Représentation de Jordan 1 Nombre de vecteurs propres 2

Repr´esentation de Jordan
Soit Mune matrice carr´ee r´eelle de dimension n. On suppose dans ce projet
que le polynˆome caract´eristique de Manracines r´eelles. Certaines racines sont
multiples.
1 Nombre de vecteurs propres
On note dil’ordre de multiplicit´e de la valeur propre didans le polynˆome car-
act´eristique.
1. Compter les vecteurs propres et comparer `a la dimension.
2. Compter les vecteurs propres et comparer `a la dimension.
2 Propri´et´es du d´eterminant
Nous ´etudions comment le d´eterminant varie lorsqu’on modifie les colonnes de
la matrice M. On note M1,...Mnles vecteurs colonnes de la matrice et on
d´efinit Det(M1,...Mn) = det(M)
1. Forme altern´ee. L’´echange revient `a ajouter la transposition (i, j) `a
toutes les permutations de la formule du d´eterminant.
2. Le d´eterminant est ´egal `a son oppos´e par la question pr´ec´edente.
3. Utiliser la formule des mineurs par rapport `a la colonne.
4. On sort du d´eterminant le coefficient de proportionalit´e et on a deux
colonnes identiques.
5. On utilise la lin´earit´e par rapport `a cette colonne pour ´ecrire le d´eteminant
comme une somme de d´eterminant `a colonnes identiques.
6. On utilise la lin´earit´e par rapport `a chaque colonne pour ´etablir la premi`ere
formule (identique au d´eveloppement d’un produit de nsommes de taille
n). On ´elimine tous les d´eterminants o`u deux kisont identiques. Il
ne reste que des multiindices kiformant des permutations des indices
(1, . . . , n). Pour chacun de ces termes on r´eordonne les colonnes de M
dans les d´eterminant au prix du signe de la permutation. On sort la con-
stante Det(M1, . . . , Mn) des sommations et on reconnait le d´eterminant
de N.
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7. Dans la formule du d´eterminant, tous les coefficients ai,σ(i)o`u iappartient
`a {1, . . . , k}et σ(i) appartient `a {n−k+1, . . . , n}sont nuls. Il ne reste que
les transpositions qui sont un produit d’une transposition des kpremiers
indices et d’une transposition des n−kderniers.
3 Th´eor`eme de Cayley-Hamilton
On peut associer `a un polynˆome une fonction qui transforme une matrice en
une matrice. Il suffit d’utiliser le fait que les fonctions puissances sont d´efinies
pour les matrices. Ces polynˆomes de matrice ont des propri´et´es plus faibles que
les polynˆomes sur le corps R.
1. Elle associe `a toute matrice une matrice constante ´el´ement neutre de la
multiplication.
2. 0 et Insont solutions.
Le th´eor`eme de Cayley-Hamilton ´enonce que le polynˆome caract´eristique de M
s’annule pour la matrice M. Pour d´emontrer le th´eor`eme, il suffit de d´emontrer
le r´esultat ´equivalent pour l’application lin´eaire qui correspond `a la matrice dans
une base fix´ee. Soit p(X) = anXn+· · · +a0le polynˆome caract´eristique de M.
Soit fl’application repr´esent´ee par Mdans la base (e1, . . . , en). On va montrer
que p(X) s’annule pour la fonction f. On d´efinit
p(f) = anfn+· · · +a0Id
o`u les puissances correspondent `a la composition (par exemple f2=f◦f) et
Id `a l’application lin´eaire identit´e qui `a xassocie x. On va montrer que p(f)
est la fonction nulle. Pour cela on montre que p(f)(x) = 0 quel que soit x.
Consid´erons d’abord un xtel que (x, f(x), fn−1(x)) est une base de E.
1. Seule l’image du dernier vecteur n´ecessite l’introduction de coordonn´ees.
c’est la matrice compagnon du polynˆome
2. La forme particuli`ere de la matrice permet un calcul rapide : on obtient
un polynˆome dont les coefficients sont les coefficients apparaissant dans la
derni`ere colonne de N.
3. Calculer `a partir des puissances successives de f(x) qui apparaissent dans
la matrice N.
4. Formule de changement de base et propri´et´e du d´eterminant par rapport
au produit.
5. qet psont ´egaux.
Consid´erons maintenant un xtel que (x, f(x), . . . , fk−1(x)) est libre, mais pas
(x, f(x), . . . , fk(x)) avec 0 < k < n.
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1. On compl`ete le syst`eme (x, f(x), . . . , f k−1(x)) pour former une base.
2. Formule du d´eterminant par bloc.
3. Montrer que r(f)(x) = 0. En d´eduire que p(f)(x) = 0. En conclure que
p(f) est la fonction nulle. Il faut traiter aussi x= 0.
4 Polynˆome minimal
On appelle polynˆome minimal d’une matrice M, un polynˆome de degr´e minimal
qui s’annule sur la matrice.
1. Calculer l’image d’un vecteur propre par le polynˆome ou chaque valeur
propre est racine simple.
2. Calculer les puissances de matrice `a l’aide de la relation M=P DP −1
pour se rapporter au cas pr´ec´edent.
5 Cas d’une seule valeur propre multiple et un
bloc de Jordan
1. Il existe un vecteur wtel que (f−λId)n−1(w) n’est pas nul, sinon (X−
λ)n−1serait un polynˆome annulant fet donc M.
2. Aucun de ces vecteurs n’est nul sinon le dernier serait nul; Former une
combinaison lin´eaire nulle de ces vecteurs et faire op´erer les puissances de
(f−λId) pour conclure que les coefficients sont nuls.
3. Deux diagonales constantes.
6 Cas d’une seule valeur propre multiple et di-
agonale de blocs de Jordan
1. D´efinition des vecteurs propres et du polynˆome minimal.
2. Regarder l’effet de la composition sur le noyau.
3. A chaque inclusion, d´efinir un suppl´ementaire.
4. Les Uisont des espaces dont les vecteurs non nuls mettent exactement k
it´erations pour arriver en 0.
5. Les ek,1
1sont le r´esultat de l’avant derni`ere it´eration avant d’atteindre
0. Si le syst`eme (ek,1
i, . . . , ek,dk i) n’est pas libre, il y a une combinaison
lin´eaire nulle `a coefficient non nuls. La mˆeme combinaison lin´eaire des
(ek,1
k, . . . , ek,dk k) atteint alors 0 en k−iit´erations, ce qui est interdit. La
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notation ek,j
ise d´ecompose en k, num´ero du Ukdans lequel la base originale
a ´et´e choisie, jnum´ero d’ordre dans cette base, irappelle l’appartenance
du vecteur `a Uiet est ´egalement le nombre d’it´eration pour atteindre 0.
6. Chaque couche (ifix´e) est libre et les Uisont suppl´ementaires.
7. Comme auparavant chaque couche des it´er´es des vecteurs de Ulest libre
sinon on a la mˆeme contradiction (construction d’un vecteur de Uldont
l’it´er´e devient nul avant l’it´eration l. Le cas des vecteurs se trouvant dans
les espaces Uiavec i>ln’ a pas besoin d’ˆetre retrait´e.
8. On remplit les espaces Uiles uns apr`es les autres.
9. Pour avoir une forme particuli`ere, il faut ranger les vecteurs de la fa¸con
suivante : fixer un indice sup´erieur (l, j) et mettre `a la suite (el,1
1,...,(el,1
l.
On voit apparaˆıtre un bloc de Jordan de taille l.
7 Calcul de l’exponentielle
Soit Aet Bdeux matrices carr´ees. On rappelle qu’on peut d´efinir une norme
matricielle par kAk∞= maxj=1,...,n |Pi=1,...,n ai,j |
1. Soit directement sur la formule; soit en montrant que kAk∞= supXkAXk∞/kXk∞
pour la norme kXk∞= max |xi|.
2. Comme pour les r´eels la s´erie est absolument convergente, et l’espace des
matrices est complet.
3. Calcul formellement ´equivalent `a celui sur les r´eels et termes de reste
contrˆol´es par les normes.
4. Utiliser la diagonalisation ; les puissances et l’exponentielle d’une matrice
diagonale sont simples `a calculer.
5. La matrice est surdiagonale, donc sa puissance nest nulle. L’exponentielle
est triangulaire.
6. Remarquer que les matrices Det Scommutent.
8 Application aux syst`emes d’´equations diff´erentielles
lin´eaires
1. Oui, on peut revenir `a la d´efinition par le taux d’accroissement et utiliser
la formule exponentielle de produit pour revenir au taux d’accroissement
en z´ero.
2. Exponentielle de coefficient a;
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3. Ce n’est possible que quand a1,2ou a2,1est nul.
4. La d´eriv´ee du produit exp(tA)Xconsiste `a d´eriver uniquement l’exponentielle.
5. Les solutions dans la base de diagonalisation sont lin´eaires, le changement
de base produit les combinaisons lin´eaires.
6. Les solutions dans la base de Jordan sont de ce type et la matrice de
passage conserve les formes polynomiales.
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