Groupe 2 Année 2010-2011 Résumé de cours sur les Groupe

IUFM d’Aix-Marseille
PCL1 de math´ematiques
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Ecrit de G´eom´etrie - Groupe 2
Ann´ee 2010-2011
R´esum´e de cours sur les Groupes
Le sujet ´etant vaste et d´ej`a largement abord´e au cours de vos ´etudes, je me limiterai
ici `a un «squelette »de cours et vous renverrai `a des ´el´ements bibliographiques traitant
le sujet de fa¸con beaucoup plus compl`ete et `a la planche d’exercices.
Pour le concours de la session 2010-2011, le programme officiel de r´ef´erence du
concours est celui des Classes Pr´eparatoires aux Grandes ´ Ecoles (CPGE). Voici les
´el´ements de ce programme en ce qui concerne les Groupes :
a) Groupes ZnZ
Structure des sous-groupes de Z. Relation de congruence modulo un entier n0, nota-
tion a b modulo n. Compatibilit´e avec l’addition ; groupe quotient ZnZ, morphisme
canonique de Zsur ZnZ. G´en´erateurs du groupe ZnZ. Tout autre exemple de groupe
quotient est hors programme.
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Etant donn´e un ´el´ement a d’un groupe G, morphisme k ka (ou k ak) du groupe
Zdans G; noyau et image d’un tel morphisme. Le sous-groupe de Gengendr´e par aest
isomorphe `a Zsi ce noyau est r´eduit `a 0 ; il est isomorphe `a ZnZsi ce noyau est nZ.
D´efinition d’un groupe cyclique G(groupe fini admettant un g´en´erateur a) ; isomor-
phisme de ZnZsur G, o`u nest l’ordre de G. Application au groupe Undes racines
n-i`emes de l’unit´e.
b) Groupes
Il s’agit d’introduire quelques notions de base sur les groupes et de les mettre en oeuvre
sur les groupes figurant au programme (groupe sym´etrique Sn, groupe lin´eaire, groupe or-
thogonal et leurs sous-groupes), en relation ´etroite avec l’alg`ebre lin´eaire et la g´eom´etrie.
Il convient notamment d’´etudier des exemples simples de r´ealisations g´eom´etriques de
groupes finis par des groupes d’isom´etries.
D´efinition du produit de deux groupes. D´efinition d’une partie g´en´eratrice d’un groupe.
L’´etude g´en´erale des groupes, ainsi que celle des groupes finis, est hors programme. On
donnera des exemples de parties g´en´eratrices issus de l’alg`ebre et de la g´eom´etrie.
I. G´en´eralit´es
Voici une liste de mots-cl´es dont vous devez connaˆıtre les d´efinitions pr´ecises. Si ce
n’est pas le cas et/ou si le rappel mentionn´e ne suffit pas, consultez l’ouvrage de Roger
Godement, Cours d’alg`ebre, chez Hermann, ou l’ouvrage de Fran¸cois Combes, Alg`ebre
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et G´eom´etrie, chez Br´eal.
Groupe ; sous-groupe d’un groupe (sg en abr´eg´e) ; homomorphismes de groupes ;
noyau d’un homomorphisme de groupe ; produit direct de groupes ; sous-groupe engendr´e
par une partie non vide d’un groupe. Classe d’´equivalence modulo un sg : soit Gun
groupe, pour une loi not´ee multiplicativement par ., et Hun sg de G. On d´efinit dans
G, la relation Rpar :
g, g G, gRg g .g 1H.
On peut remarquer que la condition g .g 1Hest ´equivalente `a g H.g.
Cette relation est une relation d’´equivalence et l’ensemble H.g h.g, h H est appel´ee
la classe `a gauche (de g) modulo H(certains auteurs, `a propos de la mˆeme classe, parlent
de classe `a droite ...). Notez bien qu’`a ce stade, l’ensemble des classes n’est pas muni
d’une structure de groupe. La notion d´efinie est purement ensembliste.
Groupes finis ; th´eor`eme de Cauchy ; th´eor`eme de Lagrange ; exemples de groupes :
Z,ZnZ, le groupe de Klein, Sn, ∆n, ...
Remarque : les lois pour lesquelles les ensembles mentionn´es sont des groupes ne sont pas
pr´ecis´ees car l’hypoth`ese est faite que, pour des groupes aussi classiques, elles vont de
soi. Il est clair qu’un ensemble ne peut ˆetre un groupe que lorsqu’une loi (de composition
interne), bien pr´ecise, a ´et´e d´efinie sur cet ensemble.
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II. Sous-groupes distingu´es - Groupes quotient - centre - commutateurs
D´efinition : Soit Gun groupe et Hun sg de G. Si, g G, H.g g.H, on dit que Hest
un sg distingu´e (sgd) de G, on note souvent H G (alors que Hsg de Gest souvent
not´e H G).
Commentaires :
–Hest distingu´e signifie que les classes `a droites sont les mˆemes que les classes `a
gauche ; l’ensemble quotient est donc d´efini sans avoir `a distinguer le ” sens ” des
classes qui y figurent ; une telle classe est not´ee cl(g) ou g.
– La condition H.g g.H est ´equivalente `a g.H.g 1H, ce qui revient `a dire que
h H, g.h.g 1H.
– Cette derni`ere ´ecriture traduit que l’automorphisme int´erieur de G, associ´e `a g,
laisse Hinvariant. Cela justifie qu’un sg distingu´e est souvent qualifi´e aussi de sg
invariant (sous-entendu : invariant par les automorphismes int´erieurs) de G.
Proposition : Si H G, alors l’ensemble quotient G H est un groupe pour l’op´eration
d´efinie par : cl(g) cl(g) = cl(g.g ).
V´erifions que la d´efinition est coh´erente. Pour cela, consid´erons deux ´el´ements quel-
conques de cl(g) et de cl(g) respectivement : h.g et h .g . Leur produit (pour la loi de G,
´evidemment) est ´egal `a h.g . h .g h. g.h .g h. h .g .g h.h .g.g cl g.g .
L’associativit´e de d´ecoule de celle de la loi .; si on note el’´el´ement neutre de G, cl(e)
est ´el´ement neutre de et g G, cl g1cl g1.
Il est clair que si Gest un groupe commutatif, alors tous ses sg sont distingu´es. La notion
ne pr´esente d’int´erˆet que si Gest un groupe non commutatif.
Proposition : Soit Get Gdeux groupes et ϕun homomorphisme de Gdans G. Le noyau
de ϕest un sgd de G.
D´efinition : Soit Gun groupe. Si les seuls sgd de Gsont eet lui-mˆeme, on dit que G
est un groupe simple.
Pour n5, le sg des permutations paires de Sn, que l’on note classiquement An, est
simple. Ce dernier r´esultat joue un rˆole fondamental dans la d´emonstration du th´eor`eme
Galois qui affirme qu’une ´equation alg´ebrique r´eelle (un polynˆome de RX´egal `a 0)
de degr´e sup´erieur ou ´egal `a 5, n’est pas, en g´en´eral, r´esoluble par radicaux - comme le
sont les ´equations du second degr´e ( ...), les ´equations du troisi`eme degr´e (formules de
Cardan) et les ´equations du quatri`eme degr´e (formules de Ferrari). Celles et ceux qui
sont int´eress´es par le th´eor`eme de Galois pourrons consulter l’ouvrage de S. Mac Lane
et G. Birkhoff, alg`ebre - 2 — les grands th´eor`emes, chez Gauthier-Villars.
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D´efinition : Soit Gun groupe. L’ensemble des ´el´ements de Gqui commutent avec tous
les ´el´ements de Gest appel´e le centre de G. On le note C G (ou Z G ) ; formellement
C G g G, g G, g.g g .g .
D´efinition : Soit G, . un groupe. On appelle commutateur de Gtout ´el´ement de la forme
x.y.x 1.y 1, not´e x, y , o`u x, y G. Un tel ´el´ement est appel´e le commutateur de xet
y. Le sg de Gengendr´e par ses commutateurs s’appelle le sg d´eriv´e de G, souvent not´e
D G .
Remarque : le commutateur de deux ´el´ements xet yv´erifie la propri´et´e : x.y x, y .y.x.
Donc, x, y e x.y y.x. Il est donc ´evident que dans un groupe commutatif tous
les commutateurs sont r´eduits `a l’´el´ement neutre. La notion y est donc sans int´erˆet.
Proposition : Soit G, . un groupe. Alors, D G G.
Voir exercices pour la justification et d’autres r´esultats sur le groupe d´eriv´ee.
III. Groupe op´erant sur un ensemble
D´efinition : Soit Eun ensemble et G, . un groupe. S’il existe une application de G E
dans E, not´ee Φ, qui v´erifie les 2 conditions suivantes.
1. x E, g, g G, Φg , Φg, x Φg .g, x ;
2. x E, Φe, x x.
On dit que Φ est une op´eration (ou une action) `a gauche sur E- ou que Φ op`ere (agit)
`a gauche sur E. On dit aussi que le groupe Gop`ere `a gauche sur l’ensemble E.
D´efinitions, exemples et propositions ´el´ementaires :
Avec les notations pr´ec´edentes, Si x E, on note Oxy E, g G, Φg, x y .
On dit que Oxest l’orbite de xsous G. S’il n’existe qu’une seule orbite dans E, on dit
que l’action de Gest transitive.
Proposer un tel exemple et montrer que l’ensemble des orbites distinctes constitue une
partition de E.
Lorsque Gest un groupe fini, montrer que x E, Oxdivise G.
Toujours avec les mˆemes notations, on consid`ere l’ensemble Sxg G, Φg, x x
que l’on appelle le stabilisateur de x.
a) Sxest un sous-groupe de G;
b) Si
x E
Sxe, on dit que l’action de Gest fid`ele. Si x E, Sxe, on dit que
l’action de Gest simple.
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Donner un exemple d’action qui soit fid`ele mais non simple (toute action simple ´etant
´evidemment fid`ele).
La notion d’espace affine est susceptible de recevoir une d´efinition en termes d’action de
groupe. Plus pr´ecis´ement :
D´efinition : Soit Vun espace vectoriel sur un corps commutatif K. On appelle espace
affine associ´e `a V, un ensemble Etel qu’il existe une application Φ de V E dans E,
poss´edant les propri´et´es suivantes.
1. A E, u , u V, Φu , Φu , A Φu u , A ;
2. A E, Φ 0 , A A ;
3. A, B E, u V, Φu , A B. On note alors u AB ;
4. A E, SA0 .
Dans le langage de la th´eorie des groupes, un espace affine associ´e `a l’espace
vectoriel V, est un ensemble sur lequel le groupe additif de Vop`ere `a gauche
(1 et 2), transitivement (3) et simplement (4).
IV. Groupes usuels : ZnZ,Sn, ∆n
A. Les groupes ZnZ
D´efinition : Soit G, . un groupe et g e G. On consid`ere Hle sg engendr´e par g:
H gk, k Z. On appelle ordre de g, le cardinal de H.
Proposition et d´efinition : Soit Gun groupe engendr´e par un seul ´el´ement. Gest com-
mutatif et :
– Si Gest fini, on dit que Gest un groupe cyclique, si Gest infini, on dit que Gest
monog`ene ;
– Si Gest fini, il existe nN, tel que Gsoit isomorphe `a ZnZ;
– Si Gest infini, Gest isomorphe `a Z.
D´emonstration : La commutativit´e est triviale.
Supposons que Gsoit fini, notons mson cardinal et consid´erons l’application fde Zdans
G, d´efinie par f k gk. Cette application est, de fa¸con ´evidente, un homomorphisme
de Zdans G, et la d´efinition de fjustifie que fest un homomorphisme surjectif. Si on
note Kle noyau de f, c’est-`a-dire l’ensemble kZ, gke, il est alors classique que
ZKest isomorphe `a G.
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