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Bull. Soc. math. France,
117, 1989, p. 415–444.
CONSTRUCTION ANALYTIQUE RIGIDE DE
VA R I ´ ET´ ES AB´ ELIENNES
PAR
Marius VAN DER PUT et Marc REVERSAT (*)
R´
ESUM´ E.—SoientRun anneau de valuation (non n´ecessairement discr`ete), Kson
corps des fractions, 0 →T→G→A→0 une extension d’un R-sch´ema ab´elien Apar
une tore Tsur Rd´eploy´eetΛ⊂G⊗RKun sous-groupe libre de rang le rang de T.
Si Λ est un r´eseau de G⊗RK(cf. (1.6)), alors (G⊗RK)/Λ est canoniquement muni
d’une structure de groupe analytique propre sur K. La partie principale de ce travail
consiste `a donner des conditions n´ecessaires et suffisantes pour que (G⊗RK)/Λsoit
une vari´et´eab´elienne.
ABSTRACT.—LetRbe a complete valuation ring (may be not discrete) and Kits
field of fraction. Let 0 →T→G→A→0 be an extension of an abelian R-scheme A
by a split R-torus and let Λ ⊂G⊗RKbe a free subgroup of rand = rk(T). If Λ
satisfies some other natural conditions (we say that Λ is a lattice in G⊗RK), then
(G⊗RK)/Λ is canonically a proper rigid analytic group over K. The main part of
this work is to give necessary and sufficient condition for (G⊗RK)/Λ to be an abelian
variety.
Introduction
Soit Λ un r´eseau de Cg, alors le tore analytique Cg/Λ est une vari´et´e
ab´elienne si et seulement si il existe une forme hermitienne H:Cg×Cg→
Cd´efinie positive telle que (im H)(Λ ×Λ) soit inclus dans Z(cf.[M1,
p. 35]).
Cette construction de vari´et´es ab´eliennes se g´en´eralise `alasituationo`u
le corps de base Kest complet pour une valeur absolue non archim´edienne.
Plusieurs r´esultats ont ´et´e obtenus, selon au moins deux points de vue :
(1) Soit Λ un r´eseau multiplicatif du tore alg´ebrique T=(K∗)g.Le
tore analytique rigide T/Λ est une vari´et´eab´elienne si et seulement si il
(*) Texte re¸cu le 19 septembre ,r´evis´ele12mai.
M. VAN DER PUT, Mathematick Instituut, Rijksuniversiteit, Postbus 800, 9700
Av. Groningen, Pays-Bas.
M. REVERSAT, Univ. Paul Sabatier, Math´ematiques, Bˆat. 1R2, 118 route de Narbonne,
31062 Toulouse Cedex, France.
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existe un homomorphisme ϕ:Λ→X(T), o`uX(T)d´esigne le groupe des
caract`eres de T,telquelaformeH:Λ×Λ→K∗,H(λ1,λ
2)=ϕ(λ1)(λ2),
soit sym´etrique et que la forme (λ1,λ
2)∈Λ×Λ→−log |H(λ1,λ 2)|∈R
soit d´efinie positive (cf. [G1] et [F–vdP1, p. 198]).
(2) Soit Run anneau nœth´erien, int`egre, complet pour la topologie
I-adique, o`uI=(0)estunid´eal de R.SoientKle corps des fractions
de R,Tun tore alg´ebrique d´eploy´esurRde rang get Λ ⊂T(K)un
sous-groupe libre de rang g. On suppose qu’il existe un homomorphisme
ϕ:Λ→X(T)(X(T)d´esigne le groupe des caract`eres de T)telquela
forme H:Λ×Λ→K∗,H(λ1,λ
2)=ϕ(λ1)(λ2), soit sym´etrique et que
H(λ, λ)∈Ipour tout λ∈Λ. Dans [M2], D. MUMFORD aconstruitun
sch´ema en groupes surR, qu’on notera (abusivement) “T/Λ”, tel que sa
fibre g´en´erique (“T/Λ”) ⊗RKsoit une vari´et´eab´elienne.
La construction (2) peut se r´esumer (en simplifiant) de la mani`ere
suivante. On construit `a partir du tore alg´ebrique Tsur Run sch´ema
formel Csur Rmuni d’une action discr`etedeΛ.Lesch´ema formel C/Λ
est alg´ebrisable et donne le sch´ema en groupe “T/Λ”. Lorsque Rest un
anneau de valuation discr`ete complet, le lien entre (1) et (2) est le suivant :
l’espace analytique rigide C⊗
RKsur K, associ´eausch´ema formel Cest
en fait l’espace analytique rigide Tan obtenu par analytification du tore
alg´ebrique T⊗RKsur Ket l’espace analytique (C/Λ) ⊗RKs’identifie `a
Tan/Λ, le quotient dans la cat´egorie des espaces analytiques de Tan par le
sous-groupe discret Λ. On voit que le point de vue (1) est plus restrictif
que (2), puisqu’on se limite au cas o`uRest un anneau de valuation et que
l’on ne construit que la fibre g´en´erique (“T/Λ”) ⊗RK. Cependant (1) a
l’avantage d’ˆetre ´el´ementaire, `a condition d’admettre quelques propri´et´es
des espaces analytiques, et sa d´emonstration est proche du cas complexe ;
en particulier la construction de l’espace analytique Tan/Λest´evidente
et il n’y a pas `a faire le choix d’un sch´ema formel C.
La construction suivante g´en´eralise (2).
(3) Soient Ret Kv´erifiant les hypoth`eses de (2). Soit Aun sch´ema
ab´elien sur Ret Gune extension de Apar un tore d´eploy´eTsur R.On
adoncunesuiteexactedesch´emas en groupes sur R
0−→ T−→ G−→ A−→ 0.
Soit Λ ⊂G(K) un sous-groupe libre de rang le rang de T.C.-L.C
HAI
([C, chapitre 2]) et G. FALTINGS ([F]) ont donn´e un ensemble de conditions
portant sur Λ et Gpermettant de construire un sch´ema en groupes “G/Λ”
sur R,telquesafibreg´en´erique “(G/Λ”) ⊗RKsoit une vari´et´eab´elienne
sur K.
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Le but de notre article est de donner la construction (3), lorsque le
corps Kest valu´e complet non-archim´edien, en termes d’espaces analy-
tiques rigides, c’est-`a-dire `alamani`ere de (1). Nous avons voulu simpli-
fier les conditions sur Λ et G, donner des d´emonstrations ´el´ementaires,
proches de celles de [M1, p. 35], [G1], et [F–vdP1, p. 198]. Signalons que
des ´enonc´es et des id´ees allant dans le sens de ce travail se trouvent depuis
longtemps dans [R].
On peut d´ecrire nos r´esultats principaux de la mani`ere suivante. Soient
Run anneau de valuation (non n´ecessairement discr`ete) complet, Kson
corps des fractions, Aun sch´ema ab´elien sur R,Gune extension de A
par un tore alg´ebrique Tsur R(on a donc une suite exacte 0 →T→
Gπ
→A→0), X(T)legroupedecaract`eres de T,τ:X(T)→Pic0(A)(R)
l’homomorphisme de groupes associ´e`aGet Λ un sous-groupe de G(K).
On a A(K)=A(R), d’o`u(laderni`ere fl`eche provient de −log |·|).
:G(K)−→ G(K)
G(R)
∼
−→ T(K)
T(R)
∼
−→ HomX(T),K∗/R∗−→ H omX(T),R.
On dit que le sous-groupe Λ de G(K)estunr´eseau si est injectif sur Λ
et si (Λ) est un r´eseau de Hom(X(T),R). Si Λ est un r´eseau de G(K),
(G⊗RK)/Λ est canoniquement muni d’une structure de groupe analytique
propre sur K(cf. (1.6.3)). Le TH´
EOR` EME (2.1) affirme que (G⊗RK)/Λ
est une vari´et´eab´elienne si et seulement si il existe ϕet Dposs´edant les
propri´et´es suivantes :
(i) ϕ:Λ→X(T) est un homomorphisme de groupe tel que la forme
sur Λ ×Λ,λ1,λ
2=(λ1)(ϕ(λ2)), soit sym´etrique d´efinie et positive ;
(ii) Dest un diviseur ample sur Atel que pour tout λ∈Λonait
τ(ϕ(λ)) = [π(λ)∗D−D]∈Pic0(A);
(iii) pour tout λ∈Λsoith(λ) la fonction rationnelle sur Gqui est
d´etermin´ee `a une constante multiplicative pr`es par les deux conditions
suivantes :
•le diviseur de h(λ)estλ∗π∗D−π∗D;
•h(λ)(tg)=ϕ(λ)(t)·h(λ)(g) pour tout t∈Tet g∈G;
alors, pour tout λ1,λ
2∈Λettoutg∈G
h(λ1)(λ2g)·[h(λ1)(g)]−1=h(λ2)(λ1g)·[h(λ2)(g)]−1.
Il apparaˆıt clairement `a la suite de notre ´enonc´equelavari´et´eab´elienne
(G⊗RK)/Λned´epend pas des choix de ϕet Dainsi que du choix des
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nombreux isomorphismes de faisceaux inversibles figurant dans [C] et [F]
puisque nous les avons supprim´es.
On peut formuler d’autres versions des assertions (i), (ii) et (iii), par
exemple : (G⊗RK)/Λ est une vari´et´eab´elienne si et seulement si il existe
un diviseur Dsur Atel que :
(iv) Dest ample et π(Λ) ∩Support(D)=∅;
(v) pour tout λ∈Λ il existe une fonction h(λ) rationnelle sur G,de
diviseur λ−1π∗D−π∗D, telle que h(λ)(1) = 1 ;
(vi) la forme H:Λ×Λ→K∗,H(λ1,λ
2)=h(λ1)(λ2) est bilin´eaire et
sym´etrique. Compos´ee avec −log |·|, elle donne une forme d´efinie positive.
Les outils analytiques utilis´es dans la d´emonstration de notre th´eo-
r`eme principal (TH´
EOR` EME (2.1)) figurent essentiellement dans les para-
graphes (1.4) — quelques r´esultats sur le groupe de Picard d’un espace
analytique — et (1.7) — une d´ecomposition de l’espace H0(G, Oπ∗D)sui-
vant le groupe des caract`eres X(T)deT.Notrem´ethode nous permet
´egalement d’obtenir diverses autres propri´et´es de G/ΛoudeA(para-
graphe 3), ou encore de donner une d´emonstration d’un r´esultat, inverse
du probl`eme pr´ec´edent, ´enonc´eparM.R
AYNAUD ([R, th´eor`eme 2]) se-
lonlequelsi(G⊗RK)Λ est une vari´et´eab´elienne et si A⊗RKest un
groupe analytique propre (une vari´et´eab´elo¨ıde) avec bonne r´eduction,
alors A⊗RKest une vari´et´eab´elienne (TH´
EOR` EME (3.5)).
Dans la suite de cet article, les lettres A,G,Tchangent de sens,
elles d´esignent les objets pr´ec´edents d´efinis sur K. Pour les notions
fondamentales de g´eom´etrie analytique rigide, nous renvoyons `a[B–G–R],
[G–vdP] et [F–vdP1].
1. Analyse rigide sur une extension
d’une vari´et´eab´elienne par un tore
(1.1) Notations.—SoientKun corps quelconque, A/K une vari´et´e
ab´elienne, Pic0(A)=Pic
0(A)(K) le groupe des classes d’isomorphismes
de faisceaux inversibles Lsur Atels que :
(i) Lest d´efini sur K;
(ii) a∗L∼
=Lpour tout point ade A.
Soient T/K un tore alg´ebrique d´eploy´e, X(T) son groupe de caract`eres
et τ:X(T)→Pic0(A) un homomorphisme de groupes.
A l’homomorphisme τon associe une extension de Apar T. C’est une
suiteexactedegroupesalg´ebriques commutatifs :
0−→ T−→ G−→ A−→ 0.
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On sait que l’ensemble des classes d’isomorphismes des extensions G
de Apar Td´efinies sur K, est isomorphe `aHomX(T),Pic0(A).
Dans le num´ero suivant on rappelle la construction de G`apartirde
l’homomorphisme τ.
(1.2) Construction de l’extension G(Rappels). — Pour tout
x∈X(T), on choisit un faisceau inversible Oxsur Atel que :
(i) τ(x) est la classe d’isomorphisme de Ox;
(ii) O0=OA;
(iii) Ox⊗OAOy=Ox+ypour tout x, y ∈X(T).
Alors x∈X(T)Oxest une alg`ebre quasi-coh´erente et commutative
sur A.Ond´efinit la vari´et´eGpar G=Spec(Ox)(cf. [H, p. 128,
ex. 5–17]). Soit π:G→Ale morphisme canonique. La fibre π−1({1A})
de l’´el´ement neutre 1Ade Aest ´egale `aSpecOx(1A),o`u l’on a ´ecrit
Ox(1A)=Ox,1A/mOx,1A,m´etant l’id´eal maximal de OA,1A.Dansla
fibre π−1({1A}) on choisit un point, not´e1
G. Ce point correspond `aun
homomorphisme de K-alg`ebres 1∗
G:Ox(1A)→K.
On ´ecrit ex∈O
x(1A)pourl’´el´ement unique tel que 1∗
G(ex)=1.
Alors Ox(1A)=XKexs’identifie `a l’alg`ebre affine O(T)deTet
en particulier exs’identifie au caract`ere x∈X(T).
Soit mAla multiplication de A. Il faut maintenant construire une
multiplication m:G×G→Gtelle que :
(i) le diagramme suivant soit commutatif
G×Gm
−−−−−→G
π×π
π
A×AmA −−−−−→A;
(ii) 1Gest l’´el´ement neutre de G;
(iii) la restriction de m`alafibreπ−1({1A}) est la loi de groupe de T.
De plus, il faut montrer que mest compl`etement d´etermin´e par (i), (ii)
et (iii).
On observe que le produit fibr´eG×A(A×A)est´egal `aSpec(m∗
AOx)
et que G×Gest ´egal `aSpec(xp∗
1Ox)⊗(yp∗ 2Oy)o`up1,p
2A×A→A
sont les deux projections.
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