égal à 0)
de degré supérieur ou égal à 5, n’est pas, en général, résoluble par radicaux - comme le
sont les équations du second degré ( ...), les équations du troisième degré (formules de
Cardan) et les équations du quatrième degré (formules de Ferrari). Celles et ceux qui
sont intéressés par le théorème de Galois pourrons consulter l’ouvrage de S. Mac Lane
et G. Birkhoff, algèbre - 2 — les grands théorèmes, chez Gauthier-Villars.
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Définition : Soit G un groupe. L’ensemble des éléments de G qui commutent avec tous
les éléments de G est appelé le centre de G. On le note C pGq (ou Z pGq) ; formellement
C pGq tg P G, @g 1 P G, g.g 1 g 1 .g u.
Définition : Soit pG, .q un groupe. On appelle commutateur de G tout élément de la forme
x.y.x1 .y 1 , noté rx, y s, où x, y P G. Un tel élément est appelé le commutateur de x et
y. Le sg de G engendré par ses commutateurs s’appelle le sg dérivé de G , souvent noté
DpGq.
Remarque : le commutateur de deux éléments x et y vérifie la propriété : x.y rx, y s.y.x.
Donc, rx, y s e ô x.y y.x. Il est donc évident que dans un groupe commutatif tous
les commutateurs sont réduits à l’élément neutre. La notion y est donc sans intérêt.
Proposition : Soit pG, .q un groupe. Alors, DpGq ˜ G.
Voir exercices pour la justification et d’autres résultats sur le groupe dérivée.
III. Groupe opérant sur un ensemble
Définition : Soit E un ensemble et pG, .q un groupe. S’il existe une application de G E
dans E, notée Φ, qui vérifie les 2 conditions suivantes.
1. @x P E, @g, g 1 P G, Φpg 1 , Φpg, xqq Φpg 1 .g, xq ;
2. @x P E, Φpe, xq x.
On dit que Φ est une opération (ou une action) à gauche sur E - ou que Φ opère (agit)
à gauche sur E. On dit aussi que le groupe G opère à gauche sur l’ensemble E.
Définitions, exemples et propositions élémentaires :
Avec les notations précédentes, Si x P E, on note Ox ty P E, Dg P G, Φpg, xq y u.
On dit que Ox est l’orbite de x sous G. S’il n’existe qu’une seule orbite dans E, on dit
que l’action de G est transitive.
Proposer un tel exemple et montrer que l’ensemble des orbites distinctes constitue une
partition de E.
Lorsque G est un groupe fini, montrer que @x P E, |Ox | divise |G|.
Toujours avec les mêmes notations, on considère l’ensemble Sx tg
que l’on appelle le stabilisateur de x.
a) Sx est
£ un sous-groupe de G ;
b) Si
Sx teu, on dit que l’action de G est fidèle. Si @x P E, Sx
P
x E
l’action de G est simple.
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P G, Φpg, xq xu
teu, on dit que
Donner un exemple d’action qui soit fidèle mais non simple (toute action simple étant
évidemment fidèle).
La notion d’espace affine est susceptible de recevoir une définition en termes d’action de
groupe. Plus précisément :
Définition : Soit V un espace vectoriel sur un corps commutatif K. On appelle espace
affine associé à V , un ensemble E tel qu’il existe une application Φ de V E dans E,
possédant les propriétés suivantes.
1.
2.
3.
4.
Ýu1 P V, ΦpÑ
Ýu1 , ΦpÑ
Ýu1 , Aq ;
Ýu , Ñ
Ýu , Aqq ΦpÑ
Ýu Ñ
@A P E, @Ñ
Ý0 , Aq A ;
@A P E, ΦpÑ
ÝÑ ;
Ýu P V, ΦpÑ
Ýu , Aq B. On note alors Ñ
Ýu ÝAB
@A, B P E, DÑ
Ý0 u.
@A P E, SA tÑ
Dans le langage de la théorie des groupes, un espace affine associé à l’espace
vectoriel V , est un ensemble sur lequel le groupe additif de V opère à gauche
(1 et 2), transitivement (3) et simplement (4).
IV. Groupes usuels : Z{nZ, Sn , ∆n
A. Les groupes Z{nZ
Définition : Soit pG, .q un groupe et g e P G. On considère H le sg engendré par g :
H tg k , k P Zu. On appelle ordre de g, le cardinal de H.
Proposition et définition : Soit G un groupe engendré par un seul élément. G est commutatif et :
– Si G est fini, on dit que G est un groupe cyclique, si G est infini, on dit que G est
monogène ;
– Si G est fini, il existe n P N , tel que G soit isomorphe à Z{nZ ;
– Si G est infini, G est isomorphe à Z.
Démonstration : La commutativité est triviale.
Supposons que G soit fini, notons m son cardinal et considérons l’application f de Z dans
G, définie par f pk q g k . Cette application est, de façon évidente, un homomorphisme
de Z dans G, et la définition de f justifie que f est un homomorphisme surjectif. Si on
note K le noyau de f , c’est-à-dire l’ensemble tk P Z, g k eu, il est alors classique que
Z{K est isomorphe à G.
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Mais, G étant fini, il existe des éléments non nuls dans K. Soit n le plus petit élément
strictement positif de K, considérons un élément quelconque k de K X N. La division
euclidienne de k par n donne : k nq r, où 0 ¤ r n.
Il en résulte que f pk q g k e g nq r pg n qq .g r g r . Mais, la définition de n, implique
r 0 et k nq. Si, k est négatif dans K, k est bien dans N et k est un multiple de
n, k est donc aussi multiple de n. Le noyau de f est donc de la forme n.Z, et le résultat
est établi.
Remarquons que si le noyau de f n’est pas réduit à 0, la démonstration précédente,
montre que G est isomorphe à un Z{nZ, et il est donc fini. En conséquence, si G est
infini, le noyau de f est réduit à 0, f est alors un homomorphisme injectif et G est
isomorphe à Z.
Proposition : Si G est un groupe fini, l’ordre de tout élément de G divise le cardinal de
G (appelé aussi, l’ordre de G).
(Soit g P G. Appliquer le théorème de Lagrange au sg engendré par g.)
Corollaire : Si G est un groupe fini, alors :
Proposition : Deux groupes cycliques de même ordre sont isomorphes.
(Évident, ils sont tous les deux isomorphes à des Z{nZ de même cardinal.)
Les exercices 5, 6, 6bis et 6ter énoncent des propriétés importantes des groupes cycliques.
Une conséquence de l’exercice 6ter est :
Théorème : Si G est un groupe cyclique à n éléments, alors G possède ϕpnq générateurs,
où ϕ est l’indicateur d’Euler.
(Rappel : l’indicateur d’Euler de l’entier naturel n est le nombre d’entiers naturels
inférieurs à n et premiers avec n, l’entier 1 y compris).
B. Les groupes Sn
Définition : Soit n P N et E un ensemble à n éléments. L’ensemble des bijections de E
dans lui-même, muni de la loi de composition des applications, notée , est un groupe
(non commutatif si n ¡ 2). On le note pSn , q , ou Sn en abrégé, et on l’appelle le groupe
des permutations de E (parfois, des substitutions de E).
Proposition : |Sn | n!.
C’est un résultat bien connu de combinatoire.
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Remarque : une notation classique d’un élément σ
1
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. . .
σ p1q σ p2q . . .
P Sn est la suivante :
n
.
σ pnq
Définition et proposition :
1. On appelle cycle un élément de Sn qui permute circulairement certains éléments
de E et qui fixe tous les autres.
2. Le nombre d’éléments permutés s’appelle la longueur du cycle ; l’ensemble des
éléments permutés s’appelle le support du cycle. Deux cycles dont les supports
sont disjoints, s’appellent des cycles disjoints.
3. Un cycle de longueur deux s’appelle une transposition.
4. Tout élément s de Sn se décompose, de façon unique, en produit de cycles disjoints.
Si c1 c2 ...ck est la décomposition de s en cycles disjoints, alors l’ordre de s vérifie :
opsq ppcmpopci qq, i 1, ..., k.
Pour une démonstration, on pourra consulter l’un des ouvrages cités.
Théorème : Sn admet les trois systèmes de générateurs suivants.
1. Les transpositions ;
2. Les transpositions ” consécutives ” ;
3. La transposition p1, 2q et le cycle p1, 2, ..., nq.
Définition : Soit E t1, ..., nu et s P Sn . Si pi, j q P E 2 avec i j et spiq ¡ spj q, on
dit que pi, j q est une inversion de s. On appelle signature d’une permutation s, l’entier
εpsq p1qN psq , où N psq est le nombre d’inversion de s. Si εpsq 1, s est une permutation paire, si εpsq 1, s est une permutation impaire.
Proposition : Le sous-ensemble de Sn constitué des permutations paires en est un sg. On
l’appelle le sg alterné de Sn et on le note An ; |An | n!2 et An ˜ Sn .
Voir exercice 11.
C. Les groupes diédraux
Définition : Soit P le plan affine euclidien orienté, n P N, n ¡ 2 et Pn un polygone
régulier de à n côtes. L’ensemble des isométries de P qui conservent globalement Pn , est
un groupe pour la loi . On l’appelle le groupe diédral d’indice n et on le note ∆n (ou
parfois Dn ).
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Théorème : Soit r la rotation centrée au centre de Pn , d’angle 2π
, et s une réflexion qui
n
conserve Pn , alors le couple pr, sq est un système de générateurs de ∆n . On a |∆n | 2n.
Voir exercices 9 et 9 bis.
Définition algébrique du groupe diédral ∆n : Soit un entier n ¥ 3 et G pIspP, q le
groupe des isométries du plan. Le groupe diédral ∆n est le sg de G engendré par τ et ρ,
où opτ q 2, opρq n et ρ τ ρ1 τ 1 .
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