constante m "une force"

2. CINEMATIQUE DU
POINT
Cinématique
Étude du mouvement d’un corps en fonction du temps,
indépendamment de toute cause pouvant le provoquer
ou le modifier.
Le mouvement s’effectue le long d’une trajectoire, la
trajectoire se trouve sur une courbe (droite, arc, …)
Cinématique
Mouvement : modification de la position d’un corps
pendant un intervalle de temps. On attribue à la
position du corps une ou plusieurs valeurs numériques
(coordonnées) qui situent le corps en fonction du
temps dans un référentiel.
Trajectoire : l’ensemble des positions successives du
corps dans l’espace.
Différents types de mouvements
Mouvement rectiligne uniforme : la trajectoire se trouve
sur une droite, la vitesse est constante en direction et en
norme. Le vecteur vitesse V est constant, en direction et
en norme.
Mouvement rectiligne uniformément accéléré : la
trajectoire se trouve sur une droite, la direction du
déplacement est constante, mais la norme de la vitesse varie
au cours du temps (augment ou diminue). L’accélération
(ou la décélération) est constante. Le vecteur vitesse V est
constant en direction, mais sa norme varie.
Différents types de mouvements
Mouvement rectiligne varié : l’accélération n’est pas
constante dans le temps.
Mouvement circulaire uniforme : la trajectoire se
trouve sur un cercle ou un arc de courbe. La norme du
vecteur vitesse V est constante, mais sa direction
change.
Mouvement curviligne : la trajectoire se trouve sur une
courbe. La norme du vecteur vitesse et sa direction
changent au cours du temps.
Notion de référentiel
La description du mouvement d’un point matériel exige de connaître sa position
dans l’espace à tout instant. Pour cela, nous devons définir :
Un repère d’espace
Une horloge
L’ensemble repère – horloge constitue un référentiel.
Tout observateur est muni d’un temps t associé à une horloge et
d’un espace affine E (ou vectoriel) orienté à 3 dimensions.
À tout instant t, il existe un point M(t) de l’espace E avec lequel
coïncide le point matériel à l’instant t (point coïncidant).
Dans l’espace à 3 dimensions, il faut trois données (coordonnées)
pour définir la position d’un point M.
7
Accélération
Mouvement à une dimension
(x1  x)  x1 x
v(t1) 

t1  t  t1
t
Équation du mouvement : équation horaire
• L’équation horaire d’un mouvement rectiligne,
uniformément accéléré s’écrit :
x(t)  1   2  vot  xo
2
• Cette équation est obtenue par intégration de la définition
de l’accélération :
dv    Cste soit dv   dt
dt
d’où
v(t)    dt    dt   t K
Équation du mouvement : équation horaire
De même :
Systèmes de coordonnées
z
x

M y
z

k
j
i
y
O
x
m

OM  Om  z k





OM  x i  y j  z k

avec


Om  x i  y j


M 



ur
O
 Angle polaire


OM   ur

ur = vecteur unitaire (vecteur
radial)
Axe polaire
Dans l’espace à 3 dimensions, on ajoute la coordonnée z
:



OM   ur  z k
Les 3 coordonnées de M sont
alors :
 
M 
 z
Les relations entre coordonnées
cartésiennes et cylindriques sont :
x   cos 
y   sin 
z z
Dérivée d’un vecteur tournant par rapport à son
angle polaire
u
y
ur
j
O
M

x
i


 dOM

d
u
OM  r ur  v 
 dr ur  r r
dt
dt
dt







dur dur d d
ur  cos  i  sin  j 



( sin  i  cos  j )
dt
d dt
dt
Or :
D’où :



 


 sin  i  cos  j  cos(  ) i  sin(  ) j  u
2
2

 
dur d 

 u   u
dt
dt 
 
 



Finalement : v  dOM  dr ur  r d u  r ur  r  u
dt
dt
dt
Le vecteur OM est représenté
  
dans la base
(ur , u , uj)
Avec r = OM toujours positif
 = (OZ, OM)
j = (OX, OM)
Le vecteur OM s’écrit :

OM  r ur
Les coordonnées de M sont
:
Les relations entre coordonnées cartésiennes
et sphériques de M sont :

 r
M 
j
x  r sin  cos j
y  r sin  sin j
z  r cos 
Produit vectoriel (rappel)
 Sa grandeur est :
 

 

A  B  A  B  sin( A, B)  A B sin 
 Sa direction est telle que
 
 
A , B et A  B forment un trièdre direct
(règle de la main droite ou encore règle du tire bouchon)


A  B

B

A


B  A
Produit vectoriel (rappel)
 Sa grandeur est :
 

 

A  B  A  B  sin( A, B)  A B sin 
 Expression analytique


A  B

B

A


B  A

 (AyBz  Az By) i
  

A  B   (Az Bx  AxBz) j

 (AxBy  AyBx) k

Mouvement dans l’espace : expression des vecteurs
vitesse et accélération dans un référentiel galiléen



Cartésiennes OM  (x i  y j  z k )
:

 dy  dx       
 d OM
dx
v 

i 
j
k  xi  y j  zk
dt
dt
dt
dt

où
dx  v , dy  v et dx  v
x
y
z
dt
dt
dt
  
Sont les composantes du vecteur vitesse dans la base (i , j , k )

2x 
d 2 y  d 2 z       
d
v
d
 
 2 i  2 j  2 k  xi  y j  zk
dt
dt
dt
dt

où
d 2x   , d 2 y   et d 2x  
x dt 2
y
z
dt2
dt2
Sont les composantes
du vecteur accélération dans la
  
base (i , j , k )
Mouvement de Translation Rectiligne
Uniformément Varié MRUV
• Il sert de modèle à de nombreuses études simplifiées. Pour ces mouvements,
accélérés (a>0) ou décélérés (a<0), l’accélération reste constante au cours du temps
• Soient :
• ti : instant initial
• a=ai : l’accélération (m/s²)
• xi : le déplacement initial, à t=ti (m)
• Vi : la vitesse initiale (m/s)
• x(t) : le déplacement à l’instant t (m)
• V(t) : la vitesse à l’instant t (m/s)
Mouvement de Translation Rectiligne
Uniformément Varié MRUV
Mouvement de Translation Rectiligne
Uniformément Varié MRUV
• Cas particulier : Equations horaires du mouvement sans déplacement initial et sans
• vitesse initiale
Mouvement de Translation Rectiligne
Uniformément Varié MRUV
• Dans le cas où l’accélération est uniforme on démontre
que :
• On peut aisément exprimer ainsi l’accélération en fonction
de la position et de la vitesse.
Exercices d’interprétation graphique
Exercices d’interprétation graphique
Exercices d’interprétation graphique
Exemple 3 : Soit le graphique de la vitesse en
fonction du temps de l'exemple précédent. Quel
est le déplacement du mobile durant ce
mouvement?
Exercice 1
• Exercice 1
Un chariot de masse 2 tonnes est tracté sur des rails à une
vitesse de 0,2 m/s.
Calculer la tension du câble (on néglige les frottements).
Exercice 1 - corrigé
• Exercice 1
Un chariot de masse 2 tonnes est tracté sur des rails à une vitesse de 0,2 m/s.
Calculer la tension du câble (on néglige les frottements).
formule : PFD : F = m . a
Application : T – mgcos40° = 0
T = mgcos40°
T =2000x10xcos40°=15321N
Exercice 2
• Une automobile de masse 850 kg est arrêtée sur une
route horizontale. Au démarrage, elle est propulsée par
une force constante dont la composante horizontale a
pour intensité 200 daN.
• 1) Quelle est la nature du mouvement ? Calculer
l’accélération de la voiture.
• 2) Quelle distance aura-t-elle parcourue après 5
secondes ?
•
• 3) Quelle sera sa vitesse à cet instant ?
Exercice 2 - corrigé
Exercice 3 (pour vous entraîner)
• Ernst Jünger conduit une voiture à 50 km/h dans une rue
horizontale. La voiture a une masse de 1 060 kg.
Soudain, il freine pour s’arrêter.
• En supposant que la décélération est constante pendant
tout le freinage (a = -2 m/s²) :
•
• 1) Indiquer la direction et le sens de la force exercée sur
la voiture, calculer son intensité
• 2) Calculer la durée du freinage
• 3) Calculer la distance du freinage
Exercice 3 - corrigé
• Ernst Jünger conduit une voiture à 50 km/h dans une rue horizontale. La voiture a
une masse de 1 060 kg. Soudain, il freine pour s’arrêter.
• En supposant que la décélération est constante pendant tout le freinage (a = -2
m/s²) :
•
• 1) Indiquer la direction et le sens de la force exercée sur la voiture, calculer son
intensité
• La force de frottement est horizontale et s’oppose au déplacement de la voiture.
• formule :
PFD : Somme des Forces = m . a
•
Application :
 Fr = m.a = 1060 x 2 = 2120 N
•
•
•
•
•
•
•
•
•
2) Calculer la durée du freinage
formule :
t = (V-V0) / a
Application :
t = (0 – 50/3,6) / -2 = 6,94 s
3) Calculer la distance du freinage
formule :
X = ½.a.t2 + v0.t + X0
Application :
X = ½x(-2)x6,942 + (50/3,6)x6,94 = 48,23m
Exercice 4 (pour vous entraîner)
• Une automobile avec son conducteur a une masse de 1 000
kg. Pour simplifier on admettra, dans tout le problème, que la
somme de toutes les forces de frottement est constante,
parallèle au déplacement et égale à 150 N.
•
• 1) L’automobile monte une pente de 2,5 % (tan a = 0,025) à la
vitesse de 72 km/h. Au cours de cette montée le chauffeur
débraye (force motrice nulle). A quelle distance du point où il a
commencé le débrayage, la voiture s’arrête-t-elle ?
•
• 2) Au cours de cette même montée, la voiture roulant toujours
à 72 km/h, le chauffeur débraye et freine en même temps. La
voiture s’arrête après 50 m. Calculer la valeur de la force
résistante due au freinage.
•
Exercice 4 - corrigé
34
3 LES LEVIERS
ACTION DES MUSCLES
3 Bio-physique
H. Delaprée
35
Avant-propos
• Ce diaporama est celui présenté en cours
• Une bibliographie est donnée en fin de diaporama
36
3 Les leviers
• Étudier un mouvement en vue de l'optimiser, nécessite de :
1 - déterminer la direction du déplacement, ce qui va
déterminer le type de mouvement.
2 - situer le point d'appui fixe (A), c'est à dire l'articulation
3 - situer le point d'application de la résistance (R), c'est à dire
le centre de gravité de l'ensemble.
4 - situer le point d'application et la direction de la force
musculaire (F), c'est à dire le point d'insertion du muscle.
37
3. Les leviers – différents types
Levier inter-appui : le
pied de biche
Levier inter-résistant : la brouette
38
Moment d’une force
• Le moment de force est l'aptitude d'une force à faire tourner un
système mécanique autour d'un point donné, que l'on nomme pivot
(ou axe).
• Les composantes et la norme d'un moment de force sont exprimées
en newton-mètre (Nm), dans le système international d'unités
• Le moment est dit positif si la rotation engendrée est anti-horaire
(sens trigonométrique).
• Le moment est dit négatif si la rotation engendrée est horaire.
39
Moment d’une force
• Le moment de la force F par rapport à l’axe o ( MF ) est égal au
produit de la distance d de l’axe à la droite d’action de la force par
l’intensité de cette force en newton. Il s’exprime en mètre newton
(mN).
F
d
xo
MF  F d
40
A retenir
• Le moment d’une force est égal au produit de l’intensité de cette force
par la distance de cette force à l’axe de rotation .
• A l’équilibre, la somme des moments des forces qui font tourner le
solide dans un sens est égale à la somme des moments des forces
qui le font tourner dans le sens contraire.
41
Cas de nullité du moment d’une force
• Puisqu'il s'agit ensuite d'établir la somme nulle des moments, on peut
naturellement s'intéresser aux cas de nullité individuelle des
moments de force ; de par les propriétés du produit vectoriel :
1.
2.
3.
la force est nulle
le bras de levier est de longueur nulle. La force est donc appliquée
sur l’axe de rotation
La force est colinéaire au vecteur levier, la droite d'action passe par
l’axe, ce qui inclut aussi le cas précédent.
42
Méthode simplifée du calcul du moment
d’une force
On peut utiliser le produit vectoriel mais une méthode plus
simple consiste à prendre les 2 composantes de la force
dans un repère où un des axes est le levier et l’autre axe
est orthogonal au premier.
Le moment de la composante de la force portée par l’axe
sera nul, on n’en tient donc pas compte.
Le moment de la force par rapport à l’axe sera donc égal à
au produit de la norme de la composante orthogonal par la
distance à l’axe du point d’application de la force.
43
Autre méthode en utilisant le bras de
levier
Cette méthode est très bien décrite dans le document
suivant :
TP forces et moments
44
Rappels trigonométriques
• document avec exercice sur les forces
45
Moment d’une force
Un levier est un solide très léger dont la forme est assimilable à une barre. Il
est soumis à trois forces :
la réaction du point d’appui R,
la force à vaincre ou résistance Fr,
la force motrice F appelée aussi parfois à tort Puissance (au sens de
force de puissance)
Selon la position relative de ces trois forces, on distinguera trois sortes de
leviers :
levier inter-appui : l’appui est au centre
levier inter-résistant : la résistance ou la charge est au centre
levier inter-moteur ou inter-puissant : la force exercée est au centre
Leviers
46
1er genre Levier inter-appui
Fr . OA = F . OB
R
d’où
F
F = Fr . ( OA / OB )
et
Fr
AO
B
R = Fr + F
On voit que plus la distance OB est grande par rapport à OA, plus l’effort F sera
petit pour vaincre une même force Fr.
Applications : barre à mine, pied de biche, tenailles, cisailles à main, diable,
chariot à bouteilles (1er temps).
Attention, c’est au point d’appui que la force exercée est la plus grande !
Leviers
47
2ème genre Levier inter-résistant
Fr . OA = F . OB
F
R
d’où
F = Fr . ( OA / OB )
et
Fr
O
A
B
R = Fr - F
On voit que plus la distance OB est grande par rapport à OA, plus l’effort F sera
petit pour vaincre une même force Fr.
Applications : brouette, cisaille à levier, casse noix, diable, chariot à bouteilles
(2ème temps).
Leviers
48
3ème Genre Levier inter-moteur ou inter-puissant
Fr
R
Fr . OA = F . OB
d’où
F = Fr . ( OA / OB )
et
F
O
B
A
R = F - Fr
On voit que plus la distance OB est petite par rapport à OA, plus l’effort F devra
être grand pour vaincre une même force Fr.
Applications : étaux à chaud, brucelles, pince à épiler…
Équilibre
49
Un système est en équilibre si :
- la somme des forces est nulle (force résultante = 0),
- la somme algébrique des moments des forces est nulle.
La barre ne tourne pas, on a donc en A
une force dont le moment s’oppose à
celui de la force exercée en C.
30 N
A
1m
2m
C
B
10 N
20 N
L’ensemble ne chute pas, on a donc en
B une force opposée à la résultante des
deux autres forces.
On peut constater que, quel que soit le
point de rotation choisi (A B C ou un
autre), la somme des moments est
nulle.
50
Exercice sur les moments des forces
• Une poutre de 100 N et de 1 m de longueur supporte une
charge de 300 N à son extrémité droite. Un câble relié à
un mur maintient la poutre en équilibre.
(a) Quelle doit être la tension dans le câble ?
(b) Quelles sont les composantes (horizontale et
verticale) de la force exercée par le mur sur la poutre ?
Solutions : attention il faut prendre en
compte le poids de la poutre !!
(a) 484 N (b) Rx = 371 N et Ry = 89,3 N
51
Exercice sur les moments des forces
• Un exercice similaire à celui fait en cours :
• Une personne soulève une caisse posée sur le sol
52
Solution sur de l’exercice sur les moments
des forces
• Une poutre de 100 N et de 1 m de longueur supporte une
charge de 300 N à son extrémité droite. Un câble relié à
un mur maintient la poutre en équilibre.
(a) Quelle doit être la tension dans le câble ?
(b) Quelles sont les composantes (horizontale et
verticale) de la force exercée par le mur sur la poutre ?
53
compléments
• Un complément de cours intéressant :
• Cours sur les leviers osseus
54
bibliographie
•
Bibliographie Physique ; Mpsi. Pcsi. Ptsi Editeur :
Hachette Education Collection : H Prepa
•
Biophysique. Cours, Exercices, Annales Et Qcm
Corrigés, 2e édition Auteur : Salah Belazreg, Rémi
Perdrisot, Jean-Yves Bounaud Editeur : DUNOD
Edisciences - collection : 100% 1re année Santé