exos divisibilité

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N. Véron-LMB
Feuille d'exercices: Divisibilité dans 
1. Application du cours
 Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est divisible par 3.
 Soit n un entier, démontrer que (n²-4n-5) est divisible par(n+1)
 Soit a et b deux entiers relatifs non nuls.
a) Développer (a+b)
3
b) Démontrer que 3 divise a
3
+b
3
si et seulement si 3 divise (a+b)
3
.
 On décide de former des nombres, dans le système décimal, en écrivant de gauche à
droite 4 chiffres consécutifs dans l'ordre croissant, puis en permutant les deux
chiffres de gauche.
Par exemple: 5467
Démontrer que tous les entiers obtenus sont divisibles par 11.
 6-8-13 page 22 et 81-88 page 28
 89-90-(91)-92 page 28
 16-(17)-18 page 23
 Soit n un entier naturel.
a) Démontrer que (n²+5n+4) et (n²+3n+2) sont divisibles par (n+1).
b) Déterminer l'ensemble des valeurs de n pour lesquelles (3n²+15n+19) est divisible par
(n+1).
c) En déduire que , pour tout entier naturel n, (3n²+15n+19) n'est pas divisible par
(n²+3n+2).
2. Utilisation d'un raisonnement par récurrence.
 86 page 28
 Démontrer par récurrence sur n≥1, que le nombre 2
2n
+6n-1 est divisible par 9.
3. Chercher
 84-85-94-(98) page 28
 Le problème consiste à trouver les couples (x,y) d'entiers naturels vérifiant l'égalité:
3(x²+y²)+2xy=664
a) Soit (x,y) une solution. Montrer qu'il existe un couple (s,t) d'entiers relatifs vérifiant
x-y=2t et x+y=2s
b) Montrer que t est pair et s est impair.
c) Conclure
On peut utiliser une autre méthode en se faisant aider par une machine.....

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Eléments de correction-Exercices sur la divisibilité dans .
1. Applications du cours
 a)Soit n∈
n²+5n+4=(n+1)(n+4) et (n+4)∈ donc (n+1) divise (n²+5n+4)
n²+3n+2=(n+1)(n+2) et (n+2)∈ donc (n+1) divise (n²+3n+2)
b) Soit n∈, on remarque que n²+15n+19=n²+15n+12+7=3(n²+5n+4)+7.
On sait que (n+1) divise (n²+5n+4) donc (n+1) divise (n²+15n+19) si et seulement si (n+1) divise 7.
Les diviseurs positifs de 7 sont 1 et 7 , par suite:
(n+1) divise (n²+5n+4) ⇔ (n+1=1) ou (n+1=7)
⇔ n=0 ou n=6
c) Supposons qu'il existe un entier naturel n tel que (n²+3n+2) divise (3n²+15n+19).
Comme (n+1) divise (n²+3n+2) alors (n+1) divise (3n²+15n19).
D'après b) on a donc n=0 ou n=6.
Or pour n=0, n²+3n+2=2 et 3n²+15n+19=19. 2 ne divise pas 19 donc 0 ne convient pas.
Pour n=6, n²+3n+2=56 et 3n²+15n+19=217. 56 ne divise pas 217 donc 6 ne convient pas.
En conclusion il n'existe aucun entier n tel que (n²+3n+2) divise (3n²+15n+19).
Ou encore, pour tout entier naturel n, (n²+3n+2) ne divise pas (3n²+15n+19).
3. Chercher
 Exercices du livre
84 page 28:
2°) Soit a∈*,
a²+a=a(a+1) et ce nombre est pair. Il existe donc m∈* tel que a²+a=2m.
a²-a=a(a-1) est également pair. Il existe donc p∈* tel que a²-a=2p.
On a bien m+p=a² et m-p=a.
3°) Soit a un entier naturel non nul et m et p les deux entiers définis comme ci-dessus.
On a (m+p)(m-p)=a
3
soit a
3
=m²-p².
Exemple: a=2009.
a²+a=4038090 donc m=2019045
a²-a=4034072 donc p=2017036.
on a bien m²-p²= 2009
3
85 page 28
(n+1)²-n²=2n+1
94 page 28
1°) Soit p un diviseur commun à (x
1
-y
1
) et (x
2
-y
2
).
Par combinaison linéaire, p divise également x
2
(x
1
-y
1
)+y
1
(x
2
-y
2
)=x
1
x
2
-y
1
y
2
2°) Soit p un diviseur commun à (x
1
-y
1
), (x
2
-y
2
) et (x
3
-y
3
).
p divise également (x
1
x
2
-y
1
y
2
) d'après 1°).
Par combinaison linéaire p divise alors x
3
(x
1
x
2
-y
1
y
2
)+y
1
y
2
(x
3
-y
3
)=x
1
x
2
x
3
-y
1
y
2
y
3
98 page 29: Sera revu plus tard pour un DM. Un méthode possible est la démonstration par
récurrence.
Dans la question 3°) l'hérédité se montre elle même par récurrence.
 Une solution suivant la méthode proposée:

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Remarquons tout d'abord que x et y ont des rôles symétriques c'est à dire que (x,y) est solution
si et seulement si (y;x) est solution. On peut donc se restreindre à chercher les couples solutions
avec x≥y.
a) Soit (x,y) une solution de l'équation., on a: 3(x²+y²)+2xy=2(x+y)²+(x-y)²
Donc 3(x²+y²)+2xy=664 ⇔ 2(x+y)²+(x-y)²=664 (1)
2(x+y)² et 664 sont pairs donc (x-y)² est pair.
Or n² est pair si et seulement si n est pair (résultat souvent utilisé), donc (x-y) est pair. Par
suite, il existe un entier naturel t tel que x-y=2t.
(1) ⇔ 2(x+y)²+4t²=664
⇔ (x+y)²+2t²=332
2t² et 332 sont pairs donc (x+y)² et (x+y) aussi. Il existe donc un entier naturel s tel que
x+y=2s.
b) Remplaçons alors (x+y) et (x-y) dans l'égalité (1), on obtient:
2(2s)²+(2t)²=664 ⇔ 8s²+4t²=664
⇔ 2s²+t²=166.
Un raisonnement analogue au précédent montre que t² est pair donc t est pair.
posons t=2t' où t'∈ dans l'égalité précédente, on obtient
2s²+4t'²=166 ⇔ s²+2t'²=83 ⇔ s²=83-2t'².
s² est donc impair et s aussi.
c) Posons enfin s=2s'+1 où s'∈.
On obtient, en remplaçant:
(2s'+1)²+2t'²=83 ⇔ 4s'²+4s'+1+2t'²=83
⇔ 2s'(s+1)+t'²=41
Il est clair que t' est nécessairement impair. On essaye donc des valeurs
Pour t'=1 on obtient s'(s'+1)=20 et s'=4
Pour t'=3 on obtient s'(s'+1)=16 qui n'a pas de solution dans 
Pour t'=5 on obtient s'(s'+1)=8 qui n'a pas de solution dans 
Pour t'≥7, t'²≥41 donc 2s'(s+1)+t'²=41 n'a pas de solution dans ².
Ainsi la seule possibilité est t'=1 et s'=4.
Soit s=9 et t=2, puis x+y=18 et x-y=4 et enfin x=11 et y=7.
Les solutions possibles sont les couples (11;7) et (7;11) qui sont effectivement solutions.
Un autre façon de faire avec Scilab ou une calculatrice.
x et y sont des entiers naturels donc ils sont positifs ou nuls.
Par suite,
3(x²+y²)+2xy ≥ 3x² (valeur si y=0) et 3(x²+y²)+2xy ≥ 3y² (valeur si x=0)
Donc, si (x,y) est solution, 3x²≤664 et 3y²≤ 664 soit x≤14 et y≤14.
Il suffit de tester tous les couples vérifiant cette majoration.
Par exemple avec scilab: (vous pouvez faire un copier coller de ce texte directement dans la
console)
for x=1:14
for y=1:14
N=3*(x^2+y^2)+2*x*y;
if N==664
disp([x,y])
end
end
end