Sur une sērie algēbrique

180
Hartman und Mousson, über Pfäfers.
jetzt schon näher einzutreten, schiene ein ziemlich
müssiges Geschäft. Ueber den dritten Punkt ibres Gut-
achtens ,lautet die Meinung der Unterzeichneten dahin :
1) Dass eine bedeutende Menge von unbenutz-
tem Thermalwasser noch vorhanden ist;
2)
Dass Versuche zur Hebung eines Theiles des-
selben wünschbar wären ;
3) Dass mit Vorsicht geführte Stollen oder Bohr--
arbeiten am meisten Hoffnung auf Erfolg gebeu.
Sur une s ē rie alg ē brique
par
Georges Sidler, l)r.
en phil.
§. 1. Consid ē rons
la
s
ē
rie
1 -1-
2m
z -}-
3m
zz -}- 40'
z
3
+ • • • •
in inf.
in
ē
tant supposé un nombre entier positif.
Pour que cette série soit convergente, i l faut et
il suffit -que la valeur nu m érique de z soit inférieure
ā
l'unité.
En désignant
,
dans ce cas,
par Z , , , la
somme
de la
série. on aura
entre deux sommes cons ē
cu—
tives Z,n_, et Z„
1
la
relation
%mV
d• (z'Lm
—])
(a)
(1
Z
Comme on
a d'ailleurs Z o --
1 1
7 , on obtiendra
•successivement
—
... 1
_
1-1-- Z
1 -t-
4,
-4- 22
.
71 —
`) —I)2
,
12 _._..
`l^Z)3,
e 3
ll —Z),
^
(I
1 • 1 -{- i l
+
1
z 11 z 2
-{-
z 3 _
,
&
(1 — z) s
' :
'

Sidler, sur une s
ē rle algébrique•
181
et en général pour toutes les valeurs entières de m
plus
grandes que zéro :
z
.
m
-i
%
'1 j
-i
a
m
. 1 z-l- a
m ,2 Z
+ am,n ^ —
1
Z
^
)
m —
1
am,e,
a m , t , .` . . .
étant
des
nombres entiers positifs,
qui
en vertu de la relation
(a) satisfont
ā l'équation :
am,
x = (x +
1)
a m
_ 1,
x +
(m
-- x)
a m _1.
(2)
D'apr ē s les valeurs trouvées de Z1,
Z2, Z3,
Z,
ō
napourm= 1,2,3,4
am,
x ,° am,m- -
1 -1.
(
3 )
Or , si dans la formu l
e (2)
on pose
—
1 ā
la
place de A , on se convaincra aisément que cette re—
fation subsiste quelle que soit la valeur
de m.
L'intégration de l'équation 'aux différences finies
(2)
fournirait l'expression générale de a m ,x.
Mais
on
arrivera
plus promptement
ā
la solution cherchée, si
I'on observe qu'on peut mettre l'équation
(1) sous
la
forme
m -
1
,o
^ - a m
,1Z +, a»>,2Z 2
+ am,m-1 Z
=
(1 —z)m+t(l -}-2mz+3mzz+
),
d'o
ū
l'on tirera en égalant dans les deux membres les
coefficients
des
puissances semblables de z
am, x =
^ x -
f - 1),»
(
m
9
1) xm
+ /m
- 2 1
- 1 ` ^ x a 1)»,
(4)
1)2. (m t 1)
l m
,
o ū
nous
avons designé
par (m
p 1
) le coefficient de
z
)m-4'1
II.
13

182
Sidler, sur une s
ē
rie alg
ē
brique.
x" dans le développement
de (1 -}- x)n'+' de sorte que
ce symbole équivaut ā
zéro, lorsque p surpasse m -F-1,
de même pour toutes les valeurs négatiVes de p. Cela
posé , on déduit encore de l'identité précédente
(
5
)
-l- 1)
„
'
— (nn 1 I) (
m +
r)
n
+
+(m2
11
(m
-
1
-
r-1)
m
. . .(-
1)m
+r(m-}-r)1m.
r étant un nombre entier positif quelconque inclusi-
vement zéro , et m un des nombres 1, ^ 2, 3, 4....
in inf.
§.
2. On peut encore représenter le coefficient
a,, ;l sous une forme qui diffère essentiellement d e l'équa-
tion (4).
En effet, concevons que l'on forme toutes les com -
binaisons des éléments 1, 2, 3... . n ā la classe p,
cbaque élément étant r
ē
pété un nombre illlimité de fois,
et désignons ces différents groupes dans l'ordre de
leur rang respectivement par
( p)
i (p
)a' (p
) s
chaque groupe représentant le produit des éléments
qui y entrent.
Prenons maintenant dans l'équation (2) successi-
vement
1, A = 2, . . enfin A = m — 1, on aura:
am ,1
=
2am -1,1
±
am,2
— 3
am-1,2 '+ (m
— 2)
am- 1,1
a m,3 — 4a
i -1 3
+ (tn
—
3)
a m - 1,2
etc.
Lorsque ā l'aide
de ces formules on calcule suc-
cessivement ces coefficients , saus jamais effectuer
11 \/
P e

Sidler , sur une s ē rie alg ē brique• 183
aucune reduction, on trouvera d'après la notation
convenue :
_
((
u
l ( 1 -}-
1
l
(
n
l (
^ +9
I (
h
(
A. } `
1
l
A
l
+ n
, l. — l
^ , /.1
\
Il
—
1/f ±
\1/ \Il
— Z
^
t
-1
. . .
-i-
\
^ ^ g kn
-°- 1 /1
par
exemple :
8 6,2 X 3 • 3 • 3 -}-
3 . 3 X 1 • 2 . 3
-}-1•
2X
2•3•3-1-2•!irX1•2•2
i
1 • 3X2 . 2.3 + 3 .
3 >< 1 •
1 •
3
+1 •i4X2•
2 • 2
+
3 •4X
1 •
1 •
2
-}- 2 . 2 X 1 •
3 . + 4 . 4 X 1
1
• l•
1.
La
formule (3)
donnera
au contraire
a 6,2
« 1 ) •
2 6
G •
1
8 •
§. 3.
m -1
m -1
m
-2
+ l) am--i,l '7'
g j(ll)
X—. A—.
R=1
..
m - 2
1
.
.
!
— ^
1
- l
- l) 8
61 _1 ,1
-f-
(m — A --1) am
l
>{ )
Ā =„ t
par sufte :
m -1
m -2
= m
=
o ^ =u
d'o
ū
l'on concluera , a 1 , o
étant é
g al à 1,
a
m,o
-l•' a
10,1
2
°1
3
• • • •
m
étant Or,
nombre a a m ,,,, +
c
= o
, r etant u
iinc ē crireme nt ezéro
r positif quelconque inc ē c résument z ē
ro , nous
pourrons encore ē c
rés ul te
m+r
-
1'équat résulteatiol'équation
•
• m
• •
am,l
•
r^ -- ^
Il resulte
de
1'
ē
quation (2) :
—
1) tl
m
_.1,1
-1
=

184
S idler, auf une série alg ē brique.
Si dans cette dernière formule on remette pour
am,/
sa valeur tirée
des
équations
(4) et (5), on trou-
vera premièrement
1 2 • 3 m =
= Z(m -}-
r
— Ic)n, • 1 —
(m
9 1
) + ( m 1 )
...(-1)k(mk 1) }
,n+r -1
k
puis,
en ayant égard
que le coefficient
de (
m
+
r k)m
sera égal au coefficient de
x l ` dans ]e
développement
de (1
— x) — '
(1 — x)m+' , par
cons
ē quent
égal
à
( -- 1)'` (m), on aura définitivement:
1 • 2•3• • •m=
( — 1
)m(Ill\ rm
(7)
_ (m + 1')m — (T) (m
+
r — 1)m • •
iYr Jl
r
étant un nombre entier positif quelconque inclusi-
vement zéro.
§. 4.
Décomposant le second membre
de
l' ē qua-
tion identique
1
± 2mz + 3mz2 +
en fractions
simples, on trouvera
par
les méthodes
connues en
ayant égard ā la formule
(3)
1
+2
m z +3 mz 2 • • •
' (l
A
n
Z^ m
+t (l m^^
) 1
(-1)
m-1
( l A m° Z)2
-
o ū
nous avons
posé
( y) Am,
^ = (
m -
1 ) a
m
o
,m-2
)
am 1 ' + (mn 2.)
Lorsque dans cette formule on remplace les coeffi-
cients am,r
par leurs Valeurs tirées
de l'équation
(4),
il
vient, après avoir mis —•
A
ā
la place
de
:
= a
m,e
+
a m I
z ....+atn
m
Al
Z
,"
(l
— ?)
n1+1
(8)