Fonctions - Faculté des Sciences de Rabat

Universit´e Mohammed V - Agdal
Facult´e des Sciences
D´epartement de Math´ematiques et Informatique
Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014
Rabat, Maroc
Fili`ere DEUG :
Sciences Math´ematiques et Informatique (SMI)
et
Sciences Math´ematiques (SM)
Module Math´ematiques I
NOTES DE COURS D’ANALYSE I
Chapitre II : Fonctions r´eelles `a une variable r´eelle
Par
Sa¨ıd EL HAJJI
Email : elha[email protected]
&
Touria GHEMIRES
Email ghemires:@fsr.ac.ma
Groupe d’Analyse Num´erique et Optimisation
Page web : http://www.fsr.ac.ma/ANO/
Ann´ee 2005-2006
1

TABLE DES MATIERES
1 Fonctions r´eelles `a une variable r´eelle et th´eor`emes de base 3
1.1 Rappels ........................................ 3
1.2 Limites......................................... 4
1.2.1 D´efinition et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Limites `a droite et limites `a gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Limites `a l’infini et limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Continuit´e et th´eor`eme des valeurs interm´ediaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 D´efinitions et Notations: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 D´eriv´ees et th´eor`eme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 D´efinitions et Notations: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.2 Op´erations sur les d´eriv´ees : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.3 Th´eor`eme de Rolle et applications: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.4 Th´eor`eme des accroissements finis: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 D´eriv´ees d’ordre sup´erieur et r`egle de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1 D´eriv´ees d’ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2 R`egledel’Hospital .............................. 16
1.6 FormuledeTaylor................................... 18
1.6.1 Formules de Taylor et Mac-Laurin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.2 Exemples:................................... 21
1.6.3 Application de la Formule de Taylor au Calcul num´erique : . . . . . . . . 22
1.7 Fonctions R´eciproques (ou inverses) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7.1 Rappels: ................................... 24
1.7.2 Exemples de fonctions r´eciproques ..................... 25
1.8 Fonctionshyperboliques ............................... 27
1.8.1 D´efinitions................................... 27
1.8.2 Fonctionr´eciproque.............................. 28
1.8.3 Formulaire................................... 29
2

Chapitre 1
Fonctions r´eelles `a une variable r´eelle
et th´eor`emes de base
On suppose f:Df−→ Rune fonction r´eelle d’une variable r´eelle et de domaine de d´efinition
Df⊂R.
On rappelle que f(Df) = {y∈R,∃x∈Dfavec y =f(x)}est l’image de Dfpar f.
1.1 Rappels
D´efinition (Graphe d’une fonction):On appelle graphe de f, l’ensemble des couples (x, f(x))
o`u x∈Df.
Dans un plan rapport´e `a un rep`ere (o,~ i,~ j) (g´en´eralement orthonorm´e). Les points M(x, f(x))
avec x∈Dfconstituent la courbe repr´esentative de f, not´e Cf={M(x, f (x)) : x∈Df}.
D´efinition (P´eriodicit´e):
fest dite p´eriodique s’il existe T > 0 tel que:
i)∀x∈Df,(x+T)∈Df
ii)f(x) = f(x+T)
On dit que Test une p´eriode de f.
Remarque :
Si fest de p´eriode Talors ∀n∈N: (x+nT )∈Df, f(x+nT ) = f(x)
D´efinition (Parit´e) : On suppose que Dfadmet 0pour centre de sym´etrie
i) fest dite paire si ∀x∈Df., (−x)∈Dfet f(−x) = f(x)
ii) fest dite impaire si ∀x∈Df., (−x)∈Dfet f(−x) = −f(x).
D´efinition (axe de sym´etrie):
i) On dit que la fonction fest sym´etrique par rapport `a l’axe vertical x=a, si:
∀x∈Df,(a−x)∈Df,(a+x)∈Df,et f(a−x) = f(a+x).
ii) On dit que la fonction fest sym´etrique par rapport au point M(a, f(a)), si:
∀x∈Df,(a−x)∈Df,(a+x)∈Dfet f(a+x) + f(a−x) = 2f(a).
Remarque :
Si la fonction fest paire, impaire, p´eriodique ou poss`ede un axe ou un point de sym´etrie,
on peut r´eduire le domaine de d´efinition de f`a un domaine plus petit.
1S. EL HAJJI et T. GHEMIRES
3

Exemple :
Soit f(x) = sin(x). On a Df=R,
fest p´eriodique et de p´eriode 2π⇒DE= [−π, π].
fest impaire, donc le domaine d’´etude de fse ram`ene `a DE= [0, π]
D´efinition (Fonctions born´ees) :
i) fest dite major´ee (resp. minor´ee) sif(Df) est une partie major´ee (resp. minor´ee) de
R
ii) fest dite born´ee si f(Df) est une partie born´ee de R
Exemples:
1) f(x) = sin(x); fest born´ee car ∀x∈R:−1≤f(x)≤1
2) f(x) = exest non born´ee, mais elle est minor´ee par 0 : .car ∀x∈R,0≤ex.
Remarque:
L’image d’une partie born´ee par une application n’est pas forc´ement born´ee.
En effet si on prend : f(x) = 1
x,si x∈]0,1]
on a f:]0,1] −→ Rmais f(]0,1]) n’est pas born´ee.
1.2 Limites
1.2.1 D´efinition et propri´et´es
Pour x0∈R, un intervalle ouvert de la forme ]x0−α, x0+α[, o`u α > 0,est appel´e voisinage
de x0.Un voisinage de x0sera not´e V(x0).Dans toute la suite on suppose queDfcontient un
voisinage de x0,sauf ´eventuellement x0(c’est `a dire: V(x0)\{x0} ⊂ Df).
D´efinition.
On dit que fposs`ede une limite lau point x0,si
∀ε > 0,∃ηε>0; ∀x∈ V(x0)\{x0},|x−x0|< ηε=⇒ |f(x)−l| ≤ ε
On ´ecrit alors lim
x→x0
f(x) = lou f(x)→
x→x0
l.
Remarque: D’apr`es la d´efinition on a:
lim
x→x0
f(x) = l⇐⇒(∀V(l) voisinage de l,∃V(x0) voisinagede x0tel que:x∈ V(x0)\{x0}=⇒
f(x)∈ V(l))
Th´eor`eme 1: (Unicit´e de la limite): S’il existe l∈Rtel que lim
x→x0
f(x) = l, alors lest unique.
D´emonstration:
Supposons que l1= lim
x→x0
f(x) et l2= lim
x→x0
f(x) avec l16=l2.
Soit εtel que: 0 < ε < |l1−l2|
2; d’apr`es la d´efiunition de la limite ∃ηε>0 tel que:
∀x∈ V(x0)r{x0},|x−x0|< ηε=⇒(|f(x)−l1|< ε et |f(x)−l2|< ε)
=⇒ |l1−l2| ≤ |l1−f(x)|+|f(x)−l2|<2ε=|l1−l2|; d’o`u la contradiction et alors l1=l2.
Proposition 1
Si fadmet une limite len x0alors fest born´ee au voisinage de x0
Proposition 2 (lien entre suite et limite)On a l’´equivalence suivante:
lim
x→x0
f(x) = l
m
pour toute suite(un)n⊂ V(x0)\{x0}qui converge vers x0,on a : lim
n→+∞f(un) = l
4

D´emonstration:
⇒) lim
x→x0
f(x) = l⇐⇒ ∀ε > 0,∃ηε>0; ∀x∈ V(x0)\{x0},|x−x0|< ηε=⇒ |f(x)−l|< ε
Or lim
n→+∞un=x0et ηε>0 =⇒ ∃N∈Ntel que ∀n≥N,|un−x0|< ηε.
Donc on a: ∀ε > 0,∃N∈N,∀n≥N, |f(un)−l|< 
ce qui est ´equivalent `a lim
n→+∞f(un) = l.
⇐=)Supposons que pour toute suite (un)n: ( lim
n→+∞un=x0.=⇒lim n→+∞f(un) = l).
Si fne poss`ede pas la limite lau point x0,on aura:
∃ε > 0,tel que∀η > 0,∃x∈ V(x0)\{x0},|x−x0|< η et |f(x)−l|> ε.
Donc pour tout entier n, ∃un∈ V(x0)\{x0},|un−x0|<1
n+1 et |f(un)−l|> ε.
=⇒lim
n→+∞un=x0et (f(un))nne converge pas vers l. Ce qui est absurde et lim n→+∞f(un) = l.
Exemple :
Si f(x) = sin(1
x) alors lim
x→0f(x) n’existe pas. En effet pour
xn=1
2nπ →0ona:f(xn) = sin(2nπ) = 0
yn=1
2nπ+π
2→0,on a : f(yn) = sin(2nπ +π
2) = 1
Proposition 3(Op´eration sur les limites)
Si lim
x→x0
f(x) = let lim
x→x0
g(x) = l0alors
1) lim
x→x0
[f(x) + g(x)] = l+l0
2) lim
x→x0
[f(x)−g(x)] = l−l0
3) lim
x→x0|f(x)|=|l|
4) lim
x→x0
[f(x).g(x)] = l.l0
5) si de plus, l06= 0 et g6= 0 dans V(x0), lim
x→x0
f(x)
g(x)=l l0
6) (f≥g) =⇒(l≥l0)
7) (f≤h≤g) =⇒(l≤lim
x→x0
h(x)≤l0).
Exemple :
f(x) = (x2+1)2+2x2
x4=⇒lim
x→0f(x) = 1
Comme 0 ≤
xcos 1
x
≤ |x|et lim
x→0|x|= 0,on a lim x→0(xcos 1
x) = 0.
g(x) = 3 + xcos 1
x=⇒lim
x→0g(x) = 3 + lim x→x0
(xcos 1
x) = 3
donc lim
x→0[f(x) + g(x)] = 4,lim x→0[f(x)g(x)] = 3 ,lim x→0
f(x)
g(x)=1 3
1.2.2 Limites `a droite et limites `a gauche
D´efinition
1) On dit que fadmet une limite `a droite lau point x0si:
∀ε > 0,∃ηε>0,∀x∈ V(x0), x0< x < x0+ηε=⇒ |f(x)−l|< ε
On note lim
x→x+
0
f(x) = lou lim
x→x0
x>x0
f(x) = l
2) On dit que fadmet une limite `a gauche lau point x0si:
∀ε > 0,∃ηε>0,∀x∈ V(x0), x0−ηε< x < x0=⇒ |f(x)−l|< ε
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