exos divisibilité
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TS*-spé Feuille d'exercices: Divisibilité dans 1. Application du cours Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est divisible par 3. Soit n un entier, démontrer que (n²-4n-5) est divisible par(n+1) Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. a) Développer (a+b)3 b) Démontrer que 3 divise a3+b3 si et seulement si 3 divise (a+b)3. On décide de former des nombres, dans le système décimal, en écrivant de gauche à droite 4 chiffres consécutifs dans l'ordre croissant, puis en permutant les deux chiffres de gauche. Par exemple: 5467 Démontrer que tous les entiers obtenus sont divisibles par 11. 6-8-13 page 22 et 81-88 page 28 89-90-(91)-92 page 28 16-(17)-18 page 23 Soit n un entier naturel. a) Démontrer que (n²+5n+4) et (n²+3n+2) sont divisibles par (n+1). b) Déterminer l'ensemble des valeurs de n pour lesquelles (3n²+15n+19) est divisible par (n+1). c) En déduire que , pour tout entier naturel n, (3n²+15n+19) n'est pas divisible par (n²+3n+2). 2. Utilisation d'un raisonnement par récurrence. 86 page 28 Démontrer par récurrence sur n≥1, que le nombre 22n+6n-1 est divisible par 9. 3. Chercher 84-85-94-(98) page 28 Le problème consiste à trouver les couples (x,y) d'entiers naturels vérifiant l'égalité: 3(x²+y²)+2xy=664 a) Soit (x,y) une solution. Montrer qu'il existe un couple (s,t) d'entiers relatifs vérifiant x-y=2t et x+y=2s b) Montrer que t est pair et s est impair. c) Conclure On peut utiliser une autre méthode en se faisant aider par une machine..... N. Véron-LMB TS*-spé Eléments de correction-Exercices sur la divisibilité dans . 1. Applications du cours a)Soit n∈ n²+5n+4=(n+1)(n+4) et (n+4)∈ donc (n+1) divise (n²+5n+4) n²+3n+2=(n+1)(n+2) et (n+2)∈ donc (n+1) divise (n²+3n+2) b) Soit n∈, on remarque que n²+15n+19=n²+15n+12+7=3(n²+5n+4)+7. On sait que (n+1) divise (n²+5n+4) donc (n+1) divise (n²+15n+19) si et seulement si (n+1) divise 7. Les diviseurs positifs de 7 sont 1 et 7 , par suite: (n+1) divise (n²+5n+4) ⇔ (n+1=1) ou (n+1=7) ⇔ n=0 ou n=6 c) Supposons qu'il existe un entier naturel n tel que (n²+3n+2) divise (3n²+15n+19). Comme (n+1) divise (n²+3n+2) alors (n+1) divise (3n²+15n19). D'après b) on a donc n=0 ou n=6. Or pour n=0, n²+3n+2=2 et 3n²+15n+19=19. 2 ne divise pas 19 donc 0 ne convient pas. Pour n=6, n²+3n+2=56 et 3n²+15n+19=217. 56 ne divise pas 217 donc 6 ne convient pas. En conclusion il n'existe aucun entier n tel que (n²+3n+2) divise (3n²+15n+19). Ou encore, pour tout entier naturel n, (n²+3n+2) ne divise pas (3n²+15n+19). 3. Chercher Exercices du livre 84 page 28: 2°) Soit a∈*, a²+a=a(a+1) et ce nombre est pair. Il existe donc m∈* tel que a²+a=2m. a²-a=a(a-1) est également pair. Il existe donc p∈* tel que a²-a=2p. On a bien m+p=a² et m-p=a. 3°) Soit a un entier naturel non nul et m et p les deux entiers définis comme ci-dessus. On a (m+p)(m-p)=a3 soit a3=m²-p². Exemple: a=2009. a²+a=4038090 donc m=2019045 a²-a=4034072 donc p=2017036. on a bien m²-p²= 20093 85 page 28 (n+1)²-n²=2n+1 94 page 28 1°) Soit p un diviseur commun à (x1-y1) et (x2-y2). Par combinaison linéaire, p divise également x2(x1-y1)+y1(x2-y2)=x1x2-y1y2 2°) Soit p un diviseur commun à (x1-y1), (x2-y2) et (x3-y3). p divise également (x1x2-y1y2) d'après 1°). Par combinaison linéaire p divise alors x3(x1x2-y1y2)+y1y2(x3-y3)=x1x2x3-y1y2y3 98 page 29: Sera revu plus tard pour un DM. Un méthode possible est la démonstration par récurrence. Dans la question 3°) l'hérédité se montre elle même par récurrence. Une solution suivant la méthode proposée: N. Véron-LMB TS*-spé Remarquons tout d'abord que x et y ont des rôles symétriques c'est à dire que (x,y) est solution si et seulement si (y;x) est solution. On peut donc se restreindre à chercher les couples solutions avec x≥y. a) Soit (x,y) une solution de l'équation., on a: 3(x²+y²)+2xy=2(x+y)²+(x-y)² Donc 3(x²+y²)+2xy=664 ⇔ 2(x+y)²+(x-y)²=664 (1) 2(x+y)² et 664 sont pairs donc (x-y)² est pair. Or n² est pair si et seulement si n est pair (résultat souvent utilisé), donc (x-y) est pair. Par suite, il existe un entier naturel t tel que x-y=2t. (1) ⇔ 2(x+y)²+4t²=664 ⇔ (x+y)²+2t²=332 2t² et 332 sont pairs donc (x+y)² et (x+y) aussi. Il existe donc un entier naturel s tel que x+y=2s. b) Remplaçons alors (x+y) et (x-y) dans l'égalité (1), on obtient: 2(2s)²+(2t)²=664 ⇔ 8s²+4t²=664 ⇔ 2s²+t²=166. Un raisonnement analogue au précédent montre que t² est pair donc t est pair. posons t=2t' où t'∈ dans l'égalité précédente, on obtient 2s²+4t'²=166 ⇔ s²+2t'²=83 ⇔ s²=83-2t'². s² est donc impair et s aussi. c) Posons enfin s=2s'+1 où s'∈. On obtient, en remplaçant: (2s'+1)²+2t'²=83 ⇔ 4s'²+4s'+1+2t'²=83 ⇔ 2s'(s+1)+t'²=41 Il est clair que t' est nécessairement impair. On essaye donc des valeurs Pour Pour Pour Pour t'=1 on obtient s'(s'+1)=20 et s'=4 t'=3 on obtient s'(s'+1)=16 qui n'a pas de solution dans t'=5 on obtient s'(s'+1)=8 qui n'a pas de solution dans t'≥7, t'²≥41 donc 2s'(s+1)+t'²=41 n'a pas de solution dans ². Ainsi la seule possibilité est t'=1 et s'=4. Soit s=9 et t=2, puis x+y=18 et x-y=4 et enfin x=11 et y=7. Les solutions possibles sont les couples (11;7) et (7;11) qui sont effectivement solutions. Un autre façon de faire avec Scilab ou une calculatrice. x et y sont des entiers naturels donc ils sont positifs ou nuls. Par suite, 3(x²+y²)+2xy ≥ 3x² (valeur si y=0) et 3(x²+y²)+2xy ≥ 3y² (valeur si x=0) Donc, si (x,y) est solution, 3x²≤664 et 3y²≤ 664 soit x≤14 et y≤14. Il suffit de tester tous les couples vérifiant cette majoration. Par exemple avec scilab: (vous pouvez faire un copier coller de ce texte directement dans la console) for x=1:14 for y=1:14 N=3*(x^2+y^2)+2*x*y; if N==664 disp([x,y]) end end end N. Véron-LMB
