Page 1 of 2 Le principe variationnel (« The Extremum Principle ») A

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T-2
Q
Le principe variationnel (« The Extremum Principle »)
(Total des points: 10)
A
Le principe variationnel en mécanique
On considère un plan horizontal et sans frottement, x-y, représenté sur la
figure 1. Il est divisé en deux régions, I et II, par une ligne AB
d’équation   . L’énergie potentielle d’une particule ponctuelle de
masse m est    dans la région I et    dans la région II. La
particule est envoyée depuis l'origine O avec une vitesse , suivant une
direction inclinée d’un angle  par rapport à l'axe Ox. Il atteint le point
P dans la dans la région II où sa vitesse est  suivant une direction
inclinée d’un angle  avec l'axe Ox. Dans la totalité du problème T-2,
la gravité et les effets relativistes ne seront pas considérés.
A1
Exprimer  en fonction de ,  et .
0.2
A2
Exprimer en fonction de , et .
0.3
On définit une grandeur appelée action    , où  est une longueur infinitésimale le long du
chemin suivi par une particule de masse m se déplaçant à la vitesse  et où l’intégrale est calculée le
long de ce chemin. Par exemple, pour une particule se déplaçant à vitesse constante  sur cercle de rayon ,
l’action  pour une révolution est . Pour une particule d’énergie constante, on montre que, parmi
l’ensemble des chemins possibles entre deux points fixés, la trajectoire effectivement suivie est celle pour
laquelle  définie ci-dessus est un extremum (minimum ou maximum). Historiquement, ceci est connu
comme le Principe de Moindre Action (PMA).
A3
Le PMA implique que la trajectoire d'une particule se déplaçant entre deux points fixes dans une région de
potentiel constant est une ligne droite. Les points  et  de la figure 1 ont pour coordonnées respectives
and  et le point où la particule franchit la frontière de la région I à la région II a pour
coordonnées  On notera que  est fixé et que l’action ne dépend que de la coordonnée .
Déterminer l’expression pour l’action. Utiliser le PMA pour obtenir la relation entre  et les
coordonnées.
1.0
B
Le principe variationnel en optique
Un rayon lumineux se propage d’un milieu I à un milieu II dont les
indices de réfraction respectifs sont  et . Les deux milieux sont
séparés par une ligne parallèle à l’axe Ox. Le rayon lumineux est incliné
d’un angle  avec l’axe Oy dans le milieu I et d’un angle  dans le
milieu II (voir figure 2). Afin d’obtenir le trajet du rayon lumineux, on
utilise un autre principe variationnel (ou principe d’extremum), connu
sous le nom de principe Fermat.
B1
Ce principe postule qu’entre deux points fixés, le rayon lumineux effectivement parcouru correspond à celui
qui rend extrémal le temps de parcours. Déduire du principe de Fermat la relation entre et .
0.5
La figure 3 représente de manière schématique le trajet d’un faisceau
laser incident horizontal atteignant une solution de sucre dont la
concentration décroît avec l’altitude. Par conséquent l’indice de
réfraction de la solution décroît également avec l’altitude.
B2
On suppose que l’indice de réfraction  ne dépend que de . En utilisant l’équation obtenue en B1,
exprimer la pente  en un point du trajet du rayon lumineux en fonction de n(y) et de l’indice de
réfraction  en   .
1.5
B3
Le faisceau laser est dirigé horizontalement dans la solution de sucre au niveau de l’origine  située à
la hauteur  comptée à partir du bas de la cuve comme indiqué figure 3.
En considérant que   où  et  sont des constantes positives, exprimer x en fonction de  et
1.2
Figure 2
Figure 1
Figure 3: cuve avec la solution de sucre
𝜃
𝑦
𝑥
𝑥
𝛼
𝜃
𝑉 
𝑉𝑉
𝑥𝑦
𝑥
𝑦
𝜃
𝑦
𝑥
𝑥
𝛼
𝜃
𝑉 
𝑉𝑉
𝑥𝑦
𝑖
𝑖
𝑛
𝑛
𝛼
𝑦
𝑥
I
II

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T-2
Q
de grandeurs reliées au trajet effectif du faisceau laser.
Indication :         constant, où    
 ou bien
B4
Calculer la valeur de  correspondant au point où le faisceau arrive au fond de la cuve. On prendra
cm,  ,   cm (1 cm = 10-2 m).
0.8
C
Le principe variationnel et la nature ondulatoire de la matière
Nous allons maintenant étudier le lien entre le PMA et le caractère ondulatoire d’une particule en
mouvement. Nous ferons pour cela l’hypothèse qu’une particule se déplaçant depuis O jusqu’à P peut
emprunter toute les trajectoires et nous cherchons une trajectoire qui vérifie une condition d’interférence
constructive pour les ondes de de Broglie.
C1
Pour une particule se déplaçant le long de sa trajectoire d’une distance infinitésimale , relier la variation
de la phase de l’onde de de Broglie de la particule à la variation  de son action et à la constante de
Planck.
0.6
C2
On rappelle le problème de la partie A où la particule se déplace
de  à  (voir figure. 4). On place un écran opaque sur la
frontière  entre les deux régions sauf au niveau d’une petite
ouverture  dans AB de largeur  telle que    et
  .
On considère deux chemins limites  et  avec 
correspondant à la trajectoire classique discutée dans la partie A.
Déterminer la différence de phase  entre les deux chemins,
on se limite au premier ordre.
1.2
D
Interférence d’ondes de matière
On considère un canon à électrons situé en  qui dirige un
faisceau quasi-parallèle d’électrons vers une fente fine  dans la
frontière opaque  en    de sorte que  est une ligne
droite.  est un point de l’écran situé en   (voir figure 5). La
vitesse dans I est    m s et   . Le
potentiel en II est tel que la vitesse devient   
m s. La distance   est  ( 
). On ne considère pas les interactions entre électrons.
D1
Si les électrons en  ont été accélérés à partir du repos, calculer le potentiel d’accélération .
0.3
D2
Une autre fente identique  est réalisée dans la frontière  à une distance nm (nm m)
sous la fente  (figure 5). Si le déphasage entre les ondes de de Broglie arrivant en P après avoir traversé F
et G est , calculer la valeur de .
0.8
D3
Quelle est la plus petite distance  dont on doit se déplacer sur l’écran à partir de P pour ne plus détecter
aucun électron ? [NB: vous pouvez utiliser l’approximation        ]
1.2
D4
Le faisceau a une section carrée de   et le dispositif fait 2 m long. La densité de flux est le
nombre d’électrons par unité de surface perpendiculaire au faisceau et par unité de temps. Que devrait être
la densité de flux minimale Imin s’il existe au moins un électron dans le dispositif à un instant donné ?
0.4
Figure 4
Figure 5
𝑥𝑦
𝑉𝑉
𝑉 
𝑦
𝑥
𝑥
𝑦
𝑥
𝑥
𝑥
215.00 nm
250 mm