Solides PE2

Solides
(D’après « Donner du sens aux mathématiques, Tome 1 Espace et Géométrie » Bordas)
Quelques définitions
En géométrie, on appelle solide toute figure indéformable à 3 dimensions, limitée par une surface fermée.
Il existe deux types de solides : les polyèdres délimités par une surface uniquement composée de
polygones, et les non polyèdres. Un non polyèdre est un solide dont l’une, au moins, des parties de la
surface le constituant n’est pas un polygone.
Exemples : Le cube est un polyèdre. Il est délimité par des carrés. Le cône de révolution n’est pas un
polyèdre. Il n’est pas délimité par des polygones. De même, la surface d’un cylindre de révolution
comportant des disques, le cylindre n’est pas un polyèdre.
Les polyèdres
Les polygones délimitant le polyèdre sont appelés les faces du polyèdre. Les côtés communs des
polygones qui constituent les faces sont appelés les arêtes du polyèdre et les sommets des polygones
restent appelés sommets pour le polyèdre.
Exemple : Un pavé droit a 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes.
Remarque : Le mot face n’est utilisé que pour les polyèdres.
Déterminer le nombre de faces d’un cylindre n’a aucune signification puisque le cylindre n’est pas un
polyèdre.
Un polyèdre est dit convexe s’il se situe d’un même côté de tous les plans support des faces. On peut
encore dire qu’un polyèdre convexe est tel que quelle que soit la façon dont on le pose sur une surface
plane, il repose sur une face entière. S’il n’est pas convexe, il est dit concave. On reconnaît qu’un
polyèdre est concave si deux de ses faces forment « un creux ».
Pour vérifier le nombre de faces, d’arêtes, de sommets d’un polyèdre convexe, on peut utiliser la relation
d’Euler : si a est le nombre d’arêtes, s le nombre de sommets, f le nombre de faces alors s + f = a + 2
Polyèdres particuliers
1.Polyèdre régulier
Un polyèdre est régulier lorsque :
- il est convexe
- toutes ses faces sont des polygones réguliers identiques
- de chacun de ses sommets partent le même nombre d’arêtes formant le même angle.
Par exemple, un cube est un polyèdre régulier, un octaèdre dont les huit faces sont des triangles
équilatéraux identiques est un polyèdre régulier mais un hexaèdre dont les six faces sont des triangles
équilatéraux identiques n’est pas un polyèdre régulier puisque la troisième condition n’est pas vérifiée.
Il existe seulement cinq polyèdres réguliers :
- le cube
- le tétraèdre régulier dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux identiques
- l’octaèdre régulier dont les huit faces sont des triangles équilatéraux identiques
- l’icosaèdre régulier dont les vingt faces sont des triangles équilatéraux identiques
- le dodécaèdre régulier dont les douze faces sont des pentagones réguliers identiques.
2.Prisme
Un prisme droit est un polyèdre dont la surface est composée de deux polygones identiques et parallèles
appelés bases, et de rectangles qui constituent les faces latérales.
Exemples : - Un cube est un prisme droit dont les bases et les faces latérales sont des carrés.(Le carré
est un rectangle particulier.)
- Un parallélépipède rectangle ou pavé droit est un prisme droit dont les bases et les faces latérales sont
des rectangles. (Les faces latérales peuvent aussi être des carrés. Le cube est un parallélépipède
rectangle particulier)
Un prisme non droit est composé de deux bases, qui sont des polygones identiques et parallèles, et dont
certaines faces latérales sont des parallélogrammes non rectangles.
3.Pyramide
Une pyramide est un polyèdre dont la surface est composée d’un polygone appelé base et de triangles
ayant un sommet commun.
Exemple : Un tétraèdre est une pyramide dont la base est un triangle. Il est donc composé de quatre
triangles. Un tétraèdre régulier est une pyramide composée de quatre triangles
équilatéraux identiques.
Solides particuliers non polyèdres
1.Cylindre de révolution
Un cylindre de révolution est un solide engendré par la rotation d’un rectangle autour de l’un de ses côtés.
Il est donc formé par deux disques, identiques et parallèles, et par une surface non plane. Les deux
disques s’appellent les bases du cylindre.
2.Cône de révolution
Un cône de révolution est un solide engendré par la rotation d’un triangle rectangle autour d’un des côtés
de l’angle droit. Il est donc formé par un disque et une surface non plane.
On omet souvent de préciser le qualificatif « de révolution » lorsqu’on évoque le cylindre et le cône.
Pourtant, il existe d’autres types de cylindre et de cônes avec des bases qui ne sont pas des disques,
mais par exemple des ellipses.
3.Boule
Une boule est un solide délimité par une surface appelé sphère. Une sphère de centre O et de rayon R
est une surface constituée par l’ensemble des points dont la distance à O est égale à R.
Représentations planes des solides
Plusieurs représentations d’un solide sur un plan peuvent être envisagées : une perspective centrale, une
perspective parallèle (cavalière ou axonométrique), une représentation des différentes vues, un patron.
Ce passage de l’espace à la représentation plane entraîne la perte de certaines informations. C’est ce qui
explique l’existence de plusieurs types de représentations planes, chacune conservant et transmettant
certaines informations au détriment d’autres.1
Une représentation ne peut rendre compte à la fois de la vision d’un objet et de ce que l’on sait de lui. On
retrouve le conflit entre le « voir » et le « savoir ». Il faut alors prendre en compte ce qu’on attend d’une
représentation.
Perspective cavalière
La perspective cavalière résulte d’une projection oblique sur un plan appelé plan de projection. La
projection se fait dans une même direction.
Exemple 1 : Cube projeté sur un plan parallèle à la face de devant.
Pour comprendre la projection permettant de donner cette représentation à partir d’un cube posé sur un
plan horizontal, on peut imaginer des segments obliques et parallèles partant de chaque sommet du cube
et arrivant sur un plan vertical. La figure, formée sur ce plan, en reliant les points intersections des
segments et du plan vertical, est une perspective cavalière du cube.
Cette figure ne contient véritablement que deux carrés. Pourtant, elle représente un cube constitué de six
carrés. Les faces parallèles au plan de projection ne sont pas déformées. De façon générale, les éléments
situés dans des plans parallèles au plan de projection sont conservés. Les arêtes du cube qui sont
perpendiculaires au plan de projection sont représentées par des droites parallèles appelées fuyantes.
L’angle formé par ces fuyantes et la direction horizontale caractérise la perspective cavalière choisie, le
plus souvent l’angle est égal à 45°, mais parfois i l peut aussi valoir 30°. Les dimensions des segment s
portés par les fuyantes sont, en général, réduites par rapport aux dimensions réelles. Le rapport de
réduction est aussi une caractéristique de la perspective cavalière.
Le parallélisme des droites est conservé ainsi que le rapport des longueurs de segments parallèles.
Pour des éléments qui ne sont pas situés dans des plans parallèles au plan de projection, les distances,
les angles ne sont pas conservés ce qui peut être traduit par la non conservation des formes géométrique
des faces.
L’alignement des points est conservé : des points alignés dans l’espace le sont sur la représentation mais
la réciproque est fausse en général. Des droites qui paraissent se couper sur la représentation peuvent ne
pas être concourantes dans la réalité.
1 D’après l’ouvrage Rouche N., Lismont L. (2001) , Formes et mouvements. Perspectives pour l’enseignement de la
géométrie, Centre de recherche de l’enseignement des mathématiques
Perspective centrale
Exemple du cube :
Les angles, le parallélisme, l’orthogonalité, les longueurs, les rapports de longueur ne sont en général pas
conservés dans ce type de représentation. Par contre, la forme et les rapports de longueur d’un objet
situé dans un plan parallèle au plan de projection sont conservés.
Remarque : on peut envisager aussi des perspectives centrales avec plusieurs points de fuite mais à
l’école élémentaire seule la perspective centrale à un point de fuite est abordée par l’utilisation de photos.
Ces dernières ont l’avantage de fixer le plus fidèlement possible la perception visuelle et ainsi d’en
permettre la conservation.
Projections orthogonales (Vues)
Une vue d’un solide est une représentation plane qui provient d’une projection orthogonale sur un plan
parallèle à une face.
Exemple : Vue de dessus d’un cube.
Pour comprendre la projection permettant d’obtenir cette vue de dessus à partir d’un cube posé sur un
plan horizontal, on peut imaginer des segments verticaux partant des sommets du solide et arrivant sur un
plan horizontal.
Suivant le plan sur lequel le solide est projeté, différentes vues sont possibles : vue de dessus (le plan est
parallèle à la face de dessus), vue de droite (le plan est parallèle à la face de droite), vue de face…
Le dessin technique utilise ce type de représentation. Pour qu’un objet puisse être construit à partir des
différentes vues, trois vues sont nécessaires : vue de face, de droite, de dessus ainsi que des conventions
de traçage. En particulier, ce qui est vu est formé avec des traits pleins, ce qui est caché avec des traits
en pointillé
On peut aussi évoquer le mot « empreinte ».
Pour un prisme droit posé sur sa base, la vue de dessus correspond à l’empreinte du prisme. La vue de
dessus du cube donné en exemple précédemment correspond à l’empreinte du cube. Par contre, pour un
solide quelconque, l’empreinte est souvent différente de la vue de dessus. L’empreinte d’une boule est un
point alors que sa vue de dessus est un disque. On pourrait dire que la vue de dessus est le « trou » que
ferait un solide dans un plan si on l’enfonçait perpendiculairement à ce plan. On a ainsi une bonne
illustration d’un exemple d’une projection orthogonale d’un solide pour des élèves de l’école élémentaire
Patron
Un patron d’un solide est une surface plane qui permet de reconstruire le solide uniquement par pliage et
sans recouvrement ; ou, en reprenant la définition de S.Gobert (2001), « un patron de solide est un
dessin, où toutes les faces du solide sont représentées, toutes juxtaposées les unes aux autres,
permettant après découpage du contour et pliage suivant les segments, de reconstituer le solide en
volume » 2 .Le terme de développement du solide s’emploie quelquefois à la place du mot patron.
S.Gobert (ibid.) effectue deux types de remarques : celles concernant le patron à partir du solide et celles
concernant le solide à partir du patron.
A partir du patron :
« Deux faces adjacentes sur le patron sont toujours adjacentes sur le solide. Mais attention, deux faces
qui ne sont pas l’une à côté de l’autre sur le patron peuvent être des faces adjacentes sur le solide, ou ne
pas être des faces adjacentes sur le solide. »
« Un segment commun à deux faces sur le patron est une arête du solide. Mais on peut avoir deux
segments sur le patron qui correspondent à une même arête du solide »
A partir du solide :
« Deux faces adjacentes sur le solide peuvent être adjacentes sur le patron ou ne pas l’être. Par contre,
deux faces non adjacentes sur le solide ne peuvent jamais être adjacentes sur le patron »
« Une arête d’un solide peut être représentée une ou deux fois sur un patron du solide »
« Un sommet du solide peut être représenté par un ou plusieurs points sur le patron »3
« Ces connaissances sont en jeu dans les activités proposées en général aux élèves. Elles sont très
rarement formulées, et pourtant elles permettent d’avoir des repères qui peuvent faciliter, améliorer, faire
progresser la capacité à remonter un patron en volume dans sa tête et à lire sur les patrons les propriétés
du solide »4
Un polyèdre peut avoir plusieurs patrons différents. Exemple : Le cube a onze patrons.
Certains solides ne sont pas développables ; ils n’ont pas de patron. Exemple : La boule.
2 GOBERT
S.(2001) Questions de didactique liées au rapport entre la géométrie et l’espace sensible, dans le cadre de
l’enseignement à l’école primaire, thèse Université Paris VII: p. 143
3 GOBERT S.(2001) : p. 143
4 GOBERT S.(2001) : p. 143
Quelques repères1
Les objets de travail
- Les solides « sociaux » comme les emballages, certains meubles, certaines constructions qui existent
dans l’espace réel et le monde physique uniquement.
- Les « maquettes » des solides précédents qui en sont des représentations épurées de leurs propriétés
qualitatives, comme par exemples des emballages recouverts de papier uni, des solides construits avec
du matériel « polydron », des solides en bois….
- Les objets mathématiques qui sont des objets théoriques caractérisés par un ensemble de propriétés
mathématiques et qui concernent le monde de la pensée.
L’objectif de l’enseignement des solides à l’école primaire est de permettre aux élèves de s’abstraire des
propriétés qualitatives des objets sociaux et des maquettes qui les représentent pour ne considérer que
les objets mathématiques caractérisés par un ensemble de propriétés géométriques.
Par exemple, l’élève devra finalement être capable de désigner par « cube » tout polyèdre ayant 6 faces
carrées.
La représentation des solides
La représentation plane des solides est difficile en raison de la perte d’informations entre l’espace et le
passage au plan et en raison du conflit entre ce qui est « vu » et ce qui est « su ».
« Représenter en deux dimensions un objet tridimensionnel soulève un problème de taille : l’idéal serait
de pouvoir le représenter tel qu’il se présente habituellement au regard (préservation du voir), tout en
conservant sur la représentation, l’ensemble de ses propriétés (préservation du savoir). Mais ceci est
malheureusement impossible la plupart du temps, d’où conflit qui amène à opérer des choix, c’est-à-dire à
éliminer sur la représentation certains aspects du voir et certains aspects du savoir »2.
Le patron est la principale représentation travaillée à l’école élémentaire.
On peut envisager les approches suivantes :
- Le passage de l’espace au plan qui permet de considérer les polygones comme faces des polyèdres.
- Le passage du plan à l’espace qui permet de mettre en évidence les relations d’incidence : relations
métriques entre les différentes faces (pour accoler deux faces, les côtés concernés doivent avoir même
longueur) et nombre d’arêtes issues de chaque sommet.
Plier mentalement un patron pour obtenir le solide et déplier mentalement le solide pour en obtenir un
patron implique le recours à ces relations d’incidence.
A l’école élémentaire
A l’école élémentaire et plus particulièrement au cycle 3, il s’agit principalement d’approcher :
- les propriétés mathématiques des solides (l’élève devra être capable de caractériser un solide par le
nombre de ses faces, de ses sommets, de ses arêtes mais aussi par la nature de ses faces) ;
- les relations d’incidences en introduisant et en travaillant sur les patrons de ces solides.
Le travail sur les solides à l’école élémentaire doit permettre aux élèves de se fabriquer des images
mentales de ces solides pour pouvoir ensuite les mobiliser.
Ce travail ne peut et ne doit pas se faire en utilisant des représentations des solides en perspective
cavalière mais en manipulant des solides. On ne peut donc pas se contenter de faire des exercices sur un
livre.
Si seules la connaissance des caractéristiques du cube et du parallélépipède rectangle sont exigibles en
fin de cycle 3, les activités proposées permettent de rencontrer d’autres solides afin de mieux dégager les
propriétés des cubes et parallélépipèdes rectangles.
1 D’après
l’ouvrage « Apprentissages géométriques et résolution de problèmes » cycle 3 ERMEL Hatier
2006
2 PARZYSZ B. (1991) « Espace, géométrie et dessin, une ingénierie didactique pour l’apprentissage,
l’enseignement et l’utilisation de la perspective au lycée » Recherche en didactique des mathématiques
Vol 11 2.3
La pensée sauvage Grenoble
Quelques exemples de situations pour mettre en évidence les propriétés mathématiques
des solides
Reconnaître un solide dans un lot : le jeu du portrait
Un meneur de jeu (élève, groupe d’élèves ou enseignant) choisit un solide.
Les autres devront trouver le solide choisi en posant, à tour de rôle, des questions fermées (auxquelles on
ne peut répondre que par « oui » ou « non »). Ces questions doivent utiliser les caractéristiques
géométriques des solides.
Il est interdit d’utiliser leur nom (ex : on ne demande pas est-ce le cube ?).
Si une question est ambiguë ou mal formulée, le maître du jeu répond par « je ne peux pas répondre »
Cette activité ne revêt pas du tout la même difficulté suivant que les solides sont mis à distance ou s’ils
sont manipulables par les élèves. Dans ce cas, les élèves peuvent le tourner dans tous les sens pour
compter les faces, sommets, arêtes, analyser les formes des faces. Ils peuvent mettre de côtés les
solides éliminer.
Des questions sans grand rapport avec la géométrie risquent d’apparaître (est-ce que ça ressemble à une
maison, …) le rôle de l’enseignant est d’amener les élèves à poser des questions qui portent sur les
caractéristiques géométriques du solide. Il rectifiera au fur et à mesure le vocabulaire mal employé.
Le choix des solides doit se faire en adéquation avec l’objectif choisi. Par exemple, si on veut faire
amener les élèves à prendre en compte la nature des faces, il est nécessaire de choisir un solide tel que
les questions relatives au nombre de faces, de sommets et d’arêtes ne puissent pas permettre de le
caractériser.
Cette activité doit permettre d’utiliser le vocabulaire des solides en situation de communication (seule
situation qui donne du sens à l’utilisation d’un vocabulaire adéquat) et de travailler les images mentales
des solides. Elle fait aussi travailler la logique car il faut agir en fonction des réponses aux questions (il est
plus facile d’agir après une réponse « oui » qu’après un « non »).
Des activités de ce type sont proposées dans Donner du sens aux mathématiques, tome 1, Pfaff et
Fénichel,
Bordas, 2004, p.211 et ERMEL, Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes, cycle 3, 2006,
p.479)
Voir complément en Annexe 1
Décrire un solide pour le faire reconnaître ou pour le construire
L’ouvrage ERMEL, Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes, cycle 3, 2006 propose des
activité de ce type :
Habiller un solide :
Par groupe de deux, les élèves disposent d’un solide et d’un lot de polygones parmi lesquels figurent les
faces du solide. Dans un premier temps, il s’agit de choisir parmi ces polygones quels sont ceux qui
recouvriront exactement les faces du solide. Dans un second temps, les binômes sont appariés et
disposent d’un solide différent. Chacun d’entre eux devra décrire son solide pour que l’autre puisse «
l’habiller ».
Construire un solide
Les élèves doivent commander des polygones à partir d’un catalogue pour construire un solide identique
à un solide donné caché dans un coin de la salle de classe.
Etablir une carte d’identité d’un solide
Pour terminer une séquence sur l’approche des propriétés des solides il est possible d’envisager la
rédaction de carte d’identité de quelques solides. Cette carte pourrait être évolutive. Les mêmes choses
n’y figureraient pas suivant le niveau de classe concerné (pas forcément de dessin en perspective en
CE2).
Elle peut contenir le nom du solide, une photo, le nombre de faces, d’arêtes et de sommets, la forme des
faces. On peut y insérer des exemples d’objets qui ont cette forme, des dessins des différentes faces (les
vues), puis lorsque la notion de patron a été introduite, un patron découpé et collé par une de ces faces.
Si c’est sur une affiche, on peut y suspendre un solide du type concerné par l’affiche.
Quelques exemples de situations permettant de passer du solide à un de ses patrons et
réciproquement et donc d’approcher les relations d’incidence
Découvrir le patron d’un solide
Représenter un cube en vue de le faire reproduire.
(Donner du sens aux mathématiques, Pfaff et Fénichel, Bordas, 2004, p.240)
Un cube est donné à chaque groupe d’élèves. Ils doivent faire un message qui sera donné à un autre
groupe, celui-ci devra fabriquer exactement le même cube avec les mêmes couleurs aux mêmes endroits.
Le message ne doit contenir que du dessin (avec les couleurs). Il est interdit d’utiliser des mots, des
nombres, des symboles tels que des flèches ou autres.
Le cube doit bien sûr être gardé à l’écart des regards indiscrets. Dans la deuxième phase, les messages
sont échangés et les cubes réalisés. La validation se fera par comparaison avec l’original conservé par le
groupe rédacteur.
Il est fort probable que les élèves ne pensent pas au patron, surtout si c’est une séance de découverte du
patron.
Mais ce n’est pas grave. Le but est de leur montrer que cette représentation est la meilleure solution au
problème
Dans le cas ou personne ne pense au patron, l’enseignant le proposera à la fin de la mise en commun. Il
proposera d’ouvrir les solides.
Il faut prévoir une séance pour donner aux élèves la possibilité d’expérimenter cette solution. L’enseignant
peut alors proposer à toute la classe le même solide, les élèves dessinent leur patron, on fabrique les
solides d’après les patrons (original caché à ce moment) puis on compare avec l’original.
Le cube donné a été réalisé avec du papier. Il contient des carrés blancs. Ces faces blanches rendent
plus difficiles les représentations autres que le patron. Il faut prévoir plusieurs faces d’une même couleur
pour la même raison.
Un matériel du type Polydron, permet le dépliage et est donc très favorable à l’étude des patrons. Il peut
servir pour valider des exercices de reconnaissance de patrons trouvés dans les manuels.
Cette situation peut être proposée avec d’autres solides que le cube.
D’autres situations avec les mêmes objectifs sont proposées dans l’ouvrage ERMEL, Apprentissages
géométriques et résolutions de problèmes, cycle 3, 2006 : « Représenter un solide » et « Assemblons les
faces ».
Il s’agit alors ensuite d’approfondir ses connaissances sur les patrons et utiliser les relations d’incidence
Des pentaminos aux patrons du cube
Objectifs :
- mettre en évidence le fait qu’un cube a plusieurs patrons
- mettre en évidence les relations d’incidences entre les faces d’un cube
Il s’agit de dessiner le carré manquant pour qu’un pentamino (assemblage de cinq carrés) puisse devenir
le patron d’un cube.
Exemple de pentaminos
Les élèves disposent d’une feuille sur laquelle sont dessinés un ou plusieurs pentaminos .Il doivent
dessiner, en utilisant un stylo de couleur verte, le carré qui manque pour que le pentamino devienne le
patron d’un cube.
Ils n’ont pas le droit de découper l’assemblage.
Une fois leur hypothèse matérialisée, ils peuvent la vérifier en utilisant un matériel de type polydron
constitué de cinq carrés de même couleur permettant de matérialiser le pentamino et d’un carré d’une
autre couleur pour matérialiser le carré qu’ils ont rajouté ou alors en utilisant des carrés de couleur
découpés dans du carton.
Le cube tronqué
Cette situation est tirée de l’ouvrage ERMEL.
Un cube tronqué est donné aux élèves. Dans un premier temps, ils doivent réaliser un schéma
correspondant au patron du cube. La mise en commun permet d’apporter des arguments pour valider ou
invalider les schémas : on écarte ceux qui n’ont pas le nombre suffisant de faces pour être un patron ou
ceux dont un pliage mental permet d’affirmer que des faces vont se superposer.
Ensuite, on propose aux élèves de construire un patron du cube tronqué à partir des gabarits des faces.
Il s’agit d’anticiper pour reconnaître si un assemblage de figures planes constitue ou non le patron d’un
solide.
Un patron du cube tronqué et les gabarits des faces correspondantes sont données en annexe 2.
Bibliographie
Donner du sens aux mathématiques, Pfaff et Fénichel, Bordas, 2004,
ERMEL, Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes, cycle 3, 2006
Travaux géométriques cycle 3 IREM de Lille CRDP du Nord – Pas- de- Calais, 2000
Annexe 1
Le jeu du portrait avec des objets géométriques
Le jeu du portrait met en oeuvre la description d’un objet géométrique et à cette occasion à la mise en
place et à l’utilisation d’un vocabulaire géométrique pour désigner l’objet et ses propriétés.
Il s’agit de poser des questions pour reconnaître un objet géométrique choisi parmi un ensemble d’objets
donnés.
Les réponses aux questions ne peuvent être que « oui » ou « non ».
Le choix des objets géométriques et de la consigne :
Ils doivent être choisis en adéquation avec les objectifs que l’on s’est fixé :
Par exemple en CP, si l’objectif est la reconnaissance des figures géométriques telles que le carré, le
triangle, le rectangle, le disque et la désignation correcte de ces dernières, alors les objets seront choisis
parmi ces derniers et la consigne donnée sera la suivante : vous allez me poser des questions pour
deviner quelle figure géométrique j’ai choisie. La consigne est ouverte et on n’interdit pas aux élèves
d’utiliser le nom des figures. Mais si l’objectif est d’amener les élèves à utiliser les propriétés de ces
figures, ici le nombre des côtés, des sommets ou encore l’isométrie des côtés (côtés « pareils », égaux)
alors dans la consigne on interdit les questions dans lesquelles intervient le nom des figures.
La consigne doit être précise, sans ambiguïté. Elle ne doit pas être modifiée au cours du jeu. Par
exemple, en CM1 si l’objectif est de faire apparaître les différences entre le carré, le losange et le
rectangle, la consigne pourra être la suivante : vous allez poser des questions pour deviner quelle est la
figure que j’ai choisie. Vous poserez des questions sur le nombre d’angles droits et sur le nombre de
côtés de même longueur. Vous n’avez pas le droit de nommer les figures.
Dans ce cas, les figures choisies seront uniquement des quadrilatères ce qui empêchera les questions
relatives au nombre de côtés.
Il est bien sûr possible de jouer au jeu du portrait avec des polyèdres. On pourra alors poser des
questions sur la nature des faces, le nombre de faces, le nombre de sommets et le nombre d’arêtes.
La vérification des propriétés
Au cycle 2, les propriétés seront reconnues de manière perceptive, bien qu’il soit possible à la fin du CE1,
de faire utiliser le double décimètre et un gabarit d’angle droit pour les vérifier. On le fera de manière
systématique au CE2. On pourra aussi utiliser du papier quadrillé pour dessiner les figures.
Au CM1 et au CM2, les élèves ne seront plus autorisés à reconnaître les propriétés des figures de
manière perceptive. Ils devront vérifier la présence des propriétés à l’aide des outils usuels (gabarit ou
équerre pour vérifier la présence d’angles droits, ou de segments perpendiculaires, compas pour vérifier
l’isométrie éventuelle de longueurs). Pour cela, une fois la consigne donnée, ils devront analyser les
figures données pour savoir quelles propriétés elles possèdent. Par exemple, sur un jeu de portrait portant
sur les quadrilatères, si la consigne est de poser des questions sur la présence de côtés égaux et
d’angles droits, les élèves devront vérifier, avec les outils adéquats, la présence éventuelle de ces
propriétés sur les figures. Cela peut être une bonne occasion pour coder les propriétés présentes dans les
figures. Les élèves peuvent, avant de commencer à poser les questions, analyser chacune des figures en
mettant en évidence les propriétés sur lesquelles doivent porter les questions, puis trouver un moyen pour
s’en rappeler. Le codage ainsi introduit permet alors de lire rapidement les propriétés sur les figures et de
ne pas les vérifier à chaque fois. Cela permet de poser des questions plus rapidement et plus
efficacement.
La manière de gérer les questions
Il semble important de noter les questions et les réponses apportées afin de permettre aux élèves de
mieux mémoriser les informations que les réponses apportent. En effet, le jeu du portrait permet aussi
d’apprendre aux élèves à coordonner des informations et à tenir compte d’une réponse négative. En effet,
bien souvent, une réponse négative correspond, pour les élèves, à l’absence d’information et dans ce cas
ils ne tiennent pas compte
de la réponse. Par exemple, si la réponse à la question « la figure a-t-elle trois côtés ? » est « non », un
élève pourra ensuite poser la question suivante : « la figure a-t-elle trois sommets ? ».
Le fait de noter les questions et les réponses, permet aussi de mieux cadrer les apprentissages en jeu,
d’éviter que le jeu ne devienne qu’une partie de devinettes. Il faut que les élèves puissent prendre
conscience qu’à travers le jeu ils font de la géométrie, qu’ils perfectionnent leurs connaissances sur les
figures géométriques.
Il vaut mieux jouer moins longtemps et prendre plus de temps pour gérer chaque jeu.
Les difficultés à prendre en compte
- La difficulté à poser des questions
Quand on joue au jeu du portrait avec des élèves de CP, voire avec certains élèves de CE1, il faut
prendre en compte leur difficulté à poser des questions. Généralement, ils ne savent pas le faire. Il faut
alors le leur apprendre.
- La difficulté à éliminer les figures à chaque information donnée
Il est nécessaire aussi d’apprendre aux élèves à organiser leur recherche et à éliminer les figures qui ne
conviennent pas après chaque réponse. C’est pour cette raison, qu’il est plus facile de gérer un jeu de
portrait avec des petites affiches sur lesquelles sont dessinées les figures et que les élèves peuvent
retourner ou écarter. Si on utilise une feuille sur laquelle sont dessinées les figures, penser à en prévoir
plusieurs ou prévoir une feuille de gestion du jeu sur laquelle les élèves pourront à chaque réponse noter
les figures qu’ils éliminent ou qu’ils gardent.
- La difficulté à prendre en compte une réponse négative
Voir ci-dessus. Il est alors nécessaire de faire reformuler la réponse autrement de manière à ce qu’elle
soit prise en compte.
- La difficulté à coordonner des informations
D’où la nécessité de noter question et réponse et d’aider les élèves à prendre en compte l’ensemble des
informations.
- La difficulté à utiliser de manière correcte certaines questions :
Par exemple si à la question « A-t-il deux angles droits ? », on répond « oui », cela ne veut pas dire que la
figure a seulement deux angles droits, cela veut dire qu’elle en a au moins deux. Il est donc possible
d’amener les élèves à affiner leur question en introduisant les expressions « au moins », « seulement »…
Quelques pistes pour prolonger l’activité « jeu du portrait »
Il est alors possible, dès le CM1, de proposer aux élèves de résoudre des énigmes géométriques leur
permettant de retrouver un polygone parmi plusieurs dessinés sur une feuille :
Je suis un quadrilatère Tous mes côtés ont le même longueur
Je n’ai pas d’angle droit J’ai seulement deux angles droits
Tous mes côtés ont la même longueur. Qui suis-je ?
Qui suis-je ?
Les énigmes peuvent avoir plusieurs solutions.
Dans un deuxième temps, on peut demander aux élèves d’écrire des énigmes pour leur camarade. Ils
seront alors amenés à utiliser de manière précise le vocabulaire géométrique introduit.
Il est aussi possible d’établir avec les élèves des cartes d’identités des figures étudiées. On ne donnera
pas de définition de ces figures mais la carte d’identité déclinera toutes les propriétés de la figure même si
elles sont redondantes pour la définir.
Exemple : Le rectangle
Quadrilatère
4 angles droits
2 côtés opposés égaux
alors qu’on sait qu’une condition suffisante pour qu’un quadrilatère soit un rectangle est qu’il ait trois
angles droits.
La notion de condition suffisante ne relève pas de l’école élémentaire. On peut juste approcher cette
notion au CM2 en faisant construire aux élèves un quadrilatère qui a trois angles droits et leur faire
constater que c’est bien un rectangle parce qu’il possède les propriétés écrites sur la carte d’identité.
La carte d’identité peut s’enrichir au fur et à mesure qu’on approfondit ses connaissances sur les figures,
par exemple en introduisant les propriétés sur les diagonales ou la présence éventuelle d’axes de
symétrie.
Annexe 2