Le Principe d’Extremum (Total: 10 Points)
A. Le Principe d’Extremum en Mécanique
Figure 1
Soit un plan horizontal x-y sans frottements, illustré par la Fig. 1. Il est divisé en deux parties, I et II, par la droite
AB satisfaisant l'équation 𝑥 = 𝑥1. L'énergie potentielle d'une particule ponctuelle de masse m dans la partie I est
𝑉=0! tandis que 𝑉=𝑉
! dans la partie II. La particule est envoyée depuis l'origine O à une vitesse 𝑣1, le long
d'une droite formant un angle 𝜃! avec l'axe x. Elle arrive au point P dans la partie II en y ayant voyagé à une vitesse
𝑣! le long d'une droite qui fait un angle 𝜃!!avec l'axe x. Il faut ignorer la gravité et les effets relativistes dans tout ce
problème.
Obtenir une expression pour 𝑣! en fonction de 𝑚, 𝑣! et 𝑉
!!!
Exprimer!!𝑣!!en fonction de 𝑣!, 𝜃!!et 𝜃!.
Définissons une quantité appelée action 𝐴=𝑚𝑣(𝑠)𝑑𝑠, où ds est une longueur infinitésimale sur la trajectoire
d'une particule de masse 𝑚 qui se déplace à la vitesse 𝑣(𝑠). L'intégrale est prise le long de la trajectoire. Par
exemple, pour une particule se déplaçant à vitesse constante sur une trajectoire circulaire de rayon 𝑅, 𝐴 vaudra
2𝜋𝑚𝑅𝑣 pour un tour complet. Pour une particule d’énergie constante 𝐸, il peut être démontré que, parmi toutes les
trajectoires possibles entre deux points fixes, la vraie trajectoire est celle sur laquelle 𝐴, définie ci-dessus, est un
extremum (maximum ou minimum). Historiquement, ce principe est connu sous le nom de Principe de Moindre
Action (PMA).
Le PMA implique que la trajectoire d'une particule se déplaçant entre deux points fixes dans une région
de potentiel constant est une ligne droite. Soient les deux points fixes 𝑂 et 𝑃 de la Fig. 1 de coordonnées
(0,0)!et (𝑥!,𝑦!) respectivement et le point frontière 𝑥!,𝛼 où la particule passe de la partie I à la partie
II. Notez que 𝑥! est fixé et que l’action dépend uniquement de la variable 𝛼. Donnez l'expression de
l'action 𝐴(𝛼). Utiliser le PMA pour obtenir la relation entre 𝑣!/𝑣! et les coordonnées définies ci-dessus.
B. Le Principe d’Extremum en Optique
Un rayon lumineux passe du milieu I au milieu II d’indices de réfraction 𝑛! et 𝑛 respectivement. Les deux milieux
sont séparés par une droite parallèle à l'axe x. Le rayon de lumière fait un angle 𝑖! avec l'axe y dans le milieu I et
un angle 𝑖 dans le milieu II (voir Fig. 2). Pour déterminer la trajectoire du rayon, nous nous servons d'un autre
principe d’extremum appelé le principe du moindre temps de Fermat.