Cours : les bases de la mécanique de Newton

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Les bases de la mécanique de Newton
Isaac Newton (1642-1727)
Le mouvement d’un objet est caractérisé par la trajectoire et la vitesse instantanée de cet objet.
Il convient donc, avant toute étude de mouvement, de définir un repère spatial pour étudier
la trajectoire et un repère temporel pour pouvoir mesurer la vitesse de l’objet.
L’ouvrage majeur de Newton : « Principes mathématiques de philosophie naturelle », 1686.
I-
Repérage dans l'espace et dans le temps
1.
Notion de système mécanique
Avant toute étude de mouvement, il est indispensable de définir le système considéré : on appelle système un
objet ou un ensemble d'objets que l'on distingue de son environnement.
Un système est dit « indéformable » si la distance entre deux points quelconques du système reste
constante au cours du temps. On l'appelle alors solide.
Un système est dit « déformable » s'il possède des points dont la distance varie au cours du temps.
2.
Référentiels
La notion de mouvement n'a de sens que si elle est définie par rapport à un observateur de ce mouvement :
c'est le « référentiel », ou « solide de référence ».
a/ Référentiel terrestre
On appellera référentiel terrestre tout observateur lié à la surface de la Terre. La surface terrestre est ellemême immobile dans ce référentiel.
b/ Référentiel géocentrique
Le centre de la Terre est le référentiel. La Terre tourne alors sur elle-même.
c/ Référentiel héliocentrique (ou référentiel de Copernic)
Le centre du Soleil est le référentiel. La Terre décrit alors une ellipse par rapport au référentiel, c’est son
mouvement de révolution autour du Soleil.
3.
Repère spatial
Pour faire l'analyse mathématique d'un mouvement, on rattache au référentiel un système d'axes orthonormés
fixes : c'est le repère, noté (R).
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Il est constitué d'une origine O fixe par
rapport au référentiel, et d’un système de
r r
r r r
vecteurs ( i ; j ) dans le plan ou ( i ; j; k ) dans
rr
l'espace. On note le repère R (O; i ; j ) ou
rr r
R (O; i ; j; k ) .
Trajectoire d'un objet dans le plan
y
G
yM
r
j
x
O
r
i
xM
On repère généralement la trajectoire d’un solide par celle de son centre de gravité G. Le centre de gravité
(ou centre de masse, ou encore d’inertie) est le barycentre du système considéré relatif à la masse.
La position du point G en mouvement est définie soit par ses coordonnées G (x ; y; z) , soit par son vecteur
r r r
position : OG = x i + y j + kz
Le « Repère de Copernic » est un repère défini par son origine, placée au centre du Soleil, et ses axes définis
par la position d’étoiles fixes. Tout repère immobile ou en mouvement rectiligne uniforme dans le repère de
Copernic sera nommé par définition « repère de Galilée » ou « repère galiléen ».
4.
Repère temporel
Un mouvement est un changement au cours du temps. Il convient donc pour étudier le mouvement de fixer
un instant origine (t0), et une unité de durée : l’instant origine est choisi arbitrairement : en général, c’est le
début du mouvement. La durée est la seconde dans le SI.
Remarques
La date d'un évènement est fixée par rapport à l'origine, elle peut être positive ou négative.
Par exemple, 250 avant J.C correspond à –250.
La durée d'un évènement est la différence entre deux dates. Elle est toujours positive ou nulle : ∆t = tf – ti
II -
Vecteur vitesse
1.
Définition de la vitesse
On appelle vitesse instantanée d’un mobile sa vitesse moyenne entre deux positions tellement rapprochées
que la vitesse ne varie pas entre elles.
On assimile la vitesse instantanée au point M, instant t, à la vitesse moyenne entre les points M’ et M’’ très
rapprochés de M (instants t’ et t’’).
M’’
M
On exprime alors cette vitesse par la relation :
v( t ) =
M ′M′′
t ′′ − t′
t
M’
t’’
t’
Cette vitesse sera d’autant plus instantanée que l’intervalle de temps (t’’ - t’) entre les deux positions sera
réduit. En passant à la limite, la vitesse instantanée de l’objet est donc la dérivée de sa position par rapport au
temps.
Remarque
si la vitesse instantanée reste constante, on dira que le mouvement est « uniforme ».
si cette vitesse instantanée augmente, le mouvement sera « accéléré ».
si elle diminue, le mouvement est alors « décéléré ».
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2.
Vecteur vitesse
r
Nous définirons la vitesse d’un point mobile à un instant donné par un vecteur vitesse, noté v ( t ) , dont les
caractéristiques sont :
une direction, tangente à la trajectoire.
un sens, celui du mouvement à l’instant t.
une norme, égale à la vitesse instantanée du point à l’instant t.
On a vu que la vitesse correspondait à la dérivée de la position par rapport au temps :
r r r
OG = x i + y j + zk
r
dx r dy r dz r d OG
vG (t) =
i+
j+ k =
dt
dt
dt
dt
donc
Remarque
Les méthodes pratiques de tracés de vecteurs vitesses sont revues dans le TP n°8.
III - Vecteur accélération
1.
Définition de l’accélération
On définit l’accélération comme la variation de vitesse d’un système entre deux instants. Entre deux instants
t’ et t’’ où le système passe respectivement aux vitesses v’ et v’’, son accélération moyenne est donc :
a m (t) =
v ′′( t ) − v ′( t )
t ′′ − t ′
L’accélération sera exprimée en m.s-2.
Dans le cas de positions très rapprochées, l’accélération instantanée sera donnée par la limite de cette
accélération moyenne lorsque ∆t tend vers 0. L’accélération est donc égale à la dérivée de la vitesse par
rapport au temps :
a G (t) =
2.
dv G ( t )
dt
Vecteur accélération
Le vecteur accélération d’un point mobile G à un instant donné sera défini par :
r
r
dv G ( t )
a G (t) =
dt
Sous forme vectorielle :
donc
dv x ( t )
= v ′x ( t )
dt
dv ( t )
a y ( t ) = y = v ′y ( t )
dt
dv ( t )
a z (t) = z
= v ′z ( t )
dt
a x (t) =
r
r
r
r
a ( t ) = v 'x ( t ) i + v 'y ( t ) j + v 'z ( t )k
Remarque
Les méthodes pratiques de tracés de vecteurs accélérations sont vues dans le TP n°8.
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3.
Caractéristiques du vecteur accélération
Le vecteur accélération sera colinéaire au vecteur vitesse uniquement pour des mouvements rectilignes (TP
n°8, enregistrement n°3). Dans le cas de mouvements curvilignes (TP n°8, enregistrements n°1 et n°2), le
vecteur accélération ne sera pas colinéaire au vecteur vitesse. On le décomposera alors souvent en deux
r
r
composantes dîtes tangentielle et normale, notées a T ( t ) et a N ( t ) .
r
r
r
a(t) = a T (t) + a N (t)
La composante tangentielle de l’accélération sera alors colinéaire à la vitesse alors que la composante
normale lui sera perpendiculaire.
la composante tangentielle pourra être dans le même sens que le vecteur vitesse, ce qui signifie que le
point considéré accélère ou dans le sens opposé au vecteur vitesse, ce qui signifie que le point considéré
décélère.
la composante normale implique un changement de direction du vecteur vitesse sans changement de la
valeur de la vitesse.
IV - Les lois de Newton
1.
Première loi ou « principe d’inertie »
Dans un référentiel Galiléen :
si le vecteur vitesse du centre de gravité d’un système mécanique ne varie pas, alors la somme des forces
extérieures appliquées à ce système est nulle.
réciproquement, si la somme des forces extérieures appliquées à un système mécanique est nulle, alors le
vecteur vitesse de son centre de gravité ne varie pas.
r
∑F
ext
r
=0
⇔
r
v G = cte
Remarque
Il y a variation du vecteur vitesse s’il y a changement de vitesse ou de direction, ou des deux.
2.
Deuxième loi ou « théorème du centre d’inertie »
r
On a montré (TP n°8) que la variation du vecteur vitesse ∆v était à chaque instant colinéaire à la somme des
forces extérieures appliquées au système. Or la variation du vecteur vitesse par rapport au temps est par
définition l’accélération.
r
On a vérifié en outre que le produit m × a était constant égal à la somme des forces (TP n°9).
r
m × aG =
Ainsi, dans un référentiel galiléen :
r
∑F
ext
Remarques
le principe d’inertie n’est qu’un cas particulier du théorème du centre d’inertie :
r
m.a G =
r
∑F
ext
r
r
r
r
r
= 0 alors a G = 0 donc v G = c t e
r
r
r
r
r
r
dv G r
si v G = c t e alors a G =
= 0 donc
Fext = 0
dt
r
si
∑F
ext
∑
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Par projection sur les trois axes d’un repère :
r
m.a x =
r
∑F
x
r
m.a y =
r
∑F
y
r
m.a z =
r
∑F
z
Dans le cas où la somme des forces extérieures appliquées au système est constante, l’accélération est
aussi constante : on parle alors de mouvement uniformément accéléré.
3.
Troisième loi ou « principe des actions réciproques »
r
Soient deux systèmes mécaniques A et B en interaction. On appelle FA / B la force exercée par le système A
r
sur le système B, et FB / A la force exercée par B sur A :
r
r
A chaque instant et dans toutes conditions :
FA / B = − FB / A
Remarque
r
r
Attention, les forces FA / B et FB / A ne sont pas appliquées au même système mécanique.
V-
Etude de la chute « libre » dans un champ de pesanteur uniforme
1.
Définition de la chute « libre »
Un solide en chute verticale dans un fluide (gaz ou liquide) est soumis à trois forces :
Le poids, force d’attraction exercée par la Terre sur le solide.
La poussée d’Archimède, exercée par le fluide sur le solide.
Une force de frottement fluide, exercée par le fluide sur le solide.
La chute est qualifiée de « libre » lorsque le fluide n’a pas d’influence sur le système en chute, donc lorsque
la pousse d’Archimède et les forces de frottement sont nulles. Le système n’est alors soumis qu’au poids que
la Terre exerce sur lui.
2.
Notion de champ de pesanteur
Nous savons que deux corps matériels A et B de masses mA et mB dont les centres de gravité sont distants
d’une distance d exercent une interaction réciproque d’intensité :
r
r
m m
FA / B = FB / A = G × A 2 B
d
Tout objet lâché au voisinage de la Terre est attiré par celle-ci. La force d’attraction de la Terre sur l’objet est
appelée force de pesanteur, ou encore poids de l’objet.
En considérant la Terre comme un objet à répartition de masse sphérique, on peut l’assimiler à un point
matériel (son centre) où serait concentrée toute sa masse. On peut donc définir le poids d’un objet O de
masse m situé à une altitude z de la Terre par :
r
M ×m
P = G× T 2
(R + z)
avec
P en Newton (N)
MT et m en kilogramme (kg)
R et z en mètres (m)
G = 6,67.10-11 SI est la constante de gravitation universelle
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En posant alors g =
GM T
on retrouve l’expression du poids : P = m × g
( R + z)2
Application numérique : g =
GM T
6,67.10 −11 × 5,98.1024
=
= 9,80 N.kg −1
2
3
2
(R + z)
(6380.10 + 0)
Le poids ayant toujours la direction et le sens du centre de gravité de la Terre, on définit un vecteur unitaire
r
u porté par la droite (OT) et dirigé vers le centre T de la Terre. On peut alors exprimer g comme vecteur :
r
g=G
MT r
u
( R + z)2
r
r
Le vecteur g dépend de la position du point objet O, puisque son altitude z et le vecteur u interviennent
dans son expression. Il définit donc un champ de vecteur qu’on appellera « champ de pesanteur ». Un champ
représente une grandeur définie en chaque point de l’espace.
Remarques
Le champ de pesanteur ou champ gravitationnel de la Terre varie très peu à sa surface puisque
l’altitude z est toujours faible devant le rayon RT de la Terre. En revanche, pour de hautes altitudes
(satellites), g sera plus faible que sur Terre puisque g diminue avec l’altitude.
g est légèrement plus faible à l’équateur (9,78) qu’aux pôles (9,83) étant donné que la Terre est
légèrement aplatie aux pôles (Rpôles < Réquateur). Pour des petits déplacements situés à la surface de la
Terre, nous pourrons considérer le champ de pesanteur terrestre comme uniforme (g constant de valeur
9,8 N.kg-1).
3.
Etude dynamique de la chute libre
rr r
r
Soit un solide en chute libre dans un repère (O; i ; j; k ) tel que (O; k ) est vertical vers le haut. A l’instant
initial t = 0, le mobile est lâché sans vitesse initiale ( v 0 = 0) .
Système considéré : le solide assimilé à son centre de gravité.
Référentiel d’étude : le référentiel terrestre, assimilable à un galiléen pour une chute courte (qq secondes).
Bilan des forces : le système n’est soumis qu’à son poids (force d’attraction exercée par la Terre) s’il est en
chute libre.
Relation fondamentale de la dynamique (2ème loi de Newton) :
∑F
ext
= m×a
or
∑F
ext
=P
donc
m×a = m×g
et
a = g = −g k
L’accélération du centre de gravité du mobile est égale à l’intensité de la pesanteur. C’est la raison pour
laquelle on parle souvent pour g d’accélération de la pesanteur et pourquoi on l’exprime indifféremment en
N.kg-1 ou en m.s-2. La masse n’intervient pas dans la chute libre donc tous les objets tombent à la même
vitesse en chute « libre ».
Expression de la vitesse du solide
En projetant sur les trois axes, on obtient :
ax =
dv x
=0
dt
ay =
dv y
dt
=0
az =
dv z
=− g
dt
Si le repère est galiléen, il est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme dans un repère galiléen, ce qui
implique que ces vecteurs i , j et k restent constants au cours du temps : on peut alors intégrer coordonnée
par coordonnée.
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Suivant (Ox) :
Suivant (Oy) :
Suivant (Oz) :
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dv x
=0
dt
⇔
v x = cte = v x ( t =0 ) = 0
dv y
⇔
v y = cte = v y ( t =0 ) = 0
dt
=0
dv z
=− g
dt
⇔
r
r
v G = − gt k
v z = − gt + v z ( t =0 ) = − gt
Remarque
r
Si le solide possède une vitesse initiale v0 suivant l’axe (O; k ) , sa vitesse suivant cet axe est alors :
v z = − gt + v 0
Expression de la position du solide
vx =
dx
=0
dt
vy =
dy
=0
dt
Suivant (Ox) :
dx
=0
dt
⇔
x = x0 = 0
Suivant (Oy) :
dy
=0
dt
⇔
y = y0 = 0
Suivant (Oz) :
dz
= − gt
dt
⇔
vz =
dz
= − gt
dt
r
1
OG = − gt 2 k
2
1
1
z = − gt 2 + z 0 = − gt 2
2
2
Cette équation est appelée « équation horaire » du mouvement de chute libre.
r
Remarque : si le solide possède une vitesse initiale v0 et une position z0 initiale suivant l’axe (O; k ) , sa
1
position suivant cet axe est alors : z ( t ) = − gt 2 + v 0 t + z 0
2
VI - Etude de mouvements paraboliques dans un champ de pesanteur uniforme
Soit un projectile de masse m lancé dans l’air. La vitesse initiale que lui communique le lanceur est
r
représentée par un vecteur v 0 .
Etude dynamique
z
Notre système d’étude est le projectile. Les dimensions de sa
trajectoire étant petites, et son temps de mouvement court, on
r
pourra considérer le champ de pesanteur g comme uniforme et le
référentiel terrestre comme galiléen durant l’expérience.
v0z
v0
Repère d’étude
rr r
r
Soit un repère (O; i ; j; k ) tel que (O; k ) est vertical vers le haut et
r r
r
le vecteur v 0 dans le plan ( i ; k ) .
A l’instant initial, le projectile est à l’origine du repère (G0 = O) et
r
sa vitesse initiale est v 0 ( v 0 x ; 0 ; v 0 z )
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k
i
x
y
j
v0x
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Bilan des forces extérieures appliquées au solide
Les forces exercées sur le projectile sont le poids exercé par la Terre, la poussée d’Archimède et une force de
frottement fluide exercée par l’air. En première approximation, nous pouvons négliger l’influence de l’air, et
considérer le poids comme seule force exercée sur le système. Ce cas revient alors à une « chute libre avec
vitesse initiale ». L’étude menée dans la TP n°10 montre que cette approximation est tout à fait justifiée pour
de faibles vitesses du projectile.
Expression de la vitesse du projectile
D’après le théorème du centre de gravité (2ème loi) :
∑
r
r
r
r
Fext = P = m × g = m × a G = − mg . k
d'où
dv x
=0
dt
⇔
v x = v 0x
dv y
⇔
v y = v 0y = 0
dt
=0
dv z
=− g
dt
⇔
v z = − gt + v 0 z
Le vecteur vitesse est constant suivant (Ox), n’a pas de composante suivant (Oy) et a la même valeur suivant
(Oz) que pour tout objet en chute libre.
Equations horaires du mouvement
x( t ) = v 0x t + x 0 = v 0x t
En intégrant encore :
y( t ) = y 0 = 0
1
1
z ( t ) = − gt 2 + v 0 z t + z 0 = − gt 2 + v 0 z t
2
2
Remarques
Le mouvement du projectile n’a pas de composante suivant l’axe (Oy). Il s’agit donc d’un mouvement
r r
plan, dans le plan vertical ( i ; k ) .
z(t) ne peut pas être négative puisqu’à z(t) = 0, le projectile touche le sol. On peut donc ainsi calculer à
quel instant ts le projectile va retomber au sol :
1
0 = − gt s2 + v 0 z t s
2
⇔
1 2
gt s = v 0 z t s
2
⇔
1
gt s = v 0 z
2
⇔
ts =
2 v 0z
g
La distance parcourue suivant (Ox) à l’instant où le projectile retombe est appelé « portée du tir » :
v v
x s = v 0 x t s = 2 0 x 0z
g
De la même manière, on peut déterminer l’altitude maximale zmax que va atteindre le projectile
puisqu’au sommet de sa trajectoire, sa vitesse verticale s’annule : vzmax = 0
0 = − gt max + v 0 z
Altitude maximale : z max
1
=− g
2
2
 v 0z 

 + v 0 z
 g 
⇔
t max =
v 0z
g
2
2
 v 0 z  v Oz
 1  1 v Oz

 =
 − + 1 =
g  2  2 g
 g 
Elle est atteinte au milieu de la trajectoire puisque :
x max = v 0 x t max = v 0 x
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v 0z v 0 x v 0z 1
=
= xs
g
g
2
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4.
Equation de la trajectoire
L’équation de la trajectoire exprime une coordonnée en fonction d’une autre en s’affranchissant de la
variable temporelle :
x ( t ) = v Ox t
donc
⇔
z( x ) = −
x(t)
t=
v 0x
d’où
1
1
z ( t ) = − gt 2 + v 0 z t = − g
2
2
2
 x( t) 
x( t)

 + v 0 z
v 0x
 v 0x 
1 g 2 v 0z
x +
x
2 v 0x 2
v 0x
Cette expression est du type « y = ax2 + bx + c » donc la trajectoire est donc une portion de parabole.
Remarques
La trajectoire du projectile est entièrement définie à partir des conditions initiales puisque le champ de
pesanteur (et donc l’accélération du centre de gravité du ballon) est uniforme pendant le mouvement.
On peut exprimer les coordonnées v0x et v0z du ballon en fonction de la norme de sa vitesse initiale v0
r
et de l’angle que fait le vecteur v 0 avec l’axe (Ox) :
v0x = v0 cos α
et
v0z = v0 sin α
Si le projectile n’est pas lancé depuis l’origine du repère mais depuis une hauteur z0 = h, l’équation
1 g 2 v 0z
1
horaire suivant z est z ( t ) = − gt 2 + v 0 z t + h et l’équation du mouvement z ( x ) = −
x +
x+h.
2 v 0x 2
v 0x
2
D’excellentes simulations sur les lancés de projectiles peuvent être consultées sur le site de M.
Gastebois : http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/balistique/balistique.htm
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