Quelques remarques sur le principe de

Quelques remarques sur le principe de fonctorialit´e
Laurent Lafforgue
Institut des Hautes ´ Etudes Scientifiques, 35 route de Chartres,
F-91440 Bures-sur-Yvette
Expos´e I (2 mai 2006) : Principe de diagonalisation
1. Groupes lin´eaires ad´eliques
2. Le th´eor`eme de d´ecomposition spectrale de Langlands
3. L’expression spectrale des noyaux
4. Isomorphisme de Satake et groupe dual de Langlands
5. Le principe de fonctorialit´e de Langlands
6. Premi`ere id´ee de ce qu’on voudrait faire : comparer deux formules de traces “diagonales”
7. Diagonalisation d’un produit de formules de traces, au moyen de s´eries formelles

Expos´e I :
Principe de diagonalisation
1 Groupes lin´eaires ad´eliques
On sera toujours sur le corps des fonctions Fd’une courbe Xprojective, lisse et g´eom´etriquement connexe
sur un corps fini Fq.
On note |X|l’ensemble des places de Fidentifi´ees aux points ferm´es de X.
Pour toute place x∈ |X|, on note :
•Fxle compl´et´e x-adique de F,
•Oxl’anneau des entiers de Fx,
•deg(x) la dimension sur Fqdu corps r´esiduel κ(x) de Ox, avec donc |κ(x)|=qdeg(x)=qx,
•x:F×
x→Zla valuation qui accorde la valeur 1 aux ´el´ements uniformisants de Ox, et | • | =q−vx(•)
xla
norme associ´ee.
On notera A=AFl’anneau des ad`eles de Fet OA=OAFson sous-anneau des entiers.
On dispose de l’homomorphisme de degr´e
deg : A×→Z
(ax)x∈|X|7→ − X
x
deg(x)·x(ax).
Son noyau A×0contient F×d’apr`es la “formule du produit” et le quotient F×\A×0est compact.
Pour nous, un “groupe lin´eaire sur F” sera un groupe alg´ebrique r´eductif quasi-d´eploy´e sur Fde la forme
G=Y
i∈IG
ResEi/F GLri
o`u IGest un ensemble fini d’indices et o`u, pour tout i∈IG,Eid´esigne une extension finie s´epar´ee de Fet
ResEi/F GLrid´esigne le groupe alg´ebrique sur Fd´eduit de GLripar restriction des scalaires `a la Weil de Ei
`a F.
Il lui est associ´e un groupe lin´eaire ad´elique
G(A) = Y
i∈IG
GLri(AEi)
qui contient le sous-groupe ouvert compact maximal
KG
0=Y
i∈IG
GLri(OAEi)
=Y
x∈|X|
KG
0,x .
2

On note MGl’ensemble fini des sous-groupes de L´evi “standard” de G, c’est-`a-dire ceux dont la compo-
sante dans chaque ResEi/F GLriest un produit de blocs associ´e `a une partition de l’entier ri.
Le plus petit des sous-groupes de L´evi standard est le tore diagonal
TG=Y
i∈IG
ResEi/F Gri
m.
Puis on note PGl’ensemble fini des sous-groupes paraboliques Pde Gdont le sous-groupe de L´evi MP
est ´el´ement de MG. Pour chaque P∈ PG, on note NPson radical unipotent.
On dispose du groupe de Weyl de G
WG=Y
i∈IG
Sri
et des sous-groupes de Weyl WM⊆WGdes sous-groupes de L´evi M∈ MG.
Pour tous P, P 0∈ PG, on note Isom(P, P 0) l’ensemble des doubles classes
w∈WMP0\WG/WMP
telles que
w−1·MP0·w=MP,
ce qui implique
w−1·WMP0·w=WMP.
Si P, P 0, P 00 ∈ PGet w∈Isom(P, P 0), w0∈Isom(P0, P 00), w0west bien d´efini en tant qu’´el´ement de
Isom(P, P 00), si bien que PGdevient un groupo¨ıde.
2 Le th´eor`eme de d´ecomposition spectrale de Langlands
Le centre de Gest
ZG=Y
i∈IG
ResEi/F Gm,
et le centre de G(A) est
ZG(A) = Y
i∈IG
A×
Ei.
Il contient comme sous-groupe ferm´e
Y
i∈IG
A×
F.
On choisit dans celui-ci un sous-groupe discret AGtel que
AG→Y
i∈IG
A×
F
deg
−→ ZIG
soit injectif et de conoyau fini, et donc que AGsoit un sous-groupe discret et cocompact de ZG(F)\ZG(A).
Pour cela, on peut choisir par exemple une place x0∈ |X|, un ´el´ement a0∈F×
x0de valuation non nulle,
et poser AG= (aZ
0)IG.
Le quotient
G(F)\G(A)/AG
est localement compact et de volume fini pour la mesure de Haar dg sur G(A) qui attribue le volume 1 au
sous-groupe ouvert compact maximal KG
0.
3

On s’int´eresse `a l’espace de Hilbert
L2(G(F)\G(A)/AG)
muni de l’action par convolution `a droite de l’alg`ebre de Hecke
HG=C∞
c(G(A)) .
Plus g´en´eralement, si M∈ MGet
χ:ZM(F)\ZM(A)/AG→C×
est un caract`ere unitaire du centre ZM(A) de M(A), on peut consid´erer l’espace de Hilbert
L2(M(F)\M(A)/AG, χ)
des fonctions
ϕ:M(F)\M(A)/AG→C
telles que
•ϕ(z·m) = χ(z)·ϕ(m), ∀z∈ZM(A), ∀m∈M(A),
• |ϕ|est de carr´e int´egrable sur M(F)\M(A)/ZM(A).
Cet espace de Hilbert L2(M(F)\M(A)/AG, χ) est muni d’une action par convolution `a droite de l’alg`ebre
de Hecke HM=C∞
c(M(A)). Il contient comme sous-espace ferm´e invariant l’espace
L2
cusp(M(F)\M(A)/AG, χ)
des fonctions ϕdites cuspidales au sens que
ZNP(F)\NP(A)
dnP·ϕ(nP·m) = 0 ,∀m∈M(A),
pour tout sous-groupe parabolique P Mmuni de la mesure de Haar dnPde NP(A) qui attribue le volume
1 au quotient compact NP(F)\NP(A).
Une repr´esentation irr´eductible de HMde caract`ere central χest dite “automorphe cuspidale” quand elle
apparaˆıt comme facteur direct de L2
cusp(M(F)\M(A)/AG, χ). On sait que cet espace est la somme directe
hilbertienne de ces repr´esentations, chacune apparaissant avec la multiplicit´e 1.
Plus g´en´eralement, une repr´esentation irr´eductible de HMde caract`ere central χest dite “automorphe
discr`ete” quand elle apparaˆıt comme facteur direct de L2(M(F)\M(A)/AG, χ) lequel, comme nous allons
rappeler dans le cas M=G, n’est pas somme directe hilbertienne de ces repr´esentations : il contient aussi
un spectre continu.
Dans le but de donner la d´ecomposition spectrale de L2(G(F)\G(A)/AG), appelons “paire discr`ete” la
donn´ee d’un sous-groupe parabolique standard P∈ PGet d’une repr´esentation irr´eductible automorphe
discr`ete πde MP(A) dont le caract`ere central χπest trivial sur AG.
Pour P∈ PG, on d´esignera par
ρP:MP(A)→R×
+
la racine carr´e du caract`ere modulaire de MP(A), d´efinie par
mP·dnP·m−1
P=ρP(mP)2·dnP,∀mP∈MP(A).
Pour toute paire discr`ete (P, π), on note
L2
∞(MP(F)NP(A)\G(A)/AG, π)
l’espace des fonctions
ϕ:MP(F)NP(A)\G(A)/AG→C
telles que
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•ϕest invariante `a droite par un sous-groupe ouvert Kde KG
0,
•pour tout ´el´ement k∈KG
0, la fonction
ϕk:MP(F)\MP(A)/AG→C
m7→ ρP(m)−1·ϕ(m·k)
est dans le sous-espace πde L2(MP(F)\MP(A)/AG, χπ). On note
kϕk2=ZKG
0
dk · kϕkk2,
si dk est la mesure de Haar de volume 1 sur KG
0, c’est-`a-dire la restriction de dg.
Pour tout P∈ PG, on note |P|le nombre total de blocs matriciels qui sont les facteurs du groupe
alg´ebrique lin´eaire MP; et on note ΛPle tore complexe des caract`eres
MP(A)/AG→C×
qui se factorisent `a travers
MP(A)deg ◦Nm ◦det −−−−−−−−−→ Z|P|.
La dimension de ce tore est |P|−|IG|.
On note Im ΛPle sous-groupe r´eel compact de ΛPconstitu´e des caract`eres unitaires, et Re ΛPle sous-
groupe r´eel des caract`eres `a valeurs dans R×
+, avec la d´ecomposition
ΛP= Im ΛP×Re ΛP.
On met sur Im ΛPla mesure de Haar dλPde volume 1.
On remarque que ρP∈Re ΛP.
Tout caract`ere λP∈ΛPs’´etend en un caract`ere de P(A) via l’homomorphisme P(A)→MP(A), puis en
une fonction sur G(A) invariante `a droite par KG
0si on utilise la d´ecomposition d’Iwasawa G(A) = P(A)·KG 0
et l’invariance du caract`ere λPde P(A) par le sous-groupe P(A)∩KG
0.
Pour toute paire discr`ete (P, π), notons alors
L2
∞(Im ΛP×MP(F)NP(A)\G(A)/AG, π)
l’espace (dit “de Paley-Wiener”) des fonctions
Φ : Im ΛP×MP(F)NP(A)\G(A)/AG→C
telles que l’application compos´ee
λP7→ Φ(λP,•)
soit une combinaison lin´eaire finie `a coefficients dans
L2
∞(MP(F)NP(A)\G(A)/AG, π)
de caract`eres du tore Im ΛP.
On munit cet espace de la norme hilbertienne
kΦk2=ZIm ΛP dλP· kΦ(λP,•)k2.
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