anneaux - algèbres

I — Rappels MPSI : Anneaux et corps
1) Généralités
a) Définitions et caractérisation
Un anneau est un ensemble Amuni de deux lois de composition interne telles que :
(1) : la première loi, notée en général additivement est une loi de groupe commutatif (on notera 0Ason élément
neutre),
(2) : la seconde loi, notée en général multiplicativement est associative, admet un élément neutre (noté généra-
lement 1A), et est distributive sur la première loi.
Un sous-anneau d’un anneau Aest une partie non vide, stable par les deux lois et qui possède une structure
d’anneau pour les lois induites (en particulier un sous anneau doit contenir 1A).
Un anneau est commutatif lorsque la deuxième loi interne est commutative.
Structure d’anneau (1)
Soit Aun anneau. Alors A0est un sous-anneau de Asi et seulement si A0est un sous-groupe de (A, +), qui
contient 1Aet stable par la seconde loi.
Caractérisation d’un sous-anneau (2)
(1) : Z,Z/nZ,Q,R,C,
(2) : AEpour Aanneau et Eensemble,
(3) : A[X]et pour Aanneau quelconque,
(4) : K(X)pour un corps quelconque K.
(5) : Produit de deux anneaux.
(6) : Un sous-anneau.
(7) : Mn(K)
Exemples d’anneaux (3)
Soit (A, +,·)un anneau. L’ensemble des éléments de Ainversibles (i.e. symétrisables par la multiplication)
constituent un groupe multiplicatif, appelé groupe des éléments inversibles de Aou encore groupe des unités de
A.Notation : A∗ou parfois U(A).
Groupe des inversibles d’un anneau (4)
On appelle corps tout anneau Knon réduit à {0K}dans lequel tout élément non nul est inversible.
Un sous-corps de Kest un sous-anneau de Kqui est un corps.
Structure de corps et sous-corps (5)
b) Intégrité
Soit Aun anneau et a∈A\ {0A}. On dit que aest un diviseur de zéro s’il existe b∈A\ {0A}tel que ab = 0A
ou ba = 0A. Un anneau non réduit à {0A}, commutatif et sans diviseur de zéro est un anneau intègre.
Diviseur de zéro / Anneau intègre (6)
Un corps est un anneau intègre. Il y est donc plus simple de résoudre des équations en factorisant.
(7)
Soit Aun anneau intègre et (x, y)∈A2. On dit que xdivise ys’il existe a∈Atel que y=ax.Notation : x|y.
(8)
2) Calculs dans un anneau
1

a) Dans un anneau quelconque
Soit Aun anneau et x, y, z ∈A. Les règles de calculs suivantes sont valides :
(1) : 0Ax=x0A= 0 (on dit que 0Aest un élément absorbant),
(2) : x(−y) = (−x)y=−(xy)(règle des signes),
(3) : x(y−z) = xy −xz et (y−z)x=yx −zx.
Notation : Soit Aun anneau et (xi)i∈[[ 1 , n ]] ∈An. La somme x1+··· +xnpeut se noter Pn
i=1 xi. Par
commutativité, on peut aussi écrire, P16i6nxiou Pi∈[[ 1 , n ]] xi. De manière générale, si Idésigne un ensemble
fini d’indices, on pourra utiliser la notation Pi∈Ixi.
(9)
On considère des éléments d’un anneau Aet des ensembles Iet Jfinis d’indices. Les règles de calculs suivantes
sont valides :
(1) : Pi∈I(xi+yi) = (Pi∈Ixi)+(Pi∈Iyi),
(2) : si (Ik)k∈Kdésigne une partition de I, alors Pi∈Ixi=Pk∈KPi∈Ikxi,
(3) : Pi∈IPj∈Jxi,j=Pj∈J(Pi∈Ixi,j), ce qu’on notera P(i,j)∈I×Jxi,j,
(4) : (Pi∈Ixi)Pj∈Jyj=Pi∈IxiPj∈Jyj=Pi∈IPj∈J(xiyj)=P(i,j)∈I×J(xiyj).
(10)
b) Deux propriétés remarquables relatives à la commutativité dans un anneau
Si aet bsont deux éléments d’un anneau et qu’ils commutent, alors pour tout entier naturel n,an+1 −bn+1 =
(a−b)Pn
k=0 akbn−k.
identité remarquable (11)
Si aest un élément d’un anneau et nun entier naturel, alors 1−an+1 = (1 −a)Pn
i=0 ai. De plus, si 1−aest
inversible, alors Pn
i=0 ai= (1 −a)−1(1 −an+1).
(12)
Si aet bsont deux éléments d’un anneau et qu’ils commutent, alors pour tout entier naturel n,(a+b)n=
Pn
k=0 n
kakbn−k.
binôme de Newton (13)
Dans un anneau commutatif, les produits finis peuvent se noter à l’aide du symbole Π, avec les mêmes règles de
fonctionnement que celles relatives au symbole Σdans le cas des additions finies.
(14)
2

anneau et algèbre des polynômes
Dans tout le chapitre, Kdésigne Rou C.
I — Structure d’Algèbre
Soit Kun corps. Une K-algèbre est un ensemble Amuni de deux lois internes +et ×et d’une loi externe ·(de
K×Adans A) telles que :
— le triplet (A, +,×)est un anneau
— le triplet (A, +,·)est un K-espace vectoriel
— propriété d’associativité mixte : λ·(x×y) = (λ·x)×y=x×(λ·y)pour tout λ∈K,(x, y)∈A2.
Définition (15)
II — Exemple : l’algèbre des polynômes
1) Polynômes, indéterminée
Soit (a0, . . . , ap)∈Kp+1.
(1) : P=Pp
n=0 anXnest un polynôme à une indéter-
minée à coefficients dans K.Notation : K[X].
(2) : Un monôme est un polynôme dont tous les coeffi-
cients sont nuls sauf un seul.
(3) : Si P6= 0, le degré de Pest max {n∈N|an6= 0}.
Notation : deg P. Par convention, deg 0 = −∞. On
note Kn[X] = {P∈K[X]|deg P6n}.
(4) : Si P6= 0,adeg Pest le coefficient dominant de P
et si adeg P= 1, on dit que Pest unitaire ou normalisé.
(5) : Si P6= 0, la valuation de Pest
min {n∈N|an6= 0}.Notation : val P. Par conven-
tion, val 0 = +∞.
(6) : Un polynôme est pair (resp. impair) lorsque tous
ses coefficients d’indices impairs (resp. pairs) sont nuls.
Définitions (16)
(1) : L’objet Xs’appelle l’indéterminée du polynôme ; ce n’est ni un élément de Kni une “variable”. C’est un
objet figé, comme le nombre entier π, le booléen “vrai”, ou l’application exp. Tout polynôme est donc un objet
figé, mais n’est ni une application, ni même une expression.
On n’écrira pas “posons X= 1” mais plutôt : “substituons 1 à X”.
(2) : Pour simplifier certaines notions, dans la suite, on considérera que si P=Pp
n=0 anXn, au delà de p, les
coefficients ansont définis, mais tous nuls (on parle aussi de suite presque nulle ou nulle à partir d’une certain
rang). On pourra dans ce cas écrire P=P+∞
n=0 anXn.
Remarques (17)
2) Opérations sur les polynômes
Soient P=P+∞
n=0 anXnet Q=P+∞ n=0 bnXndeux éléments de K[X]et λ∈K. On définit trois lois sur K[X]:
(1) : L’addition : P+Q=P+∞
n=0(an+bn)Xn.
(2) : La multiplication : P Q =P+∞
n=0(Pn k=0 akbn−k)Xn=P+∞ n=0(Pp+q=napbq)Xn, appelée produit de Cauchy.
(3) : La loi dite externe : λP =P+∞
n=0(λan)Xn.
Lois de composition (18)
Soit (P, Q)∈K[X]2, alors deg(P+Q)6max(deg P, deg Q)et deg(P Q) = deg P+ deg Q. Et donc si P6= 0 et
Q6= 0, alors P Q 6= 0.
Rappel (19)
3

(1) : L’addition et la multiplication sont deux l.c.i sur K[X], et (K[X],+,×)est un anneau intègre.
(2) : (K[X],+,×,·)est une K-algèbre commutative.
Théorème (20)
Si n∈N∗,(Kn[X],+,·)est un K-espace vectoriel, mais n’est pas une algèbre.
Attention (21)
(1) : Puisque l’anneau K[X]est intègre, on peut définir le corps des fractions constituées de polynômes, appelé
corps des fractions rationnelles. Notation : K(X).
(2) : Soit (A, B)∈K[X]×K[X]\ {0}. On appelle degré de la fraction rationnelle A
Ble nombre deg A−deg B.
Notation : deg A
B.
Corps des fractions rationnelles (22)
III — Arithmétique dans un anneau principal
1) Idéaux et divisibilité dans un anneau commutatif
Un idéal est un sous-groupe additif absorbant pour la multiplication. Soit : 0∈I,I+I⊂I,AI ⊂I.
Définition (23)
Le noyau d’un morphisme d’anneaux est un idéal de l’anneau de départ (l’image est un sous-anneau de l’anneau
d’arrivée).
Propriété (24)
(1) : L’intersection d’une famille d’idéaux est un idéal.
(2) : L’intersection de tous les idéaux contenant une partie Xest le plus petit idéal contenant X, noté (X). C’est
l’ensemble des combinaisons linéaires finies à coefficients dans Ades éléments de X.
Théorème : idéal engendré (25)
(1) : (a) = aA (idéal monogène engendré par a), (I∪J) = I+J,
(2) : Un idéal contenant l’unité ou une unité est égal à A.
Exemples (26)
(1) : a|b⇐⇒∃c∈Atel que b=ac ⇐⇒b∈(a)⇐⇒(b)⊂(a). Lorsque Aest intègre et a6= 0, il y a unicité de c
qui est alors noté b/a.
(2) : aet bsont dits associés lorsqu’ils engendrent le même idéal, soit a|bet b|a. Si Aest intègre, aet bsont
associés si et seulement s’il existe u∈A∗tel que b=ua.
(3) : Pour A=Z,aet bsont associés si et seulement si b=±a.
(4) : Pour A=K[X],aet bsont associés si et seulement s’ils sont proportionnels. Tout polynôme non nul est
associé à un unique polynôme unitaire.
Définition : divisibilité, éléments associés (27)
(1) : Les idéaux de Zsont ses sous-groupes additifs, soit les ensembles (n) = hni=nZ,n∈N.
(2) : Les idéaux de K[X]sont les idéaux monogènes, soit les ensembles (P)avec P= 0 ou Punitaire, entièrement
déterminé par l’idéal considéré.
Théorèmes (28)
4

2) Anneau principal : pgcd, ppcm (en deuxième lecture).
Ce paragraphe généralise à tout anneau principal les définitions données dans le cas particulier de l’anneau des polynômes
(voir plus loin).
Il n’est à travailler qu’en deuxième lecture, une fois les notions de la partie suivante bien apprises et comprises.
Un anneau principal est un anneau commutatif intègre dans lequel tous les idéaux sont monogènes.
Définition (29)
(1) : d=a∧best l’un des générateurs de l’idéal (a)+(b) = {ua +vb, u, v ∈A}.
(2) : m=a∨best l’un des générateurs de l’idéal (a)∩(b) = {multiples communs à aet b}.
(3) : det msont uniques à association près ; on les rend uniques dans Zen imposant d, m ∈N. On les rend
uniques dans K[X]en imposant qu’ils soient nuls ou unitaires.
Définitions : pgcd, ppcm dans un anneau principal (30)
(1) : x|d⇐⇒(x|aet x|b). (d= 0 ⇐⇒a=b= 0).
m|x⇐⇒(a|xet b|x). (m= 0 ⇐⇒a= 0 ou b= 0).
(2) : (md) = (ab).
(3) : Rappel : il existe u, v en général non uniques tels que d=ua +vb.
Propriétés (31)
(1) : aet bsont premiers entre eux ⇐⇒(a∧b) = (1) ⇐⇒∃(u, v)∈A2tel que ua +vb = 1.
(2) : Pour d6= 0,a/d et b/d sont premiers entre eux.
(3) : (a∧bc) = (1) ⇐⇒(a∧b) = (1) et (a∧c) = (1).
(4) : Si (a∧b) = (1) et a|bc alors a|c(Gauss).
(5) : Si (a∧b) = (1) alors (ab |c)⇐⇒(a|cet b|c).
Définition : éléments premiers entre eux (32)
3) Décomposition en facteurs irréductibles
aest premier ⇐⇒a6= 0,a /∈A∗,(a|bc ⇒a|bou a|c).
aest irréductible ⇐⇒a6= 0,a /∈A∗,(a=bc ⇒b∈A∗ou c∈A∗).
Pour Acommutatif intègre : premier ⇒irréductible. Pour Aprincipal : premier ⇐⇒ irréductible.
Dans l’anneau Z[i√3],1 + i√3est irréductible mais non premier.
soit Aprincipal et a∈A\ {0}. Alors il existe u∈A∗,n∈Net b1, . . . , bnpremiers tels que a=ub1. . . bn.
Une telle décomposition est unique à ordre et association près.
Théorème (33)
Dans Zou K[X], en écrivant a=pα1
1. . . pαk
k,b=pβ1
1. . . pβk
kavec les mêmes irréductibles pi, on obtient :
a∧b=pmin(α1,β1)
1. . . pmin(αk,βk)
ket a∨b=pmax(α1,β1)
1. . . pmax(αk,βk)
k.
IV — Arithmétique dans l’anneau des polynômes
1) Division euclidienne de polynômes
(1) : Soit (A, B)∈K[X]2. On dit que Bdivise Alors-
qu’il existe Q∈K[X]tel que A=BQ ;Best un divi-
seur de Aet Aun multiple de B.
(2) : Soit (A, B)∈K[X]×(K[X]\ {0}). Alors il existe
un unique (Q, R)∈K[X]2tel que A=BQ +Ret
deg R < deg Bdivision euclidienne de Apar B).
(3) : Si A
Bdésigne un élément de K(X), alors il existe
un unique polynôme E∈K[X](appelé partie entière de
A
B) et une unique fraction rationnelle G∈K(X)(appelé
partie polaire de A
B) tels que deg G < 0et A B=E+G.
Définition - Théorème (34)
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