Mécanique quantique relativiste de particules libres

XIXeme
H=p2
2m
H1
ˆ
H0=ˆp2
2m
−→
p|−→ pi
ˆ
−→
p|−→ pi=−→ p|−→ pi |−→ pi
ψ−→
p(−→
r)∝e−i−→
p .−→ ridψ
dt =−∆ψ 2m
|ψ−→
p(t)i=e−iE−→
pt|−→
pi=eip2t
2m|−→
pi
•´ψ−→
p(−→
r)ψ∗
−→
p(−→
r)d3r

L×L×L=V
−→
p=2π
L
nx
ny
nz
ψ−→
p(−→
r) = 1
√Ve−i−→
p .−→ r|ψ−→
pi
ψ−→
p(−→
r , t) = 1
√Veip2
2mt−−→
p .−→ r
•E(−→
p) = p2
2m
E(−→ p)2=p2+m2
ψ=m2ψ|pµi
pµ="E
−→
p#
ψ−→
p(−→
r , t) = αei(pµxµ)
p0= +p−→ p .−→ p+m2
d3x
|ψ(x)|2d3x
´V|ψ(x)|2d3x
Pµ= P0
−→
P!dP
dt = 0 ∂µPµ= 0
Pµ=i([∂µψ∗]ψ−ψ∗[∂µψ])
1 = ´VP0d3x=´Vi([∂0ψ∗]ψ−ψ∗[∂0ψ]) d3x
=´Vi−ip0α∗e−i(pµxµ)αei(pµxµ)−α∗e−i(pµxµ)ip0αei(pµxµ)d3x
=´V2|α|2p0d3x
L L →+∞

ψ−→
p(−→
r , t) = 1
√2V p0
ei(pµxµ)
H1
Hnn
n∈Nn= 0
F(H) = +∞ ⊕
n=0Hn
ˆ
a(−→ p)†a(−→ p)
−→
p
ˆ
a(−→ p) : Hn→ Hn−1
ˆ
a(−→ p)|−→ qi= 0
ˆ
a(−→ p)|−→ p , −→ p , −→ q , −→ ki=√2|−→ p , −→ q , −→ ki
ˆ
a(−→ p)†:Hn→ Hn+1
ˆ
a(−→ p)†|−→ qi=|−→ p , −→ qi
ˆ
a(−→ p)†|−→ p , −→ p , −→ q , −→ ki=√3|−→ p , −→ p , −→ p , −→ q , −→ ki
x
p
−→
p ,
φ

•
−→
E(−→ r , t) = P
−→
l
−→
l(t)ei−→
kl.−→ r−→
e−→
l
•
−→
E(−→ r , t) = P
−→
lE(1)
−→
liα−→
l(t)ei−→
kl.−→ r−iα∗
−→
l(t)e−i−→
kl.−→ r−→
e−→
l
•
H= 20VP
−→
lE(1)
−→
l2α−→
l
2=P
−→
l
ωl
2Q2
l+P2 l
•
H ˆ HQ−→
l ˆ
Q−→
l
P−→
l ˆ
P−→
l
α−→
l ˆa−→ l
α∗
−→
l
ˆa−→
l†
ˆ
−→
E=P
−→
lE(1)
−→
liˆa−→
lei−→
kl.−→ r−iˆa−→
l†e−i−→
kl.−→ r−→
e−→
l
ˆa−→
l†ˆa−→ l
~ω−→
l−→
l k−→
l=ω−→ l
ˆ
a(−→ p)†ˆ a(−→ p)E|−→ pi
E=p−→ p .−→ p+m2
N−→ l
ˆ
E=E(1)
−→
liˆa−→
lei−→
kl.−→ r−iˆa−→
l†e−i−→
kl.−→ r
hEi=hN|ˆ E|Ni=iE(1)
−→
l√NhN|N−1iei−→
kl.−→ r−√N+ 1hN|N+ 1ie−i−→ kl.−→ r= 0
hE2i=hN|ˆ E2|Ni=1
0VN+1 2~ω−→
l
E=E0cos ω−→
lt−−→
k−→
l.−→
rE0H=V1
20E2
0=N~ω−→
l
hEi=1
T´TE dt = 0
hE2i=E2
0
2=1 0VN+1 2~ω−→
l

φ(xµ) = P
−→
p
1
√2V p0α(−→
p)eipµxµ+α∗(−→ p)e−ipµxµ
ˆ
φ(xµ) = P
−→
p
1
√2V p0ˆa(−→
p)eipµxµ+ ˆa†(−→ p)e−ipµxµ
ˆ
φ(xµ) = ˆ A(xµ) + ˆ A†(xµ)ˆ A(xµ) = P
−→
p
1
√2V p0ˆa(−→
p)eipµxµ
ˆ
Aˆ A†ˆaˆa†
ˆ
φ
ˆ
φ(xµ)ˆ φ(yµ)
ˆ
φ(xµ)ˆ φ(yµ)
hˆ
φ(xµ),ˆ φ(yµ)i=
ˆ
φ(xµ)ˆ φ(yµ)−ˆ φ(yµ)ˆ φ(xµ)
hˆ
φ(xµ),ˆ φ(yµ)i= 0
[ˆa(−→ p),ˆa(−→ p)] = ˆa†(−→ p),ˆa†(−→ q)= 0 ˆa(−→ p),ˆa†(−→ q)=
δ−→
p ,−→ q
hˆ
A(xµ),ˆ A(yµ)i= 0 hˆ A†(xµ),ˆ A†(yµ)i= 0
hˆ
A(xµ),ˆ A†(yµ)i=P
−→
p
1
2V p0eipµ(xµ−yµ)