Sur une sērie algēbrique

Hartman und Mousson, über Pfäfers.
180
jetzt schon näher einzutreten, schiene ein ziemlich
müssiges Geschäft. Ueber den dritten Punkt ibres Gutachtens ,lautet die Meinung der Unterzeichneten dahin :
1) Dass eine bedeutende Menge von unbenutztem Thermalwasser noch vorhanden ist;
2) Dass Versuche zur Hebung eines Theiles desselben wünschbar wären ;
3) Dass mit Vorsicht geführte Stollen oder Bohr-arbeiten am meisten Hoffnung auf Erfolg gebeu.
Sur une sērie algēbrique
par
Georges Sidler, l)r. en phil.
Consid ērons la sērie
1 -1- 2m z -}- 3m zz -}- 40' z 3 + • • • • in inf.
in ētant supposé un nombre entier positif.
Pour que cette série soit convergente, i l faut et
il suffit -que la valeur nu mérique de z soit inférieure
ā l'unité. En désignant dans ce cas, par Z ,, , la somme
de la série. on aura entre deux sommes cons ēcu—
tives Z,n_, et Z„1 la relation
§. 1.
,
%mV d• (z'Lm —])
(a)
(1 Z
Comme on a d'ailleurs Z o -- 1 1 7 , on obtiendra
•successivement
1
_ 1-1-- Z
1 -t- 4, -4- 22
71 — `) —I)2 , 12 _._.. `l^Z)3, e 3 —
ll —Z),
(I
...
.
^
1,
&
• -{l 1 z + 11 z
1-{i 2
(1 — z) s ' :
z3_
'
181
Sidler, sur une s ē rle algébrique•
et en général pour toutes les valeurs entières de m
plus grandes que zéro :
%m —
'1 j -i
a m .1 z-l- a m ,2 Z z .
z )m-4'1
m -i
+ am,n^ — 1 Z
^1 )
am,e, am, t , .` . . . étant des nombres entiers positifs,
qui en vertu de la relation (a) satisfont ā l'équation :
am, x = (x + 1) a m _1, x + (m -- x) a m _1.
(2)
D'aprēs les valeurs trouvées de Z1, Z2,
ōnapourm= 1,2,3,4
Z3,
Z,
( 3)
am, x ,° am,m- - 1 -1.
— 1 ā
Or , si dans la formule (2) on pose
la place de A , on se convaincra aisément que cette re—
fation subsiste quelle que soit la valeur de m.
L'intégration de l'équation 'aux différences finies
(2) fournirait l'expression générale de a m,x. Mais on
arrivera plus promptement ā la solution cherchée, si
I'on observe qu'on peut mettre l'équation (1) sous la
forme
m-1
,o ^- a m ,1Z +, a»>,2Z 2
+ am,m-1 Z
= (1 —z)m+t(l -}-2mz+3mzz+
),
d'oū l'on tirera en égalant dans les deux membres les
coefficients des puissances semblables de z
am,
x = ^x - f- 1),»
(
m
9
1) xm + /m -21- 1 ` ^x a 1)»,
(4)
1)2. (m t 1) l m ,
oū nous avons designé par (m p 1 ) le coefficient de
II.
13
182
Sidler, sur une s ērie alg ē brique.
x" dans le développement de (1 -}- x)n'+' de sorte que
ce symbole équivaut ā zéro, lorsque p surpasse m -F-1,
de même pour toutes les valeurs négatiVes de p. Cela
posé , on déduit encore de l'identité précédente
-l- 1) „' — (nn 1 I) ( m
(5)
+(m2
11 (m -1- r-1) m .
+
r)
n
+
. .(- 1)m +r(m-}-r)1m.
r étant un nombre entier positif quelconque inclusivement zéro , et m un des nombres 1, ^ 2, 3, 4....
in inf.
§. 2. On peut encore représenter le coefficient
a,,;l sous une forme qui diffère essentiellement de l'équation (4).
En effet, concevons que l'on forme toutes les com binaisons des éléments 1, 2, 3... . n ā la classe p,
cbaque élément étant r ēpété un nombre illlimité de fois,
et désignons ces différents groupes dans l'ordre de
leur rang respectivement par
( p) i (p )a' (p ) s
\/
11P e
chaque groupe représentant le produit des éléments
qui y entrent.
Prenons maintenant dans l'équation (2) successivement
1, A = 2, . . enfin A = m — 1, on aura:
=
2am -1,1 ±
am ,1
a m,2 — 3 am- 1,2 '+ (m — 2) am- 1,1
am,3 — 4a i-1 3 + (tn —
am - 1,2
3)
etc.
Lorsque ā l'aide de ces formules on calcule successivement ces coefficients , saus jamais effectuer
Sidler , sur une sērie algēbrique•
183
aucune reduction, on trouvera d'après la notation
convenue :
_ (( u l ( 1 -}- 1 l
A. } ` 1 l
I (h
( n l ( ^ +9
.
. . -iAl
+ n, l. — l ^, /.1 \ Il —
1/f
±
\1/ \Il
\ ^^ g
— Z ^ t-1
(
kn -°- 1 /1
par exemple :
86,2
X 3 • 3 • 3 -}- 3 . 3 X 1 • 2 . 3
-}-1• 2X 2•3•3-1-2•!irX1•2•2
1 • 3X2 . 2.3 + 3 . 3 >< 1 • 1 • 3 i
+1 •i4X2• 2 • 2 + 3 •4X 1 • 1 • 2
-}- 2 . 2 X 1 • 3 . + 4 . 4 X 1 1 • l• 1.
La formule (3) donnera au contraire
«1 ) •
a 6,2
§. 3.
G • 18•
26
Il resulte
rés ul te de 1'ēquation (2) :
1'équat
m-1
m -2
gj(ll) —
m -1
X—.
m
.
—
A—.
-
2
^ 11
+ l) am--i,l '7'
résulteaio'qn
1) tl m _.1,1 -1 =
R=1
.
.
-l-
l) 8 61_1 ,1
-f-
(m — A --1) am
Ā=„ t
l
!
>{ )
par sufte :
m -2
m -1
=m
^ =u
=o
d'oū l'on concluera , a 1,o étant é g al à 1,
a m,o -l•' a 10,1
°1
2
3•••• m
Or, nombre a am,,,, + c = o , r etant
étant u
ēciezéro
renm
r positif quelconque incēc résument z ēro ,
pourrons encore ēc
nt
m+r-
• • •
•m
am,l
r^ -- ^
•
nous
Sidler, auf
184
une série algēbrique.
Si dans cette dernière formule on remette pour
am,/ sa valeur tirée des équations (4) et (5), on trouvera premièrement
1 2• 3
m =
,n+r -1
= Z(m -}- r — Ic)n, • 1 — (m 9 1 ) + (m
1
) ...(-1)k(mk 1) }
k
puis, en ayant égard que le coefficient de ( m + r k)m
sera égal au coefficient de xl` dans ]e développement
de (1 — x) — ' (1 — x)m+' , par consēquent égal à
( -- 1)'` (m), on aura définitivement:
1 • 2•3• • •m=
(7)
rm
( — 1 )m(Ill\
iYr Jl
_ (m + 1')m — (T) (m + r — 1)m • •
r étant un nombre entier positif quelconque inclusivement zéro.
§. 4. Décomposant le second membre de l'ēquation identique
=
1 ± 2mz + 3mz2 +
a
m,e +
a m I z ....+atn m Al Z
(l
?) n1+1
,"
—
en fractions simples, on trouvera par les méthodes
connues en ayant égard ā la formule (3)
1 +2 mz +3 mz 2 •
(8)
'
(l
A nZ^m +t
(l
• •
(-1) m-1
m^^ ) 1
( l A-m°Z)2
oū nous avons posé
y) Am, ^ = ( m - 1 ) a m o
,m-2
'
+ (mn 2.)
Lorsque dans cette formule on remplace les coefficients am,r par leurs Valeurs tirées de l'équation (4),
il vient, après avoir mis —• A ā la place de :
(
) am 1
Sidler, sur une s ē rie al);
alalgēbrique
ē brique.
=
185
7Ä,
71
0114_0m { gl - 4- 1)
l^ 1' -1]1\ +
l-1]l\
l^ 1
^ 1^
s =o
^ + r m +1 l
2^ ' • (-1) - . 1. m^^ o ^ J
m + 1
z+2
+^ 2 ^^ r
--
iement alent — 1 ) x((nl --- -- r)"'.
r)m.y étant
le
d
alent ā celui de xx
dévelop
ēveloppement
ement
rera enttég
+à
x)m+'
x)
"'+' • (1 + x)±1 , par tireraent dtiegal
all ä
/n,- d\I , 011 en tit•era :
p
n ,(!)
mi
l) 0 1
1)01
1) 2.+i C )) ln,
Cl1
Amb
...(—
(10)
formule (9) que 1'l'on a
u t'
encore de la
déd
et l ' on deduit
m
Am), = o pour toutes les valeur
ilorsqu'
onites
i
que A
.
.relal'éq
De l'autr
eiine,
né, lorsqu'oll applique la rela
(z')
l'Zm
eq ation `l
au second membre de 1'equation (8),
on obtiendrait sans eine :
u
'
A
,l'on co ncluera1+ An,_1,L_ .1 {
((f1 I)
pro d'oū l'on'concluera, que A,,, ), soit divisible
.1
duit . moment . . . X . En eilet,
eife t, posant pour momelit
1I1 .
..
il
Am, =1 . .3 .ient
am; r,m = 111
-I- a(m
a 1 )_t_,•,m+i
)_i_,•fo rmulese on a d'ailleurs en vertu des
form>.iles (9) et (6) A,,, 1 =1 et Am,m = :1.2.3 • • • m,
qua tités`
et a11,,,,, = 1 'les quantites dd ēé sign ēes par
am,a, seront toutes des nombres entiers. Ainsi ' nous
aurons:
^
(m-1
n
,
^m —
(1) (z-1)m + ( ) (1,2)n,
^
(mod
.
.
• 2:• 3 • •
b),
(,1)A-1
m
si Cn >
z
11 mnl
Ā.
(12)
Sidler, -nur une s ē rle algébrique.
186
Si dans l'équation (8) on développe le second
membre suivant les p ūissances de z, on aura en égalant
de pari, et d'autre les coefficients des puissances sem-blables de z
(1 ±
( 13 ) =^
m !
Am m
/1m I -r-1
-_
1^
` m
'n- 1 1 i, I ' Am,l
A m,m -1... (— i )
^ 1 ^
Lorsqu' ōn remplace dans cette dernière les quantités
A,n,}, Amz• ••. par leurs valeurs tirées de (9), oli
trouvea,égdq
a rn ,m—?--} ='am,ti•
(l
m -1
lu1n,l {(a0) (1Y1 m 1,
+ r)m—
) — (l) /^1^ m-1 1 ,1) ....(-1)^ (2.) ^ ml^ r
—
d
)}
Observant que le coefficient de an, ), équant au
coefficient de xm dans le produit ( t — x) - i_',
cette ° formale se réduit ā
rm-F-r-- 1 0 }.... 1. 1\1 a
m+r ^
...
(l '1 ) (1 +r)'n — ^ m ^^ m,° '+ 1
m ) m,
( CYl / m,m-1
-
étant un des nombres 1, 2, 3, 4 .. . et r un nombre
entier positif quelconque inclusivement zéro.
in
§. 'S. Les équations (13) et (14) fournissent plusieurs formules qui représentent les nombres de Ber-noulli sous forme finie. En elfet, prenons-y successivement r= 0, 1, 2 .. . e t enfin r = k- 1 , il viendra
d'abord
le
(-l)nl._ ^ A
b-;-2
Z-i-1{ 1
l,m—
Z —
m,bCo)+l
\ ± ^ 1 ) + ^ 2 ) ...+ ^ t{-1 )
=1 1=1
-
^
]c
Z 1'm
»1-1
b_o
{ ( m)
0 +
^m ^ 1 )
r ^ m 2 2\1
...
\ k-1-1\
187
Sidler, sur une s ē rie alg ē brique.
algébrique.
équivaut äà
o fficient de (nl-1) 1-1 A1» ^ equivaut
-1
+^`sroduit
celu
,l sera
x)
ē me le coefficient
llnêmesavoir°ä'(
^'^' +^`s
savoir°à '( lck-1
Ainsi nous trouvon s
à ( 112+1'—^é1t) = ('(te+.1
egal
gal ä
suivantes :
deuxéquations
dqu^mm-^
,
- 1
.
.+ km_..
2,11
Am,»1 —
(m - I Ic —11
/
m
(
(15)
k9 l)1 ) Anl,l
Anr,t
tim,m— t
et encore
1 11
('mrn { 1) a
k11
2 111 4,"
^ 11 11
ci\
+^
(16)
l
+ ( m+^ i))u»dés
' dignéast
t
u »1
On a d'ailleurs
1211+2211
i { ß„I^ ( 2n
—\ 2)
-1
-l
12
,
B
ernoulli21
^
.
B»-1I1'
Tfinto • .
2 2 11 +1
2u-{-11
-1)»+1
. -i- k211+1
n3 1l ) 13 14
{(2n^
{(2u
^ 1) B k^ _ ^2u3
)
0
+2
+2
mk21
aDnt
Dutt Ic21
(
1111
" 1L
.2
- i-
t
2n+2 1
Bernolàli
r B „ le nn" nombre
en ddsigna
dés idésignant
dégéné- on gén é^^b1 = 1 • B2 —^30; B3 = ^
formule :
rale est donnee ^ par
donnée
13 „— 1 . 2 . 3
1
1
1
2
inl'. {
211^ • • • in ial'.
1- i-^
2 11 f 3211 1 4;
{
n (27t)2,11
oeff ient de k dans le
là g e
On concl a' de lä
iéqu
équations
équa
ēquations
ddveloppelnent
des
seconds
membres
des gene
dévveel oppdéveloppementon
dé
Sidler, sur une s ē rie alg ē brique.
188
m-}-2
(15) et (16) sera égal, soit à (- 1) 2 Bn, soit à zéro,
suivant que n1 représente un nombre pair ou un nombre
impair plus grand que 1.
Considérons d'abord la première de ces équations.
Le coefficient de k dans la factorielle
k +z
^ 3..+1)
_ (t+x) (k +2.--1) • • . .
(k+l) . k
1 • 2 • 3 • • . . (Ä+i)
A, ' (X—l) • • • 3 • 2 • t =
2 • 3 • • • X(X+i)
^
x -1'
sera
Ainsi le coeflicient •
(-l ■ "1° (tk+i)A ,“
cherché dans le développement de
a=^
sera
(-1)"1-1 ' "' d'où l'on concl.uera :
^a
A 2t,,t
_ A 2n,2 + A 2n,3
3
2
—
4
AN)
2u+l
( 17)
A 2n +1,1
A 2n+1,2
2
3
+ A2n +1,3
+
4
A 2n+9,211 +1
2 11 +2
e,
n étant un nombre entier positif quelconque plus grand
que zéro.
Cberchons enfin le coefficient de k dans le second
membre de l'équation (16) ou dans fe développement
de l( 1`+ +1- )an,, ^ . 'faut que désigne l'un des nombres
x =o
`
^
^
0, 1, 2, 3 . ...(tn-1), le coefficient, de k dans la
factorielle
1{-1-m
( m+l
— (k+a1-4) (k+m-2.-1)...(k+l)k(k— i)...(k-2.)
)—
1 • 2 • 3 • • . • ,• (m+1)
sera évidemment
•
Sidter, s
ē hrique.
1
l),.2.lX1.ie
alg
(m i)(m 1),.2.1X1
.
I • 2che
(m -}-1do
189
(-1) 1
nt cherch
rchéē sera dortc
nclZ—)
1 1 g Z—
( t z a°'>^
m1
na
) (m)
dereprésenten s aurons suivant que tnmr•epr ēsente
un nombre pair ou un nombre impair:
an
Le coeffi
82n,2
(2,2)
8 2„,o
a2n,1
((
//
101 ^ — \9 ^
(18)
a21,+1,0
/2r
1
a 211,20-1
//_
A22 11 1^^
122111
(—
l2n+ 1,2
( n-1°
I • 13„
8 2n+1,2n
•ln J+ l`
(a(211-1211-1-11
)n+r
/
1 ^ 2n 1 ^
0
1, 2, 3
iinquelcon desnombres
s formules on ēécrit
crit d'apr
d'après
ē s I'I'équation
ē quation
_ 1 ā la place de
('t + 1) a,n_1 ,x -E- (m —A) a,,
on ena satrs
sairs peine:
n ēé tant
tant u
(2)
8 3n
l
-1,11
°20-1,1
-h•
- sn
111)
I1
( )
( .2
'2n-l,2....
`^ 2n-1,211 -2
a'2n-1,2
q 11`
( 2J
411
12n-1)
— ( - 1 )n+1 (2n.1-I ) ß,
(19)
a2n,1
^•^
n3
u3
\
2ll
7211-1-1
7211+l
ll
/ c 2;
a 21-1,20-1
0
-
`
.
.
.
.
^1 ^ ^ 1 %
^^
=
)
ue
n ēquant
équant un no
entier quelconque plus
zzéro.
ē
dernières
derniè
for rr exemple, d'apres
d'après ces dernieres
On aur
Sidlermulessérie
3B1 —
`
—
5132 —
I
4
.
-
+b
Sidler, sur une s ērie algébrique.
190
h
7113 =
6
1
— 9B, = 8
m
15 "
120
—
-
f
^0_ - 51 +6
Z8 -i-
1191
66
;
2 4 16
70
1 191 _ 120
56
28
^
1
8
etc.
comme on a en géné—
concluera
encore,
On en
mal (i^^'1 ) = (n2nx) , que le dénominateur du eile nombre
de Bernoulli est nécessairement facteur du produit :
(n +1)(u±2)(n+3).
• • .(2n+1).
Aus einem Briefe von Hrn. Dr. Schläfli aus Batum,
So armselig die malacolopische Beute in Con19. Mai 1856. .
stantinopel ausgefallen , so wurde auf der diessmaligen Schwarzenmeerreise mein Sammeleifer um so besser belohnt. Mit dem
Vorsatz, Ihnen später mit der Sendung der gesammelten Sachen weitere Details darüber zu gehen, begnüge ich mich diessmal nur mit einer kurzen Zusammenstellung der Fundorte : Von
Sinope habe ich von meiner ersten Reise noch 4 Spec. (1 Bul.,
3 Hel.) mitgebracht. Während einem 8tägigen Aufenthalte im
schönen Trapezunt fand ich circa 26 Spec., worunter Sie , wie
ich ,hoffe,, .;recht hühsche Sachen finden werden, namentlich an
kleinen zierlichen Helices. In Battun angelangt wurde ich gleich
nach Redut-Kaleh beordert, wo ich während 3 Wochen wieder das Lagerleben genoss. Beim ersten Anblick dieses unw irthlichen Dünendorfes versprach ich mir 'wirklich nicht die 34
Spec., die mir in einigen Tagen in die Hände fielen. (Es sind