Prolongement d`isomorphismes

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Prolongement d’isomorphismes
1 Isomorphisme
Nous rappelons qu’un homomorphisme de corps est un homomorphisme d’anneaux
qui conserve l’élément neutre de la multiplication.
Théorème Tout homomorphisme de corps est injectif.
Démonstration Soit σ;K L un homomorphisme de corps. Ker σest un idéal
de K.Ker σKcar σ1 1. Il en résulte Ker σ0 et par suite σest injectif.
Un homomorphisme injectif de corps σ;K L sera dit un isomorphisme de K
dans L. Le but de ce chapitre est de répondre à la question suivante:
Question: Ayant un isomorphisme σ;K K , une extension simple Ede Ket
une extension Ede K, est-il possible de prolonger σen un isomorphisme σde Edans
E?
Définition Soit Eet Fdeux extensions du même corps K. Un isomorphisme
σ;E F de Edans Fsera appelé un K-isomorphisme si, et seulement si, il laisse
fixe tout élément de Kc.à.d. σk k pour tout k K.
Exemple L’application ϕ; définie par ϕu u (le conjugué de u) est un
-isomorphisme de dans .
Théorème Soit Eet Fdeux extensions du même corps Ket σ;E F un K-
isomorphisme. σest une application K-linéaire.
Démonstration Nous avons
σax σaσx aσxpour tout a x K E
Théorème Soit σ;K K un isomorphisme de Ksur K,Eune extension de K,
Eune extension de Ket σ;E E un isomorphisme qui prolonge σ. Nous avons
σE:K E :K.
Démonstration Soit b e1enune base du K-espace vectoriel Eet soit fi
σeipour i1 2 n. La famille f1fnest une base du K-espace vectoriel σE.

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En effet, tout élément yσxσEpeut s’écrire sous la forme
yσxσx1e1xnen
σx1σe1σxnσen
σx1f1σxnfn
ce qui prouve que f1fnest une famille génératrice du K-espace vectoriel σE.
Les fisont linéairement indépendants: Supposons avoir
b1f1bnfn0
Comme σest une application surjective, il existe, pour i1 2 n,aiKtel que
biσai. Nous obtenons
σa1e1anenσa1σe1σanσen
b1f1bnfn0
Cette relation implique a1e1anen0 et ai0 pour i1 2 n. D’où bi0
pour i1 2 nce qui achève la démonstration.
2 Prolongement d’isomorphismes
Soit σ;K K un isomorphisme de Ksur K,E K a une extension simple de
Ket Eune extension de K. Nous allons étudier la question du prolongement de σen
un isomorphisme de Edans E.
2.1 Cas où aest transcendant sur K
Théorème σpeut être prolongé d’une manière unique en un isomorphime
σ;K X K X
qui transforme Xen X.
Démonstration Soit σ;K X K X l’application définie par
σa0a1X anXnσa0σa1XσanXn
C’est un simple exercice de prouver que σest un homomorphisme d’anneaux vérifiant
σX X et σkσkpour tout k K.σest injective, car si nous avons
σPσa0a1X anXn0

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alors σai0 pour i0 1 n. Il en résulte ai0 pour i0 1 net P0. σest
l’unique isomorphisme qui vérifie σX X et σkσkpour tout k K car, si τ
est une autre solution, alors nous avons
τa0a1X anXnτa0τa1τanXn
σa0σa1XσanXn
σP
pour tout P K X .
Théorème Si Eest une extension de K’ qui contient un élément atranscendant
sur K, alors on peut prolonger σ:K K d’une manière unique en un isomorphisme
E E qui transforme aen a.
Démonstration Soit F K a .Fest une extension de Kisomorphe à K X car
aest transcendant sur K. On peut prolonger σen un isomorphisme σ;K X K X
par σa0a1X anXnσa0σa1XσanXn
σest l’unique prolongement de σqui vérifie σX X et σkσkpour tout k K.
Cet isomorphisme σpeut être prolongé, d’une manière unique, en un isomorphisme σ
de K X , corps des fractions de K X , dans K X , corps des fractions de K X , tel que
σX X et σkσkpour tout k K. Finalement, soit ul’unique isomorphisme
de K a sur K X tel que u a X et ul’unique isomorphisme de K X sur K a
tel que u X a . Nous avons
KσK
K X σK X
K a uK X σK X uK a
où les flêches verticales sont les injections canoniques. Posons σuσu.σest un
isomorphisme et il vérifie
σa u σu a u σu a u σX u X a
et σk u σu k u σu k u σk u σkσk
σest unique, car σ σ uet usont tous uniques.
Remarque Si E K a alors σest bijectif.
Théorème Si σpeut être prolongé en un isomorphisme σ, alors
aσaest transcendant sur K.

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Démonstration Sinon, il existe des éléments b0b1bn, non tous nuls, tels que
b0b1a bnan0
Mais chaque bipeut s’écrire sous la forme biσbi, il en résulte
σb0b1a bnanσb0σb1aσbnan
b0b1abnan0
qui implique b0b1a bnan0, avec les binon tous nuls, qui prouve que aest
algébrique sur Ken contradiction l’hypothèse que aest transcendant sur K.
Ce qui précède permet d’énoncer :
Théorème σpeut être prolongé en un isomorphisme σde E K a dans Esi, et
seulement si, Econtient un élément atranscendant sur K.
2.2 Cas où aest algébrique sur K
Théorème Si Econtient un élément aalgébrique sur Ktel que
σIrr a K Irr a K
alors on peut prolonger σd’une manière unique en un isomorphisme qui transforme a
en a..
Démonstration Soit I a (resp. I a ) l’idéal de K X (resp. de K X ) engen-
dré par Irr a K (resp. par Irr a K ), u(resp. u) l’unique isomorphisme de K a
(resp. K X I a ) sur K X I a (resp. K a ) tel que u a X (resp. u X a ).
Comme dans le cas où aest transcendant sur K,σpeut être prolongé en σ.σpeut
être prolongé en un isomorphisme σde K X I a sur K X I a car, nous avons
σI a I a K du fait que σIrr a K Irr a K . Nous obtenons
KσK
K X σK X
K a uK X I a σK X I a uK a
où les flêches verticales du premier niveau sont les injections canoniques et celles du
second niveau sont les surjections canoniques. Posons σuσu.σest un isomor-
phisme et il vérifie
σa u σu a u σu a u σX u X a
et σk u σu k u σu k u σk u σkσk

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σest unique car σ σ uet usont tous uniques.
Remarque Si E K a , alors σest bijectif.
Théorème Si σpeut être prolongé en un isomorphisme σ, alors
aσaest algébrique sur Ket σIrr a K Irr a K .
Démonstration Soit P b0b1X Xnle polynôme minimal de asur K.
Nous avons b0b1a bnan0
et 0σb0b1a anσb0σb1aσan
qui prouve que aest algébrique sur K. Le polynôme
P b0b1XXn
où biσbiσbiest irréductible dans K X car σest un isomorphisme et Pest
irréductible dans K X . D’où
Irr a K P σPσIrr a K
Ce qui précède nous permet d’énoncer :
Théorème σpeut être prolongé en un isomorphisme σde E K a dans Esi,
et seulement si, Econtient un élément aalgébrique sur Ktel que σIrr a K
Irr a K .
Les théorèmes précédents peuvent être résumés en:
Théorème Si σ;KK,E K a est une extension simple de Ket E K a
une extension simple de K, alors il est possible de prolonger σen un isomorphisme σ
de Edans Etel que σa a si, et seulement si, une des deux conditions suivantes
est vérifiée:
–aest transcendant sur Ket aest transcendant sur K.
–aest algébrique sur K,aest algébrique sur Ket
σIrr a K Irr a K
Théorème Si E K a et E K a sont deux extensions simples du même
corps K, alors il existe un K-isomorphisme σde Esur Etel que σa a si, et
seulement si, une des deux conditions suivantes est vérifiée:
–aet asont tous les deux transcendants sur K.