anneaux - algèbres

I — Rappels MPSI : Anneaux et corps
1) Généralités
a) Définitions et caractérisation
Structure d’anneau (1)
Un anneau est un ensemble A muni de deux lois de composition interne telles que :
(1) : la première loi, notée en général additivement est une loi de groupe commutatif (on notera 0A son élément
neutre),
(2) : la seconde loi, notée en général multiplicativement est associative, admet un élément neutre (noté généralement 1A ), et est distributive sur la première loi.
Un sous-anneau d’un anneau A est une partie non vide, stable par les deux lois et qui possède une structure
d’anneau pour les lois induites (en particulier un sous anneau doit contenir 1A ).
Un anneau est commutatif lorsque la deuxième loi interne est commutative.
Caractérisation d’un sous-anneau (2)
Soit A un anneau. Alors A0 est un sous-anneau de A si et seulement si A0 est un sous-groupe de (A, +), qui
contient 1A et stable par la seconde loi.
Exemples d’anneaux (3)
(1) :
(2) :
(3) :
(4) :
(5) :
Z, Z/nZ, Q, R, C,
AE pour A anneau et E ensemble,
A[X] et pour A anneau quelconque,
K(X) pour un corps quelconque K.
(6) :
(7) :
Produit de deux anneaux.
Un sous-anneau.
Mn (K)
Groupe des inversibles d’un anneau (4)
Soit (A, +, ·) un anneau. L’ensemble des éléments de A inversibles (i.e. symétrisables par la multiplication)
constituent un groupe multiplicatif, appelé groupe des éléments inversibles de A ou encore groupe des unités de
A. Notation : A∗ ou parfois U(A).
Structure de corps et sous-corps (5)
On appelle corps tout anneau K non réduit à {0K } dans lequel tout élément non nul est inversible.
Un sous-corps de K est un sous-anneau de K qui est un corps.
b) Intégrité
Diviseur de zéro / Anneau intègre (6)
Soit A un anneau et a ∈ A \ {0A }. On dit que a est un diviseur de zéro s’il existe b ∈ A \ {0A } tel que ab = 0A
ou ba = 0A . Un anneau non réduit à {0A }, commutatif et sans diviseur de zéro est un anneau intègre.
(7)
Un corps est un anneau intègre. Il y est donc plus simple de résoudre des équations en factorisant.
(8)
Soit A un anneau intègre et (x, y) ∈ A2 . On dit que x divise y s’il existe a ∈ A tel que y = ax. Notation : x|y.
2) Calculs dans un anneau
1
a) Dans un anneau quelconque
(9)
Soit A un anneau et x, y, z ∈ A. Les règles de calculs suivantes sont valides :
(1) : 0A x = x0A = 0 (on dit que 0A est un élément absorbant),
(2) : x(−y) = (−x)y = −(xy) (règle des signes),
(3) : x(y − z) = xy − xz et (y − z)x = yx − zx.
Pn
n
Notation : Soit A un anneau et (x
i=1 xi . Par
Pi )i∈ [ 1 , n ] ∈PA . La somme x1 + · · · + xn peut se noter
commutativité, on peut aussi écrire, 16i6n x
x
.
De
manière
générale,
si
I
désigne
un
ensemble
i ou
i
i∈ [ 1 , n ]
P
fini d’indices, on pourra utiliser la notation i∈I xi .
(10)
On considère des éléments d’un anneau A et des ensembles I et J finis d’indices. Les règles de calculs suivantes
sont P
valides :
P
P
(1) :
i∈I (xi + yi ) = (
i∈I xi ) + (
i∈I yi ),
P
P
P
(2) : si (Ik )k∈K désigne une partition de I, alors
i∈I xi = P
k∈K
i∈Ik xi ,
P
P
P
P
(3) :
( i∈I xi , j ), ce qu’on notera (i,j)∈I×J xi , j ,
j∈J xi , j =
j∈J
P
P
Pi∈I
P
P
P
P
(4) : (
x
)
y
=
= i∈I
i∈I i
j∈J j
i∈I xi
j∈J yj
j∈J (xi yj ) =
(i,j)∈I×J (xi yj ).
b) Deux propriétés remarquables relatives à la commutativité dans un anneau
identité remarquable (11)
Si a et P
b sont deux éléments d’un anneau et qu’ils commutent, alors pour tout entier naturel n, an+1 − bn+1 =
(a − b) nk=0 ak bn−k .
(12)
P
Si a est un élément d’un anneau et n un entier naturel, alors 1 − an+1 = (1 − a) ni=0 ai . De plus, si 1 − a est
Pn
inversible, alors i=0 ai = (1 − a)−1 (1 − an+1 ).
binôme de Newton (13)
Si
a
deux éléments d’un anneau et qu’ils commutent, alors pour tout entier naturel n, (a + b)n =
Pn et nb sont
k n−k
.
k=0 k a b
(14)
Dans un anneau commutatif, les produits finis peuvent se noter à l’aide du symbole Π, avec les mêmes règles de
fonctionnement que celles relatives au symbole Σ dans le cas des additions finies.
2
anneau et algèbre des polynômes
Dans tout le chapitre, K désigne R ou C.
I — Structure d’Algèbre
Définition (15)
Soit K un corps. Une K-algèbre est un ensemble A muni de deux lois internes + et × et d’une loi externe · (de
K × A dans A) telles que :
— le triplet (A, +, ×) est un anneau
— le triplet (A, +, ·) est un K-espace vectoriel
— propriété d’associativité mixte : λ · (x × y) = (λ · x) × y = x × (λ · y) pour tout λ ∈ K, (x, y) ∈ A2 .
II — Exemple : l’algèbre des polynômes
1) Polynômes, indéterminée
Définitions (16)
Soit (a0 , . .P
. , ap ) ∈ Kp+1 .
p
n
(1) : P =
n=0 an X est un polynôme à une indéterminée à coefficients dans K. Notation : K[X].
(2) : Un monôme est un polynôme dont tous les coefficients sont nuls sauf un seul.
(3) : Si P 6= 0, le degré de P est max {n ∈ N|an 6= 0}.
Notation : deg P . Par convention, deg 0 = −∞. On
note Kn [X] = {P ∈ K[X]| deg P 6 n}.
Si P 6= 0, adeg P est le coefficient dominant de P
et si adeg P = 1, on dit que P est unitaire ou normalisé.
(5) :
Si P 6= 0, la valuation de P est
min {n ∈ N|an 6= 0}. Notation : val P . Par convention, val 0 = +∞.
(6) : Un polynôme est pair (resp. impair) lorsque tous
ses coefficients d’indices impairs (resp. pairs) sont nuls.
(4) :
Remarques (17)
L’objet X s’appelle l’indéterminée du polynôme ; ce n’est ni un élément de K ni une “variable”. C’est un
objet figé, comme le nombre entier π, le booléen “vrai”, ou l’application exp. Tout polynôme est donc un objet
figé, mais n’est ni une application, ni même une expression.
On n’écrira pas “posons X = 1” mais plutôt : “substituons 1 à X”.
Pp
n
(2) : Pour simplifier certaines notions, dans la suite, on considérera que si P =
n=0 an X , au delà de p, les
coefficients an sont définis, mais tous nuls
P(on parlenaussi de suite presque nulle ou nulle à partir d’une certain
rang). On pourra dans ce cas écrire P = +∞
n=0 an X .
(1) :
2) Opérations sur les polynômes
Lois de composition (18)
P
P
n
n
Soient P = +∞
Q = +∞
n=0 an X et P
n=0 bn X deux éléments de K[X] et λ ∈ K. On définit trois lois sur K[X] :
+∞
n
(1) : L’addition : P + Q =
n + bn )X .
n=0
P(a
P+∞ P
+∞ Pn
n
n
(2) : La multiplication : P Q =
n=0 (
k=0 ak bn−k )X =
n=0 (
p+q=n ap bq )X , appelée produit de Cauchy.
P+∞
n
(3) : La loi dite externe : λP =
n=0 (λan )X .
Rappel (19)
Soit (P, Q) ∈ K[X]2 , alors deg(P + Q) 6 max(deg P, deg Q) et deg(P Q) = deg P + deg Q. Et donc si P 6= 0 et
Q 6= 0, alors P Q 6= 0.
3
(1) :
(2) :
Théorème (20)
L’addition et la multiplication sont deux l.c.i sur K[X], et (K[X], +, ×) est un anneau intègre.
(K[X], +, ×, ·) est une K-algèbre commutative.
Attention (21)
Si n ∈ N∗ , (Kn [X], +, ·) est un K-espace vectoriel, mais n’est pas une algèbre.
Corps des fractions rationnelles (22)
Puisque l’anneau K[X] est intègre, on peut définir le corps des fractions constituées de polynômes, appelé
corps des fractions rationnelles. Notation : K(X).
A
(2) : Soit (A, B) ∈ K[X] × K[X] \ {0}. On appelle degré de la fraction rationnelle B le nombre deg A − deg B.
A
Notation : deg B
.
(1) :
III — Arithmétique dans un anneau principal
1) Idéaux et divisibilité dans un anneau commutatif
Définition (23)
Un idéal est un sous-groupe additif absorbant pour la multiplication. Soit : 0 ∈ I, I + I ⊂ I, AI ⊂ I.
Propriété (24)
Le noyau d’un morphisme d’anneaux est un idéal de l’anneau de départ (l’image est un sous-anneau de l’anneau
d’arrivée).
Théorème : idéal engendré (25)
(1) : L’intersection d’une famille d’idéaux est un idéal.
(2) : L’intersection de tous les idéaux contenant une partie X est le plus petit idéal contenant X, noté (X). C’est
l’ensemble des combinaisons linéaires finies à coefficients dans A des éléments de X.
(1) :
(2) :
Exemples (26)
(a) = aA (idéal monogène engendré par a), (I ∪ J) = I + J,
Un idéal contenant l’unité ou une unité est égal à A.
Définition : divisibilité, éléments associés (27)
a | b ⇐⇒ ∃ c ∈ A tel que b = ac ⇐⇒ b ∈ (a) ⇐⇒(b) ⊂ (a). Lorsque A est intègre et a 6= 0, il y a unicité de c
qui est alors noté b/a.
(2) : a et b sont dits associés lorsqu’ils engendrent le même idéal, soit a | b et b | a. Si A est intègre, a et b sont
associés si et seulement s’il existe u ∈ A∗ tel que b = ua.
(3) : Pour A = Z, a et b sont associés si et seulement si b = ±a.
(4) : Pour A = K[X], a et b sont associés si et seulement s’ils sont proportionnels. Tout polynôme non nul est
associé à un unique polynôme unitaire.
(1) :
Théorèmes (28)
Les idéaux de Z sont ses sous-groupes additifs, soit les ensembles (n) = hni = nZ, n ∈ N.
(2) : Les idéaux de K[X] sont les idéaux monogènes, soit les ensembles (P ) avec P = 0 ou P unitaire, entièrement
déterminé par l’idéal considéré.
(1) :
4
2) Anneau principal : pgcd, ppcm (en deuxième lecture).
Ce paragraphe généralise à tout anneau principal les définitions données dans le cas particulier de l’anneau des polynômes
(voir plus loin).
Il n’est à travailler qu’en deuxième lecture, une fois les notions de la partie suivante bien apprises et comprises.
Définition (29)
Un anneau principal est un anneau commutatif intègre dans lequel tous les idéaux sont monogènes.
Définitions : pgcd, ppcm dans un anneau principal (30)
d = a ∧ b est l’un des générateurs de l’idéal (a) + (b) = {ua + vb, u, v ∈ A}.
(2) : m = a ∨ b est l’un des générateurs de l’idéal (a) ∩ (b) = {multiples communs à a et b}.
(3) : d et m sont uniques à association près ; on les rend uniques dans Z en imposant d, m ∈ N. On les rend
uniques dans K[X] en imposant qu’ils soient nuls ou unitaires.
(1) :
(1) :
(2) :
(3) :
(1) :
(2) :
(3) :
(4) :
(5) :
Propriétés (31)
x | d ⇐⇒(x | a et x | b). (d = 0 ⇐⇒ a = b = 0).
m | x ⇐⇒(a | x et b | x). (m = 0 ⇐⇒ a = 0 ou b = 0).
(md) = (ab).
Rappel : il existe u, v en général non uniques tels que d = ua + vb.
Définition : éléments premiers entre eux (32)
a et b sont premiers entre eux ⇐⇒(a ∧ b) = (1) ⇐⇒ ∃ (u, v) ∈ A2 tel que ua + vb = 1.
Pour d 6= 0, a/d et b/d sont premiers entre eux.
(a ∧ bc) = (1) ⇐⇒(a ∧ b) = (1) et (a ∧ c) = (1).
Si (a ∧ b) = (1) et a | bc alors a | c (Gauss).
Si (a ∧ b) = (1) alors (ab | c) ⇐⇒ (a | c et b | c).
3) Décomposition en facteurs irréductibles
a est premier
⇐⇒ a 6= 0, a ∈
/ A∗ , (a | bc ⇒ a | b ou a | c).
a est irréductible ⇐⇒ a 6= 0, a ∈
/ A∗ , (a = bc ⇒ b ∈ A∗ ou c ∈ A∗ ).
Pour A commutatif
: premier ⇒ irréductible. Pour A principal : premier ⇐⇒ irréductible.
√ intègre √
Dans l’anneau Z[i 3], 1 + i 3 est irréductible mais non premier.
Théorème (33)
soit A principal et a ∈ A \ {0}. Alors il existe u ∈ A∗ , n ∈ N et b1 , . . . , bn premiers tels que a = ub1 . . . bn .
Une telle décomposition est unique à ordre et association près.
β1
βk
αk
1
Dans Z ou K[X], en écrivant a = pα
1 . . . pk , b = p1 . . . pk avec les mêmes irréductibles pi , on obtient :
min(α1 ,β1 )
a ∧ b = p1
min(αk ,βk )
. . . pk
et a ∨ b = p1
max(α1 ,β1 )
max(αk ,βk )
. . . pk
.
IV — Arithmétique dans l’anneau des polynômes
1) Division euclidienne de polynômes
Définition - Théorème (34)
A
Soit (A, B) ∈ K[X]2 . On dit que B divise A lors- (3) : Si B
désigne un élément de K(X), alors il existe
qu’il existe Q ∈ K[X] tel que A = BQ ; B est un divi- un unique polynôme E ∈ K[X] (appelé partie entière de
A
seur de A et A un multiple de B.
B ) et une unique fraction rationnelle G ∈ K(X) (appelé
(2) : Soit (A, B) ∈ K[X] × (K[X] \ {0}). Alors il existe partie polaire de A ) tels que deg G < 0 et A = E + G.
B
B
un unique (Q, R) ∈ K[X]2 tel que A = BQ + R et
deg R < deg B division euclidienne de A par B).
(1) :
5
2) PGCD de polynômes
PGCD et algorithme d’Euclide (35)
Si A et B sont deux polynômes non nuls, alors AK[X] + BK[X] est un idéal de K[X]. Il existe donc
D ∈ K[X] tel que AK[X] + BK[X] = DK[X]. Un tel D est appelé un PGCD de A et de B.
(2) : Soient A et B deux polynômes non nuls tels que deg A > deg B. On peut définir une suite de polynômes
par divisions euclidiennes successives : A = BQ1 + R1 , B = R1 Q2 + R2 ,…,Rk = Rk+1 Qk+2 + Rk+2 pour tout
k > 1. La suite (deg Rk ) décroît. Le dernier reste est un PGCD de A et B.
(3) : Un tel polynôme D est un diviseur commun de A et B, le plus grand (à un facteur scalaire près) pour la
relation d’ordre de divisibilité des polynômes et donc de plus grand degré aussi.
(1) :
Définition - Théorème (36)
(1) : Soient A et B deux polynômes non nuls. On dit que A et B sont premiers entre eux si leurs seuls diviseurs
communs sont les polynômes constants (i.e. leurs PGCD sont les constantes).
2
(2) : Soient A et B deux polynômes non nuls. Si D est un PGCD de A et de B, alors il existe (U, V ) ∈ K[X]
tels que AU + BV = D.
(3) : Théorème de Bézout : soient A et B deux polynômes non nuls. Alors A et B sont premiers entre eux si
et seulement s’il existe (U, V ) ∈ K[X]2 tels que AU + BV = 1.
(4) : Ce théorème peut être démontré à partir de l’algorithme d’Euclide ou bien avec le résultat sur le PGCD et
les idéaux de K[X].
Corollaires (37)
Soient A, B1 et B2 trois polynômes non nuls. Si A est premier avec B1 et avec B2 , alors A est premier
avec B1 B2 .
(2) : Soient A et B deux polynômes non nuls. Si on divise A et B par un de leurs PGCD, on obtient deux
polynômes premiers entre eux.
(1) :
Théorème de Gauss (38)
(1) : Soient A, B et C trois polynômes non nuls. Si A divise BC et si A et B sont premiers entre eux, alors A
divise C.
(2) : Corollaire : soient A, B et C trois polynômes non nuls. Si A et B divisent C et si A et B sont premiers
entre eux, alors AB divise C.
3) PPCM de deux polynômes
Définition (39)
Si A et B sont deux polynômes non nuls, alors AK[X] ∩ BK[X] est un idéal de K[X]. Il existe donc M ∈ K[X]
tel que M K[X] = AK[X] ∩ BK[X]. Un tel M est appelé un PPCM de A et de B.
Théorème (40)
Un tel polynôme est un multiple commun à A et B, le plus petit (à un scalaire près) pour la relation d’ordre
de divisibilité des polynômes et donc de plus petit degré aussi.
AB
(2) : Soient A et B deux polynômes non nuls et D un PGCD de A et B. Alors le polynôme D est un PPCM
de A et B.
(1) :
4) Polynômes irréductibles
Définition - Remarque (41)
(1) : Soit P ∈ K[X]. On dit que P est irréductible sur K lorsqu’il est non constant et lorsque ses seuls diviseurs
dans K[X] sont, à un scalaire multiplicatif près, 1 et lui même.
(2) : Exemple : Tout polynôme de degré 1 est irréductible.
Attention (42)
Le corps de base a une importance. Ainsi, X 2 + 1 est irréductible sur R, mais pas sur C.
6
(1) :
(2) :
Théorème (43)
Soit P, Q ∈ K[X]. Si P est irréductible et ne divise pas Q, alors P et Q sont premiers entre eux.
Si un polynôme irréductible divise un produit de polynômes, il divise au moins un de ces polynômes.
5) Corps algébriquement clos
Définition - Théorème (44)
Un corps K est algébriquement clos lorsque tout polynôme non constant de K[X] admet au moins une racine
dans K.
(2) : Un corps K est algébriquement clos si et seulement si l’une des deux proposition suivante est vraie :
• les seuls polynômes irréductibles à coefficients dans K sont ceux de degré 1
• tout polynôme de K[X] non constant est scindé sur K.
(1) :
6) Décomposition des polynômes de C[X] et de R[X]
Théorème de d’Alembert-Gauss (45)
Le corps C est algébriquement clos.
(2) : Tout polynôme réel est scindé sur C.
(3) : Factorisation dans C[X] : soit P ∈ C[X]. On suppose que P est non constant et admet pour racines
Q
complexes a1 , . . . , ap d’ordres respectifs α1 , . . . , αp . Alors il existe λ ∈ C tel que P = λ pj=1 (X − aj )αj . Cette
écriture est unique à l’ordre des facteurs près.
(1) :
Théorème (46)
Soit P ∈ R[X], p ∈ N∗ et a ∈ C. Alors a est racine d’ordre p exactement de P si et seulement si ā est
racine d’ordre p exactement de P .
(2) : Soit P ∈ R[X]. Alors la parité de la somme des ordres de multiplicité des racines réelles de P est égale à
la parité du degré de P .
(3) : factorisation dans R[X] : soit P ∈ R[X]. On suppose que P est non constant et admet pour racines réelles
a1 , . . . , ap d’ordres respectifs α1 , . . . , αp et pour racinesQcomplexes nonQréelles u1 ± iv1 , . . . , uq ± ivq d’ordres
respectifs β1 , . . . , βq . Alors il existe λ ∈ R tel que P = λ pj=1 (X − aj )αj qk=1 ((X − uk )2 + vk2 )βk . Cette écriture
est unique à l’ordre des facteurs près.
(4) : Les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes de degré 1 et ceux de degré 2 dépourvus de racines
réelles.
4
2
2
(5) : factorisation des polynômes réels bicarrés : soit p, q ∈ R. On pose P = X + pX + q, Q = X + pX + q et
2
∆ = p − 4q. On cherche à factoriser P dans R[X] :
• Si ∆ > 0, on cherche les racines de Q et on avise suivant leurs signes.
p √
p √
√
√
√
√
• Si ∆ < 0, alors q > 0 et P = (X 2 + q)2 − (2 q − p)X 2 = (X 2 − 2 q − pX + q)(X 2 + 2 q − pX + q).
(1) :
V — Compléments sur les polynômes
1) Composition
Définition (47)
P
Soit (P, Q) ∈ K[X]2 . On suppose que P = pn=0 an X n . On appelle composé des polynômes P et Q le polynôme
Pp
n
n=0 an Q , obtenu par substitution de Q, élément de la K-algèbre K[X], à X.
Notation : P (Q) ou encore P ◦ Q.
Remarque : P (X) = X(P ) = P .
7
2) Fonctions polynomiales
Définition (48)
Pp
n
Soit P ∈ K[X]. On suppose
Pp que P n= n=0 an X . Pour tout élément x de K (considérée comme une K-algèbre),
on peut définir P (x) = n=0 an x , par substitution de x à X. On appelle fonction polynomiale associée à P
l’application K → K ; x 7→ P (x). Notation : P̃ ou bien fP .
Théorème (49)
K
(1) : L’application K[X] → K ; P 7→ fP est un morphisme d’algèbres.
(2) : Si K est un corps général, ce morphisme n’est pas injectif. Cependant, dans le cadre du programme officiel
(K = R ou C), il est injectif, ce qui se traduit par : l’égalité numérique implique l’égalité formelle. Par abus de
notation, on pourra donc dans la suite utiliser P au lieu de P̃ .
3) Dérivation et formule de Taylor
Définition (50)
P
P+∞
n
n−1
Soit P ∈ K[X]. On suppose que P = +∞
.
n=0 an X . On appelle polynôme dérivé de P le polynôme
n=1 nan X
Notation : P 0 .
On définit récursivement, pour tout k ∈ N∗ , P (k+1) = (P (k) )0 . On convient que P (0) = P .
Théorème (51)
Quelques propriétés de la dérivation formelle des poly- (4) : Pour tout (P, Q) ∈ K[X]2 et tout k ∈ N∗ ,
P
nômes :
(P Q)(k) = kj=0 ( kj )P (j) Q(k−j) .
2
0
0
0
(1) : Il s’agit d’une application linéaire.
(5) : Pour tout (P, Q) ∈ K[X] , (P ◦ Q) = Q · P (Q).
2
0
0
0
0
(2) : Pour tout (P, Q) ∈ K[X] , (P Q) = P Q + P Q .
(6) : Pour tout P ∈ K[X] et tout a ∈ K, (P (X + a)) =
∗
k 0
(3) : Pour tout P ∈ K[X] et tout k ∈ N , (P ) = P 0 (X + a).
0
kP 0 P k−1 .
f0 .
(7) : Pour tout P ∈ K[X], P̃ ∈ D(R, K) et (P̃ ) = P
formule de Mac-Laurin (52)
P
P (n) (0) n
Soit P ∈ K[X]. Alors P = +∞
n=0
n! X .
Formule de Taylor (53)
Soit P ∈ K[X] et a ∈ K.
P
P+∞
P (n) (a) n
Alors P (X + a) = +∞
n=0
n=0
n ! X ou encore, P =
P (n) (a)
n ! (X
− a)n .
4) Racines d’un polynôme
Définition - Théorème (54)
Soit P ∈ K[X] et a ∈ K. On dit que a est racine ou zéro du polynôme P lorsque P est divisible par X − a.
(2) : Soit P ∈ K[X] et a ∈ K. Alors a est racine de P si et seulement si P (a) = 0.
∗
(3) : Soit P ∈ K[X], p ∈ N et a ∈ K. On dit que a est racine d’ordre p exactement du polynôme P lorsqu’il
existe Q ∈ K[X] tel que P = (X − a)p Q et Q(a) 6= 0.
∗
(4) : caractérisations d’une racine d’ordre p Soit P ∈ K[X], p ∈ N et a ∈ K. Alors a est racine d’ordre p
exactement du polynôme P si et seulement si l’une des propositions suivantes est vérifiée :
• P est divisible par (X − a)p sans l’être par (X − a)p+1 .
• P (a) = P 0 (a) = · · · = P (p−1) (a) = 0 et P (p) (a) 6= 0.
(1) :
8
5) Majoration du nombre de racines avec mulitplicité
Théorème (55)
Soit P ∈ K[X]. Alors P a pour racines distinctes a1 , . . . , ar , d’ordres respectifs α1 , . . . , αr au moins, si et
Q
seulement s’il existe Q ∈ K[X] tel que P = Q rj=1 (X − aj )αj .
(2) : Soit P ∈ K[X] \ {0}. Alors la somme des ordres de multiplicité des racines de P est inférieure ou égale au
degré de P .
2
(3) : Si (P, Q) ∈ Kn [X] coïncident en n + 1 points (au moins) distincts, alors P = Q.
K
(4) : Puisque K = R ou C, l’application K[X] → K ; P 7→ fP est injective. Si on la corestreint à l’ensemble des
fonctions polynomiales, c’est donc un isomorphisme.
(1) :
VI — Compléments sur les anneaux
1) Morphismes.
Définitions : morphismes d’anneaux et d’algèbres (56)
Morphisme d’anneaux = application transportant l’addition, la multiplication et les deux éléments neutres.
Le transport du zéro n’est pas à vérifier, il résulte du transport de l’addition.
(2) : Morphisme d’algèbre = transporte en plus la multiplication externe.
(1) :
en donner une version formelle
(1) :
(2) :
(3) :
Propriétés : (57)
L’image directe et l’image réciproque d’un sous-anneau par un morphisme d’anneaux est un anneau.
L’image directe et l’image réciproque d’une sous-algèbre par un morphisme d’algèbre est une sous algèbre.
La composée de deux morphismes d’anneaux est un morphisme d’anneau, réciproque d’un isomorphisme.
Exemples : (58)
conjugaison dans C,
évaluation ou substitution dans A[X] lorsque A est
commutatif,
(1) :
(3) :
(2) :
(4) :
k 7→ k · 1 de Z dans A,
x 7→ x mod n de Z sur Z/nZ.
Théorème : automorphismes des corps Q, R, C : (59)
(1) : Q et R admettent id comme seul automorphisme de corps.
(2) : C admet une infinité d’automorphismes (admis) mais id et z 7→ z̄ sont les seuls automorphismes du corps C
conservant R.
Attention : (60)
On définit le noyau d’un morphisme d’anneaux f : A → B par kerf = {x ∈ A|f (x) = 0B }.
Le noyau d’un morphisme d’anneau N’est PAS en général un sous anneau
2) L’anneau Z/nZ
Théorème : classification des éléments (61)
pour x ∈ Z, on a
x mod n est inversible ⇐⇒ x mod n est régulier ⇐⇒ x mod n engendre (Z/nZ, +) ⇐⇒ x ∧ n = 1.
Conséquences (62)
(Z/nZ)∗ = {x mod n tel que x ∧ n = 1} est un groupe multiplicatif de cardinal ϕ(n).
(2) : Pour n > 2, Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier. Dans le cas contraire, c’est un anneau non
intègre.
ϕ(n)
(3) : Pour x ∈ Z et x ∧ n = 1, on a x
≡ 1 (mod n) (Euler).
n
(4) : Pour x ∈ Z et n premier, on a x ≡ x mod n (Fermat).
(1) :
9
Test de primalité de Fermat : (63)
Commençons par remarquer qu’il existe des entiers composés tels que pour tout x ∈ Z, xn = x mod n. Par
exemple 561 = 3 × 11 × 17 est un tel entier. Ces nombres sont appelés nombre de Carmichaël et forment un
ensemble infini.
Malgré tout, si n est composé, alors xn est très peu probablement congru à x modulo n. Étant donné un (grand)
entier n choisi au hasard - par exemple par un ordinateur - on examine les valeurs 2n−1 , 3n−1 , 5n−1 et 7n−1
modulo n. Si ces quatre valeurs sont égales à 1, on peut prétendre que n est probablement premier.
Théorème chinois, version anneaux : (64)
Soient n, p ∈ N∗ tels que n ∧ p = 1.
L’application (x mod np) 7→ (x mod n, x mod p) est bien définie et est un isomorphisme entre les anneaux Z/npZ
et (Z/nZ)×(Z/pZ). Elle induit un isomorphisme entre les groupes multiplicatifs (Z/npZ)∗ et (Z/nZ)∗ ×(Z/pZ)∗ .
En particulier ϕ(np) = ϕ(n)ϕ(p).
Conséquence : (65)
αk
1
Soit n = pα
. , αk ∈ N∗ .
1 . . . pk avec p1 , . . . , pk premiers positifs distincts et α1 , . .
Q
1
αk −1
1 −1
Alors ϕ(n) = pα
.
.
.
p
(p
−
1)
.
.
.
(p
−
1),
soit
ϕ(n)
=
n
·
1
−
.
1
k
p|n
1
k
p
Cryptage RSA : (66)
soient n ∈ N∗ sans facteur carré et d, e ∈ N∗ tels que de ≡ 1 mod ϕ(n). Alors les applications x 7→ xd et x 7→ xe
sont deux permutations de Z/nZ réciproques.
Arithmétique des polynômes
Exercice 1 : Reste d’une division euclidienne
Soit (a, b) ∈ K2 tels que a 6= b et P ∈ K[X]. Exprimer le reste de la division euclidienne de P par (X − a)(X − b)
en fonction de P (a) et P (b).
Soient a ∈ K et P ∈ K[X].
Exprimer le reste de la division euclidienne de P par (X − a)2 en fonction de P (a) et P 0 (a).
Exercice 2 : Euclide
Soient n, m ∈ N∗ .
1. De la division euclidienne de n par m, déduire celle de X n − 1 par X m − 1.
2. Établir que
pgcd(X n − 1, X m − 1) = X pgcd(n,m) − 1
Exercice 3 : CNS de divisibilité
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur n ∈ N pour que
X 2 + X + 1 | X 2n + X n + 1
Racines et d’Alembert-Gauss
Exercice 4 : Polynôme de degré impair
Montrer qu’un polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle
Exercice 5 : Factorisation et relation coefficients-racines
n−1
n−1
X
Y
2ikπ
2ikπ
Factoriser dans C[X] le polynôme X n − 1. En déduire les valeurs de
exp(
) et de
exp(
).
n
n
k=0
Factoriser dans R[X] les polynômes X 4 − 1 puis X 5 − 1.
10
k=0
Exercice 6 : Factorisation dans R[X]
Montrer que le polynôme Pn =
Qu’en est-il dans R[X] ?
Pn
k=0
Exercice 7 : Polynôme à racines simples
1 k
X est scindé dans C[X] à racines simples.
k!
Rappels d’algèbre linéaire
Exercice 8 : Endomorphisme ?
Soit f : P 7→ 5P − XP . L’application f est-elle un endomorphisme de K[X] ? de Kn [X] pour tout n ∈ N ?
Déterminer un endomorphisme de K[X] qui ne soit pas un endomorphisme de Kn [X] pour aucun n ∈ N.
0
Exercice 9 : Familles échelonnées
Montrer que toute suite de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre.
Montrer que toute suite de polynômes non nuls de valuations deux à deux distinctes est libre.
E = Rn [X]. Pour 0 6 k 6 n, on pose Pk = X (1 − X)
E.
k
n−k
Exercice 10 : Une base de Rn [X]
. Montrer que la famille (Pk )06k6n est une base de
Exercice 11 : Polynômes interpolateurs de Lagrange
Soient a0 ,..., an n + 1 nombres complexes deux à deux distincts et b0 ,..., bn n + 1 nombres complexes.
Montrer qu’il existe une unique famille de n + 1 polynômes à coefficients complexes de degré n exactement
vérifiant ∀(i, j) ∈ J0, nK, Li (aj ) = 1 si i = j et 0 sinon.
Montrer que la famille (Li )06i6n est une base de Cn [X].
Montrer qu’il existe un unique polynôme P de degré inférieur ou égal à n vérifiant ∀i ∈ J0, nK, P (ai ) = bi .
Expliciter P puis déterminer tous les polynômes vérifiant les égalités précédentes.
Exercice 12 : Endomorphisme diagonalisable ?
Soit f qui à P élément de R2n [X] associe f (P ) = (X 2 − 1)P 0 − 2nXP .
Vérifier que f est un endomorphisme de R2n [X] puis déterminer les valeurs et vecteurs propres de f .
Aux 5/2 : f est-il diagonalisable ?
Exercice 13 : Reste
Soit E = R3 [X]. Pour P élément de E, soit f (P ) le reste de la division euclidienne de AP par B où A = X 4 − 1
et B = X 4 − X.
Vérifier que f est un endomorphisme de E puis déterminer Kerf , Imf et les valeurs et vecteurs propres de f .
Exercice 14 : Matrice compagnon
Soit E = K muni de la base canonique. Soit f : E → E l’endomorphisme tel que f (e1 ) = e2 , f (e2 ) = e3 , f (e3 ) =
e4 et f (e4 ) = e1 − e3 + e4 ). Vérifier que X 4 − 3X 3 + X 2 − 1 est un polynôme annulateur de f .
En déduire une matrice carrée A vérifiant A4 − 3A3 + A2 − I = 0.
4
Anneaux
Exercice 15 : Diviseurs de zéro
Montrer qu’un anneau (A, +, ×) n’a pas de diviseurs de zéro si, et seulement si, tous ses éléments non nuls sont
réguliers
Exercice 16 : Morphisme stabilisant R
Soit f : C → C un morphisme d’anneaux tel que
∀x ∈ R, f (x) = x
Montrer que f est l’identité ou la conjugaison complexe.
11
Exercice 17 : Congruences
Résoudre les systèmes suivants :
ß
x ≡ 1 mod 6
1.
x ≡ 2 mod 7
ß
3x ≡ 2 mod 5
2.
5x ≡ 1 mod 6
(1) :
(2) :
3. 3x + 5 = 0 dans Z/10Z
4. x2 = 1 dans Z/8Z
5. x2 + 2x + 2 = 0 dans Z/5Z.
Exercice 18 : Indicatrice d’Euler
Combien y a-t-il d’éléments inversibles dans Z/78Z ?
Montrer que pour tout entier n > 3, ϕ(n) est un nombre pair.
Exercice 19 : Euler-Fermat (Mines)
1. Pour (a, n) ∈ Z × N avec a ∧ n = 1, montrer que a
∗
ϕ(n)
=1
2. Pour p premier et k ∈ {1, . . . , p − 1}, montrer que p divise
[n].
p
k
.
3. Soit (a, n) ∈ (N ) . On suppose que a
= 1 [n]. On suppose que pour tout x divisant n − 1 et différent
de n − 1, on a ax 6= 1 [n]. Montrer que n est premier.
∗ 2
n−1
Exercice 20 : Idéaux triviaux
Soit A un anneau commutatif non nul dont les seuls idéaux sont {0} et A. Montrer que A est un corps.
Exercice 21 : Idéaux premiers
Un idéal I d’un anneau A est dit premier si : ∀ (x, y) ∈ A2 , xy ∈ I ⇒ x ∈ I ou y ∈ I.
(1) : Quels sont les idéaux premiers de Z ?
(2) : Montrer que si A est commutatif non nul et si tous les idéaux de A sont premiers alors A est un corps.
Exercice 22 : Thm de Gauss
Soit A un anneau commutatif et (a, b) ∈ A . On dit que a divise b si b ∈ aA et a est premier à b si aA + bA = A.
Montrer que si a est premier à b et a divise bc, alors a divise c.
2
Exercice 23 : Eléments nilpotents
Soit A un anneau commutatif, et a ∈ A. On dit que a est nilpotent s’il existe n ∈ N tel que an = 0.
(1) : Exemple : Déterminer les éléments nilpotents de Z/36Z.
(2) : Montrer que l’ensemble des éléments nilpotents est un idéal de A.
(3) : Soit a nilpotent. Montrer que 1 − a est inversible.
(4) : Soient a nilpotent et b inversible. Montrer que a + b est inversible.
Exercice 24 :
Soit A un√anneau commutatif et I un idéal de A.
On note I = {x √
∈ A tel que ∃ n ∈ N tel que xn ∈ I} (radical de I).
(1) : Montrer que
idéal de A.
pI√est un
√
(2) : Montrer que
I
=
I.
√
√
√
√
√
√
(3) : Montrer que
I ∩ J = I ∩ J et I + J ⊃ I + J.
(4) :
Exemple : A = Z, I = 3648Z. Trouver
√
I.
12
Radical d’un idéal
Exercice 25 : Fonctions trigonométriques
P
Soit A = {f : R → R de la forme f (x) = a0 + nk=1 ak cos(kx), n ∈ N, ai ∈ R}.
R
(1) : Montrer que A est un sous-anneau de R .
R 2π
(2) : Soit f ∈ A. Calculer
f (t) cos(nt) dt en fonction des ak .
t=0
En déduire que A est intègre.
ß
R[X] −→ A
(4) : Soit Φ :
Montrer que Φ est un isomorphisme d’anneaux. En déduire que A
P 7−→ x 7→ P (cos x).
est principal.
(3) :
Exercice 26 : Endomorphismes d’un groupe commutatif
Soit G un groupe additif et A = {morphismes G → G}.
(1) : Montrer que (A, +, ◦) est un anneau.
(2) : On prend G = Z/nZ, n > 2. Montrer que A est l’ensemble des applications x 7→ kx avec k ∈ G, et que A
est isomorphe à l’anneau Z/nZ.
Exercice 27 :
Entiers 2-adiques
Soit A = {m/n ∈ Q tel que n est impair}.
(1) : Montrer que A est un sous-anneau de Q.
(2) : Chercher les éléments inversibles dans A.
k
(3) : Montrer que les idéaux non nuls de A sont tous monogènes engendrés par les nombres de la forme 2 , k ∈ N.
Soit


Ñ
a b
E = M (a, b, c) = c a

b c
Exercice 28 : Algèbres

é
c

b /(a, b, c) ∈ R3

a
Montrer que E est une sous-algèbre commutative de M3 (R) dont on déterminera la dimension.
VII — Sujets d’oraux de concours autres que CCP
Exercice 29 : Centrale
Soit un entier n > 2. Combien le groupe (Z/nZ, +) admet-il de sous-groupes ?
Exercice 30 : Mines
1. Déterminer l’ensemble des inversibles de l’anneau Z/8Z. De quelle structure peut-on munir cet ensemble ?
2. Y a-t-il, à isomorphisme près, d’autres groupes de cardinal 4 ?
Exercice 31 : Mines
Soit (G, .) un groupe fini tel que
∀g ∈ G, g 2 = e
où e est le neutre de G. On suppose G non réduit à {e}.
Montrer qu’il existe n ∈ N∗ tel que G est isomorphe à ((Z/2Z)n , +).
Si p est un nombre premier, quel est le nombre de carrés dans Z/pZ ?
Exercice 32 : Mines
Exercice 33 : ENTPE
Donner l’ensemble G des inversibles de l’anneau Z/20Z.
Montrer que (G, ×) est isomorphe à (Z/2Z × Z/4Z, +)
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