Autour des solides

Muriel Fénichel - Novembre 2010
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Autour des solides
Quelques repères
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Les objets de travail
- Les solides « sociaux » comme les emballages, certains meubles, certaines constructions qui existent
dans l’espace réel et le monde physique uniquement.
- Les « maquettes » des solides précédents qui en sont des représentations épurées de leurs propriétés
qualitatives, comme par exemples des emballages recouverts de papier uni, des solides construits avec du
matériel « polydron », des solides en bois….
- Les objets mathématiques qui sont des objets théoriques caractérisés par un ensemble de propriétés
mathématiques et qui concernent le monde de la pensée.
L’objectif de l’enseignement des solides à l’école primaire est de permettre aux élèves de s’abstraire des propriétés
qualitatives des objets sociaux et des maquettes qui les représentent pour ne considérer que les objets
mathématiques caractérisés par un ensemble de propriétés géométriques.
Par exemple, l’élève devra finalement être capable de désigner par « cube » tout polyèdre ayant 6 faces carrées.
La représentation des solides
La représentation plane des solides est difficile en raison de la perte d’informations entre l’espace et le passage au
plan et en raison du conflit entre ce qui est « vu » et ce qui est « su ».
« Représenter en deux dimensions un objet tridimensionnel soulève un problème de taille : l’idéal serait de pouvoir
le représenter tel qu’il se présente habituellement au regard (préservation du voir), tout en conservant sur la
représentation, l’ensemble de ses propriétés (préservation du savoir). Mais ceci est malheureusement impossible
la plupart du temps, d’où conflit qui amène à opérer des choix, c’est-à-dire à éliminer sur la représentation certains
aspects du voir et certains aspects du savoir »
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.
Le patron est la principale représentation travaillée à l’école élémentaire.
Un patron de solide est une surface plane d’un seul tenant qui permet de reconstruire le solide uniquement par
pliage et sans chevauchement.
On peut envisager les approches suivantes :
• Le passage de l’espace au plan qui permet de considérer les polygones comme faces des polyèdres.
• Le passage du plan à l’espace qui permet de mettre en évidence les relations d’incidence : relations
métriques entre les différentes faces (pour accoler deux faces, les côtés concernés doivent avoir
même longueur) et nombre d’arêtes issues de chaque sommet.
Plier mentalement un patron pour obtenir le solide et déplier mentalement le solide pour en obtenir un patron
implique le recours à ces relations d’incidence.
Les programmes
Dans les programmes de l’école élémentaire au cycle 2
Ils apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes et des solides.
Dans les tableaux proposés dans les I.O donnant des repères pour l’organisation de la progressivité des
apprentissages par des équipes pédagogiques, il est suggéré :
Au CP : reconnaître et nommer le cube et le pavé droit.
Au CE1 : reconnaître, décrire, nommer quelques solides droits : cube, pavé...
Dans les programmes de l’école élémentaire au cycle 3
Cube, pavé droit, cylindre, prismes droits, pyramide.
- reconnaissance de ces solides et étude de quelques patrons ;
- vocabulaire spécifique relatif à ces solides : sommet, arête, face.
Les tableaux suivants proposés dans les I.O donnent des repères pour l’organisation de la progressivité des
apprentissages par les équipes pédagogiques.
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D’après l’ouvrage « Apprentissages géométriques et résolution de problèmes » cycle 3 ERMEL Hatier 2006
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PARZYSZ B. (1991) « Espace, géométrie et dessin, une ingénierie didactique pour l’apprentissage, l’enseignement et
l’utilisation de la perspective au lycée » Recherche en didactique des mathématiques Vol 11 2.3 La pensée sauvage Grenoble

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CE2 CM1 CM2
Dans
l’espace :
-Reconnaître, décrire, nommer un
cube, un pavé droit.
-Utiliser en situation le vocabulaire :
face, arête, sommet.
-Reconnaître, décrire, nommer les
solides droits : cube, pavé, prisme.
-Reconnaître ou compléter un patron
de cube ou de pavé.
-Reconnaître, décrire, nommer les
solides droits : cube, pavé, cylindre,
prisme.
-Reconnaître ou compléter un patron
d’un solide droit.
Dans les programmes actuel, sont mentionnés donc mentionnés les solides suivants : cube, pavé droit, prismes
droits, pyramide.
Néanmoins, d’autres solides comme le cylindre, solides non droits peuvent être rencontrés par les élèves lors des
activités proposées. Il s’agit de les reconnaître et d’aborder leur représentation sous forme de patron.
Le travail sur les solides à l’école élémentaire doit permettre aux élèves de se fabriquer des images mentales de
ces solides pour pouvoir ensuite les mobiliser.
A l’issue de l’école élémentaire, les élèves doivent être capables de reconnaître, nommer et décrire les solides
usuels.
Ce travail ne peut et ne doit pas se faire en utilisant des représentations des solides en perspective cavalière mais
en manipulant des solides. On ne peut donc pas se contenter de faire des exercices sur un livre.
Pour reconnaître ces solides, il va falloir les différencier parmi d’autres et en particulier parmi ceux qui ne
comportent pas uniquement des faces carrées ou rectangulaires (par exemple des faces qui sont des triangles,
éventuellement des parallélogrammes ou des disques).
On peut alors utiliser le matériel suivant :
• Des prismes droits à base triangulaire de plusieurs sortes (les bases ne sont pas nécessairement des
triangles équilatéraux mais peuvent être isocèles et aussi quelconques, les autres faces peuvent être des
carrés ou des rectangles).
• Des pyramides à base carrée dont les faces qui ne sont pas la base ne sont pas nécessairement des
triangles équilatéraux.
• Des pyramides à base triangulaire.
• Des solides constitués de faces carrées, rectangulaires et triangulaires qui ne soient ni des prismes, ni des
pyramides.
A partir de ce lot de solides, il est possible de proposer plusieurs types de situations permettant aux élèves
d’acquérir les compétences visées.
Quelques exemples de situations pour mettre en évidence les propriétés mathématiques des solides
Au cycle 3, il s’agit principalement d’approcher les propriétés mathématiques des solides (l’élève devra être
capable de caractériser un solide par le nombre de ses faces, de ses sommets, de ses arêtes mais aussi par la
nature de ses faces) ;
Reconnaître un solide dans un lot : le jeu du portrait
Un meneur de jeu (élève, groupe d’élèves ou enseignant) choisit un solide.
Les autres devront trouver le solide choisi en posant, à tour de rôle, des questions fermées (auxquelles on ne peut
répondre que par « oui » ou « non »). Ces questions doivent utiliser les caractéristiques géométriques des solides.
Il est interdit d’utiliser leur nom (ex : on ne demande pas est-ce le cube ?).
Si une question est ambiguë ou mal formulée, le maître du jeu répond par « je ne peux pas répondre »
Cette activité ne revêt pas du tout la même difficulté suivant que les solides sont mis à distance ou s’ils sont
manipulables par les élèves. Dans ce cas, les élèves peuvent le tourner dans tous les sens pour compter les faces,
sommets, arêtes, analyser les formes des faces. Ils peuvent mettre de côtés les solides éliminer.
Des questions sans grand rapport avec la géométrie risquent d’apparaître (est-ce que ça ressemble à une maison,
…) le rôle de l’enseignant est d’amener les élèves à poser des questions qui portent sur les caractéristiques
géométriques du solide. Il rectifiera au fur et à mesure le vocabulaire mal employé.
Le choix des solides doit se faire en adéquation avec l’objectif choisi. Par exemple, si on veut faire amener les
élèves à prendre en compte la nature des faces, il est nécessaire de choisir un solide tel que les questions
relatives au nombre de faces, de sommets et d’arêtes ne puissent pas permettre de le caractériser.

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Cette activité doit permettre d’utiliser le vocabulaire des solides en situation de communication (seule situation qui
donne du sens à l’utilisation d’un vocabulaire adéquat) et de travailler les images mentales des solides. Elle fait
aussi travailler la logique car il faut agir en fonction des réponses aux questions (il est plus facile d’agir après une
réponse « oui » qu’après un « non »).
Des activités de ce type sont proposées dans l’ouvrage ERMEL, Apprentissages géométriques et résolutions de
problèmes, cycle 3, 2006, p.479)
Voir en annexe 1 quelques remarques à propos du jeu du portrait.
Les patrons de solides pouvant constituer un support pour le jeu du portrait sont dans le fichier intitulé
« patrons solides» consultable sur le site http/ :fenichel.creteil.iufm.fr
Décrire un solide pour le faire reconnaître ou pour le construire
L’ouvrage ERMEL, Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes, cycle 3, 2006 propose des activité
de ce type :
Habiller un solide
Par groupe de deux, les élèves disposent d’un solide et d’un lot de polygones parmi lesquels figurent les faces du
solide. Dans un premier temps, il s’agit de choisir parmi ces polygones quels sont ceux qui recouvriront
exactement les faces du solide. Dans un second temps, les binômes sont appariés et disposent d’un solide
différent. Chacun d’entre eux devra décrire son solide pour que l’autre puisse « l’habiller ».
Construire un solide
Les élèves doivent commander des polygones à partir d’un catalogue pour construire un solide identique à un
solide donné caché dans un coin de la salle de classe. Les élèves doivent aller prendre des informations sur le
solide, les noter sur un quart de feuille de papier puis utiliser ces informations pour consulter le catalogue et
commander les polygones qui correspondent aux faces du solide. Pour cela ils disposent d’un bon de commande.
Une fois le bon de commande rempli, on leur donne un lot de polygones pour qu’ils puissent matérialiser leur
commande. Du scotch est à leur disposition pour qu’ils construisent le solide à partir de leur commande.
Une mise en commun est organisée autour des conditions qui permettent à un bon de commande de construire le
solide.
Un exemple de catalogue ainsi que des lots de polygones correspondants pouvant être découpés et utilisés lors de
la commande sont donné dans les fichiers « catalogue solides » et « polygones pour les commandes »
consultables sur le site http/ :fenichel.creteil.iufm.fr
Etablir une carte d’identité d’un solide
Pour terminer une séquence sur l’approche des propriétés des solides il est possible d’envisager la rédaction de
carte d’identité de quelques solides. Cette carte pourrait être évolutive. Les mêmes choses n’y figureraient pas
suivant le niveau de classe concerné (pas forcément de dessin en perspective en CE2).
Elle peut contenir le nom du solide, une photo, le nombre de faces, d’arêtes et de sommets, la forme des faces. On
peut y insérer des exemples d’objets qui ont cette forme, des dessins des différentes faces (les vues), puis lorsque
la notion de patron a été introduite, un patron découpé et collé par une de ces faces. Si c’est sur une affiche, on
peut y suspendre un solide du type concerné par l’affiche.
Quelques exemples de situations permettant de passer du solide à un de ses patrons et réciproquement et
donc d’approcher les relations d’incidence
Découvrir le patron d’un solide
Objectif :
Faire prendre conscience que n’importe quel assemblage de figures planes ne permet pas toujours de construire
un polyèdre.
Mettre en évidence les conditions qui vont permettre qu’une figure plane puisse permettre de construire un
polyèdre : Introduire le patron d’un polyèdre
Un solide est mis à la disposition d’un groupe de deux élèves (par exemple une pyramide à base carrée ou une
pyramide à base rectangulaire) ainsi que des gabarits des faces du solide. Les élèves doivent réaliser un dessin
leur permettant de construire le solide en utilisant les gabarits. La mise en commun permet une analyse des
dessins et la mise en évidence de ceux qui permettent de reconstruire le solide.

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Dans une deuxième phase, le solide est éloigné des élèves. Un des élèves du binôme doit aller chercher des
informations à l’aide d’un quart de feuille de papier pour que le groupe puisse réaliser le dessin à partir de ces
informations. Le message est transmis à un autre binôme qui doit construire le solide à partir d’un lot de polygones
mis à disposition.
Si les dessins d’un seul tenant n’apparaissent pas dans les messages, on peut, dans un deuxième temps, imposer
cette contrainte.
On peut donner aux élèves une des définitions suivantes d’un patron de polyèdre :
- Un patron est un développement à plat du polyèdre en un seul morceau qui permet de reconstruire le polyèdre
uniquement par pliage sans recouvrement.
- Un patron d’un polyèdre est une figure en un seul morceau où toutes les faces du polyèdre sont représentées
permettant après découpage du contour et pliage de reconstruire le polyèdre.
Représenter un cube en vue de le faire reproduire.
(Donner du sens aux mathématiques, Pfaff et Fénichel, Bordas, 2004, p.240)
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Objectifs :
Découvrir le patron du cube
Approcher le fait qu’un cube a plusieurs patrons
Dans la première phase, les élèves travaillent par groupe de deux. Chaque binôme dispose d’un cube coloré, d’une
feuille de papier et de crayons de couleur. Il est associé à un autre binôme qui dispose d’un cube coloré mais
différent. Chaque binôme doit produire un message qui sera donné au binôme associé afin que ce dernier puisse
reconstituer le cube de leur camarade avec les mêmes couleurs aux mêmes endroits. Le message ne doit contenir
que du dessin (avec les couleurs). Il est interdit d’utiliser des mots, des nombres, des symboles tels que des
flèches ou autres.
Le cube doit bien sûr être gardé à l’écart des regards indiscrets.
Dans la deuxième phase, les messages sont échangés et les cubes réalisés à partir de carrés de couleur en carton
et de ruban adhésif. La validation se fera par comparaison avec l’original conservé par le groupe rédacteur.
Il est fort probable que les élèves ne pensent pas au patron, surtout si c’est une séance de découverte du patron.
Mais ce n’est pas grave. Le but est de leur montrer que cette représentation est la meilleure solution au problème.
Dans le cas ou personne ne pense au patron, l’enseignant le proposera à la fin de la mise en commun. Il proposera
d’ouvrir les solides.
Il faut prévoir une séance pour donner aux élèves la possibilité d’expérimenter cette solution. L’enseignant peut
alors proposer à toute la classe le même solide, les élèves dessinent leur patron, on fabrique les solides d’après
les patrons (original caché à ce moment) puis on compare avec l’original.
Le cube donné a été réalisé avec du papier. Il contient des carrés blancs (les patrons des deux types de cube sont
donnés en annexe 3) . Ces faces blanches rendent plus difficiles les représentations autres que le patron. Il faut
prévoir plusieurs faces d’une même couleur pour la même raison.
Un matériel du type Polydron, permet le dépliage et est donc très favorable à l’étude des patrons. Il peut servir pour
valider des exercices de reconnaissance de patrons trouvés dans les manuels.
Cette situation peut être proposée avec d’autres solides que le cube.
D’autres situations avec les mêmes objectifs sont proposées dans l’ouvrage ERMEL, Apprentissages
géométriques et résolutions de problèmes, cycle 3, 2006 : « Représenter un solide » et « Assemblons les faces ».
Il s’agit alors ensuite d’approfondir ses connaissances sur les patrons et utiliser les relations d’incidence
Des pentaminos (assemblages de cinq carrés) aux patrons du cube
Objectifs :
- mettre en évidence le fait qu’un cube a plusieurs patrons
- mettre en évidence les relations d’incidences entre les faces d’un cube
Il s’agit de dessiner le carré manquant pour qu’un pentamino (assemblage de cinq carrés, voir annexe 3) puisse
devenir le patron d’un cube.
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Cet ouvrage n’est plus édité

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Les élèves disposent d’une feuille sur laquelle sont dessinés un ou plusieurs pentaminos .Il doivent dessiner, en
utilisant un stylo de couleur verte, le carré qui manque pour que le pentamino devienne le patron d’un cube.
Ils n’ont pas le droit de découper l’assemblage.
Une fois leur hypothèse matérialisée, ils peuvent la vérifier en utilisant un matériel de type polydron constitué de
cinq carrés de même couleur permettant de matérialiser le pentamino et d’un carré d’une autre couleur pour
matérialiser le carré qu’ils ont rajouté ou alors en utilisant des carrés de couleur découpés dans du carton.
La situation peut être prolongée par la recherche de tous les patrons du cube.
Il y a 11 patrons différents du cube (non superposables) :
- A partir de l’assemblage de 4 carrés, on trouve les patrons suivants :
- A partir de l’assemblage de 3 carrés
- A partir de l’assemblage de 2 carrés
Bibliographie
Donner du sens aux mathématiques, Pfaff et Fénichel, Bordas, 2004, (cet ouvrage n’est plus édité)
ERMEL, Apprentissages géométriques et résolutions de problèmes, cycle 3, 2006 Hatier
Travaux géométriques cycle 3 IREM de Lille CRDP du Nord – Pas- de- Calais, 2000