Un mod`ele simple de formation d`étoiles

Un mod` ele simple de formation d’´ etoiles
[Exercice classique]
Un mod` ele simple d’´ etoile consiste ` a supposer que celle-ci est constitu´ ee d’une masse M0
d’atomes d’hydrog` ene, adoptant une configuration sph´ erique de rayon R` a un instant donn´ e, sans
rotation et ` a l’´ equilibre hydrostatique ` a tout instant. Pendant la formation de l’´ etoile, la masse
volumique µ(r), la pression p(r), et la temp´ erature T(r)internes sont suppos´ ees ne d´ ependre que
de la distance, r, au centre de l’´ etoile (sym´ etrie sph´ erique). C’est donc une mod´ elisation unidi-
mensionnelle.
A - Structure hydrostatique de l’´ etoile
A-1 - Exprimer la masse M(r)contenue ` a l’int´ erieur d’une sph` ere de rayon r(≤R) en fonc-
tion de la masse volumique µ(r).
A-2 - Exprimer le champ gravitationnel ~g(r)` a la distance ren fonction de la masse M(r).
A-3 - Etablir l’´ equation diff´ erentielle, traduisant l’´ equilibre hydrostatique de l’´ etoile, reliant
les fonctions p,µ, et de leurs d´ eriv´ ees, ` a une distance r.
A-4 - En supposant que l’hydrog` ene est un fluide incompressible, d´ eterminer la pression au
centre de l’´ etoile en fonction de M0et de R. En d´ eduire la temp´ erature au centre de l’´ etoile, en
assimilant l’hydrog` ene ` a un gaz parfait, en fonction de la masse d’un atome d’hydrog` ene mH, et
de la constante de Boltzmann k.
B - Formation de l’´ etoile
FIG. 1 – La n ´ ebuleuse d’Orion (M42) est un lieu de formation d’´ etoiles. Photo prise le 22 f´ evrier
2009 par le Hubble Space Telescope - NASA.
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La formation de l’´ etoile est suppos´ ee progressive, couche apr` es couche : la masse dM(r)
d’hydrog` ene constituant chaque couche sph´ erique comprise entre les rayons ret r+ drest ap-
port´ ee de fac¸on quasi-statique et isotrope depuis l’infini.
B-1 - Calculer le travail ´ el´ ementaire fourni par le processus pour former une couche sph´ erique
`
a la distance r. En d´ eduire l’expression du travail WG, appel´ e´ energie gravitationnelle de l’´ etoile,
qu’il faut fournir pour former l’´ etoile.
B-2 - En supposant que l’hydrog` ene est un fluide incompressible, d´ eterminer WG. En d´ eduire
l’´ energie rayonn´ ee pendant la dur´ ee du processus de formation.
B-3 - En supposant que l’hydrog` ene n’est plus un fluide incompressible, exprimer WGsous
forme d’une int´ egrale d´ ependant de la pression ` a l’int´ erieur de l’´ etoile. En d´ eduire WG, dans l’hy-
poth` ese o` u l’hydrog` ene est assimil´ e` a un gaz parfait de temp´ erature constante et uniforme dans
l’´ etoile. Comparer ce r´ esultat avec celui de la question pr´ ec´ edente.
C - Th´ eor` eme du Viriel
On consid` ere un syst` eme (Σ) born´ e et compos´ e de Nparticules, num´ erot´ ees par i∈J1, NK,
de masses miplac´ ees en ~riet de vitesse ~vipar rapport ` a un r´ ef´ erentiel galil´ een. Ces particules
sont soumises ` a un potentiel d’interaction not´ eVp(~r1, . . . ,~rN). On notera < f > la moyenne
temporelle d’une grandeur f.
C-1 - Montrer que l’´ energie cin´ etique de (Σ) peut se mettre sous la forme :
Ec=dΦ
dt−1 2
N
X
i=1
~rimi
d~vi
dt,
avec Φ, une fonction que l’on d´ eterminera. En d´ eduire que Φreste born´ ee, et calculer la moyenne
temporelle de dΦ/dt.
C-2 - D´ eterminer la moyenne temporelle de l’´ energie cin´ etique de (Σ), en fonction de la gran-
deur δwi=< ~ri·~ Fi>, avec ~ Fila force exerc´ ee sur la i-` eme particule par l’ensemble des autres
particules.
C-3 - On consid` ere que Vpest une fonction homog` ene de degr´ eqde ses 3Nvariables.
D´ eterminer qdans le cas de l’interaction gravitationnelle, puis dans le cas d’une interaction
´
elastique entre deux particules. Etablir le th´ eor` eme du Viriel, c’est-` a-dire une relation entre <
Ec>,< Vp>et q.
C-4 - En appliquant le th´ eor` eme du Viriel ;
(a) Retrouver l’expression de l’´ energie gravitationnelle de l’´ etoile.
(b) D´ eterminer ` a quelle condition la distance entre deux particules en interaction gravitationnelle
reste born´ ee.
D - Instabilit´ e thermodynamique
D-1 - En supposant que localement l’hydrog` ene est un gaz parfait, d´ eterminer la variation de
temp´ erature δT lorsque le rayon de l’´ etoile en effondrement diminue de δR. Exprimer alors la
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capacit´ e thermique ` a volume constant de l’´ etoile.
D-2 - On consid` ere un syst` eme isol´ e form´ e de deux ´ etoiles, dont le rayon est constant, d’´ energies
internes Ui, d’entropies Siet de temp´ erature Ti, avec i= 1 ou 2, respectivement pour chacune des
deux ´ etoiles. Montrer qu’` a l’´ equilibre thermodynamique, T1=T2. En d´ eduire que cet ´ equilibre
est thermodynamiquement instable.
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Correction
A-1 - La masse volumique s’´ ecrit
µ(r) = dM(r)
dV,
avec dV= 4 π r2dr, le volume infinit´ esimal d’une coquille d’´ epaisseur dr. On en d´ eduit
M(r)=4πZr
0
µ(r0)r02dr0.
A-2 - La r´ epartition de la masse ´ etant ` a sym´ etrie sph´ erique, l’intensit´ e du champ gravitationnel
ne peut d´ ependre que de la coordonn´ ee radiale r. De plus, le vecteur champ gravitationnel ~g(r)
appartient ` a l’intersection des plans de sym´ etrie du syst` eme de masses que repr´ esente l’´ etoile,
c’est-` a-dire ` a l’axe radial du point consid´ er´ e : on a donc ~g(r) = g(r)~er. Le th´ eor` eme de Gauss
s’applique alors facilement :
I(Σ)
~g(r)·d~ Σ = −4πGM(r),
avec (Σ) une sph` ere de rayon r. Comme d~ Σ = r2sin θdθdϕ ~er, on obtient
~g(r) = −GM(r)
r2~er.
A-3 - D’apr` es l’´ equation d’Euler, on peut ´ ecrire
µ(r)ï∂~v
∂t + (~v ·~
∇)·~vò=−~ ∇p(r) + µ(r)~g(r).
Le fluide ´ etant suppos´ e en ´ equilibre hydrostatique, le terme de gauche de cette ´ equation est nul.
On a donc
dp(r)
dr=−µ(r)GM(r) r2.
A-4 - Le fluide ´ etant incompressible, sa masse volumique reste constante et vaut 3M(r)/(4π r3).
En int´ egrant la relation obtenue ` a la question pr´ ec´ edente,
ZR
0
dp(r)
drdr=−µGZR
0
4π
3µ r dr ,
c’est-` a-dire, comme la pression est nulle ` a la surface de l’´ etoile (p(R)=0),
p(0) = 3GM2
0
8π R4.
En assimilant l’hydrog` ene ` a un gaz parfait au centre de l’´ etoile, on a
p(0) V=N k Tc,
ou encore,
p(0) = (µ/mH)k Tc,
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avec N, le nombre d’atomes d’hydrog` ene, et Tc, la temp´ erature au centre de l’´ etoile. En remplac¸ant
par les expressions obtenues pr´ ec´ edemment, on obtient
Tc=GM0mH
2k R .
B-1 - A la distance r0, la couche de masse dM(r)subit la force gravitationnelle d~ F, telle que
d~ F= dM(r)~g(r0).
Le travail ´ el´ ementaire fourni par le processus d’attraction gravitationnelle, lorsque cette couche
se d´ eplace de d~r0, s’´ ecrit
δ2W= d ~ F·d~r0=GM(r)dM(r)
r02dr0.
Le travail ´ el´ ementaire pour faire venir la couche de mati` ere depuis l’infini jusqu’` a la distance r
est donc
δW (r) = GM(r) dM(r)Z+∞
r
dr0
r02=GM(r)dM(r) r.
Pour former l’´ etoile de fac¸on quasi-statique, un processus doit, ` a chaque instant, retenir la couche
de masse dM(r)afin que son ´ energie cin´ etique reste quasi-nulle : le travail ´ el´ ementaire fourni
par ce processus doit donc ˆ etre exactement l’oppos´ e du travail fourni par le processus d’attrac-
tion gravitationnelle. Ainsi, le travail total pour former l’´ etoile, ou ´ energie gravitationnelle, est
simplement
WG=ZR
0
−δW (r) = ZR
0
GM(r)dM(r)
r.
B-2 - Si l’hydrog` ene est suppos´ eˆ etre un fluide incompressible alors M(r) = 4π µ r3/3 =
M0(r/R)3, ce qui implique, dM(r) = 3M0r2dr
R3. On peut int´
egrer l’expression de WG:
WG=−3GM2
0
R6ZR
0
r4dr=−3GM2
0
5R.
L’´ energie rayonn´ ee par l’´ etoile, not´ ee Wr, est telle que Wr+WG= 0, c’est-` a-dire,
Wr=3GM2
0
5R.
B-3 - La masse volumique n’´ etant plus constante, on a, d’apr` es la question A-3,
WG=−ZR
0
GM(r) dM(r)
r=ZR
0
dp
dr4π r3dr .
Une int´ egration par parties donne
WG=−3ZR
0
p(r) 4 π r2dr .
Dans l’hypoth` ese d’un gaz parfait de temp´ erature constante et uniforme, si l’on remplace p(r)par
N k T/V , comme dans la question A-4, on trouve
WG=−3M0k T
mH
.
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