Probabilités conditionnelles, loi binomiale

TES - Accompagnement: Probabilités conditionnelles,
conditionnelles, variable
aléatoire et loi binomiale
Exercice 1
L'asthme est une maladie inflammatoire chronique des voies respiratoires en constante augmentation.
En France, les statistiques font apparaître que, parmi les adultes, environ 4 % des hommes et 5 % des
femmes sont asthmatiques.
Dans la population française, on considère l'ensemble des couples homme-femme.
Partie A: Etude de l'état d'asthme du couple
On note:
H l'événement: « l'homme est asthmatique »
F l'événement: « La femme est asthmatique »
On admet que les événements H et F sont
indépendants.
1) Compléter l'arbre de probabilités ci-contre.
2) On note les événements:
A: « Aucun des deux adultes du couple n'est
asthmatique »
B: « Un seul des deux adultes du couple est
asthmatique »
C: « Les deux adultes du couple sont asthmatiques
»
a) Montrer que p(A) = 0,912
b) Calculer p(B) et p(C)
Partie B: Etude de la transmission de l'asthme au premier enfant
Les études actuelles sur cette maladie montrent que:
● Si aucun des parents n'est asthmatique, la
probabilité que leur enfant soit asthmatique est de 0,1.
● Si un seul des parents est asthmatique, la
probabilité que leur enfant soit asthmatique est de 0,3.
● Si les deux parents sont asthmatiques, la probabilité
que leur enfant soit asthmatique est de 0,5.
On note E l'événement: « Le premier enfant du couple
est asthmatique ».
1) Compléter l'arbre de probabilités ci-contre.
2) Calculer p(E).
3) Calculer p E ( A ) et interpréter le résultat.
( )
Déduire p E A et interpréter le résultat.
4) Quelle est la probabilité qu'un enfant non asthmatique ait au moins un de ses parents asthmatiques ?
Indication: On pourra chercher à calculer l'événement contraire.
Exercice 2
Une boîte de chocolats contient 50 % de chocolats au lait, 30 % de chocolats noirs et 20 % de chocolats
blancs. Tous les chocolats de la boîte sont de même forme et d'emballage identique.
Ils sont garnis soit de praliné soit de caramel et, parmi les chocolats au lait, 56 % sont garnis de praliné.
On choisit au hasard un chocolat de la boîte. On suppose que tous les choix sont équiprobables.
On note les événements:
L: « le chocolat choisi est au lait »
N: « le chocolat choisi est noir »
B: « le chocolat choisi est blanc »
A: « le chocolat choisi est garni de praliné »
A : « le chocolat choisi est garni de caramel »
Tous les résultats seront donnés sous forme décimale.
1) Traduire les données du problème à l'aide d'un arbre de probabilité.
2) Donner la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné sachant que c'est un chocolat au lait.
3) Déterminer la probabilité que le chocolat choisi soit au lait et garni de praliné.
4) Dans la boîte, 21 % des chocolats sont noirs et garnis de praliné.
Calculer la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné, sachant que c'est un chocolat noir.
5) Dans la boîte, 60 % des chocolats sont garnis de praliné.
a) Déterminer la probabilité que le chocolat choisi soit blanc et garni de praliné.
b) En déduire la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné sachant que c'est un chocolat blanc.
6) a) Calculer la probabilité que le chocolat soit blanc sachant qu'il est garni de praliné.
b) Calculer la probabilité que le chocolat soit noir sachant qu'il est garni de caramel.
7) On dispose de deux boîtes de chocolats identiques à celle décrite précédemment. Une personne prend au
hasard un chocolat dans la première boîte, puis un chocolat dans la deuxième boîte (les tirages sont
indépendants).
Déterminer la probabilité de l'événement C: « l'un des chocolats choisi est garni de praliné et l'autre est
garni de caramel ».
Exercice 3
Deux joueurs Roger et Raphaël disputent un match de tennis.
Dans cet exercice, on s'intéresse aux points gagnés par Roger lorsqu'il sert (c'est à dire lorsqu'il effectue la
mise en jeu).
A chaque point disputé, Roger dispose de deux essais pour son service. S'il rate ces deux essais, il perd le
point (on parle de double faute).
Roger s'apprête à servir. On note les événements:
A: « Roger réussit son premier service »
B: « Roger réussit son second service »
G: « Roger gagne le point »
Une étude sur les précédents matchs de Roger a permis d'établir que, lorsque Roger sert:
● il réussit dans 75 % des cas son premier essai et lorsque ce premier service est réussi, il gagne le point
dans 92 % des cas.
● s'il ne réussit pas son premier service, il réussit le second dans 96 % des cas et lorsque ce second service
est réussi, il gagne le point dans 70 % des cas.
Les probabilités demandées seront données sous forme décimale arrondie, si nécessaire, au millième.
1) Compléter l'arbre pondéré cicontre.
2) Quelle est la probabilité que
Roger fasse une double faute ?
3) Quelle est la probabilité que
Roger rate son premier service,
réussisse le second et gagne le point
?
4) Montrer que la probabilité que
Roger gagne le point est de 0,858.
5) Sachant que Roger a gagné le
point joué, quelle est la probabilité
qu'il ait réussi son premier service ?
6) Les deux joueurs disputent 4 points de suite (Roger servant à chaque fois). On admet que chaque point
joué est indépendant des points joués précédemment.
a) Quelle est la probabilité que Roger gagne exactement 2 points ?
Quelle est la probabilité que Roger ne gagne pas la totalité des 4 points ?
Exercice 4
Un club de natation propose à ses adhérents trois types d'activité: la compétition, le loisir ou l'aquagym.
Chaque adhérent ne peut pratiquer qu'une seule des trois activités.
30 % des adhérents au club pratiquent la natation en loisir, 20 % des adhérents au club pratiquent
l'aquagym et les autres adhérents pratiquent la natation en compétition.
Cette année, le club propose une journée de rencontre entre tous ses adhérents. 20 % des adhérents de la
section loisir et un quart des adhérents de la section aquagym participent à cette rencontre. 30 % des
adhérents de la section compétition ne participent pas à cette rencontre.
On interroge au hasard une personne adhérente à ce club. On considère les événements:
A: « La personne interrogée pratique l'aquagym »
C: « La personne interrogée pratique la natation en compétition »
L: « La personne interrogée pratique la natation en loisir »
R: « La personne interrogée participe à la rencontre »
1) Traduire les données à l'aide d'un arbre pondéré.
2) a) Calculer p(C ∩ R).
b) Le président du club déplore que plus de la moitié des adhérents ne participent pas à la rencontre.
Justifier son affirmation par un calcul.
3) On interroge une personne au hasard lors de la rencontre. Calculer la probabilité qu'elle soit de la section
compétition. Donner une valeur approchée du résultat arrondie à 10 −2 près.
4) Les tarifs du club pour l'année sont les suivants: l'adhésion à la section compétition est de 100 € et
l'adhésion à la section loisir ou à l'aquagym est de 60 €. De plus, une somme de 15 € est demandée aux
adhérents qui participent à la rencontre.
On appelle S la somme annuelle payée par un adhérent de ce club (adhésion et participation éventuelle à la
rencontre).
a) Compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de S:
si
p(X = si )
60
75
100
0,11
b) Calculer l'espéranbce mathématique de S et interpréter ce nombre.
115
0,35
TES - Accompagnement: Probabilités conditionnelles, variable
aléatoire et loi binomiale - Corrigé
Exercice 1
Partie A
1) Voir arbre ci-contre
2) a) p(A) = p( H ∩ F ) = 0,96 × 0,95 = 0,912
F
0,05
H
0,95
b) p(B) = p(H ∩ F ) + p( H ∩ F)
p(B) = 0,04 × 0,95 + 0,96 × 0,05 = 0,086
0,04
F
0,96
F
p(C) = p(H ∩ F) = 0,04 × 0,05 = 0,002
0,05
H
0,95
F
Partie B: Etude de la transmission de l'asthme au premier enfant
1) Voir arbre ci-contre
E
0,1
2) p(E) = p(A ∩ E) + p(B ∩ E) + p(C ∩ E)
p(E) = p(A) × p A ( E ) + p(B) × p B ( E ) + p(C) × pC ( E )
p(E) = 0,912 × 0,1 + 0,086 × 0,3 + 0,002 × 0,5
p(E) = 0,118
A
0,9
E
0,912
E
Ω
p ( E ∩ A ) 0,912 × 0,1 228
3) p E ( A ) =
=
=
≈ 0,773
p(E)
0,118
295
La probabilité qu'un enfant asthmatique n'ait aucun de
ses deux parents ashtmatique est égale à 0,773.
0,3
0,086
B
0,7
E
0,002
E
0,5
C
0,5
E
( )
228 67
=
≈ 0,227
295 295
La probabilité qu'un enfant asthmatique ait au moins un de ses deux parents asthmatiques est égale à 0,227.
pE A = 1 − pA ( E ) = 1 −
( )
4) p E A = 1 − p E ( A ) = 1 −
(
p E∩A
( )
p E
) = 1 − 0,912 × 0,9 = 1 −
1− p (E)
0,8208
228 17
≈ 0,069
= 1−
=
1 − 0,118
245 245
Exercice 2
1) Voir arbre ci-contre:
A
0,56
L
2) p L ( A ) = 0,56 (c'est écrit sur l'arbre)
0,44
A
0,5
3) p(L ∩ A) = p(L) × p L ( A ) = 0,5 × 0,56 = 0,28
A
Ω
0,3
4) 21 % des chocolats sont noirs et garnis de praliné
donc p(N ∩ A) = 0,21
p ( N ∩ A ) 0, 21
pN ( A) =
=
= 0, 7 (voir arbre complété
p ( N)
0,3
ci-dessous)
A
0,2
A
B
A
5) a) 60 % des chocolats sont garnis de praliné donc p(A)
= 0,6
On sait que: p(A) = p(L ∩ A) + p(N ∩ A) + p(B ∩ A)
0,6 = 0,28 + 0,21 + p(B ∩ A)
donc p(B ∩ A) = 0,6 − 0,21 − 0,28 = 0,11
b) p B ( A ) =
p (B ∩ A)
p ( B)
N
A
0,56
L
0,44
A
0,5
A
0,7
Ω
0,3
N
0,3
0,11
=
= 0,55
0, 2
A
0,2
A
6) a) p A ( B ) =
b) p A ( N ) =
p ( A ∩ B)
p (A)
(
p A∩N
( )
p A
0,55
=
B
0,11
= 0,183 à 10 −3 près
0, 6
0,45
A
) = p ( N ) × p ( A ) = 0,3 × 0,3 = 0, 225
N
1− p (A)
1 − 0, 6
7) Voir arbre ci-contre:
p(C) = 0,6 × 0,4 + 0,4 × 0,6 = 0,48
A
0,6
A
0,4
(soit le chemin A - A soit le chemin A - A)
0,6
A
0,4
A
0,6
A
0,4
A
Exercice 3
1) Voir arbre ci-contre
G
0,92
( )
A
2) p( A ∩ B ) = p( A ) × p A B
0,08
G
= 0,25 × 0,04 = 0,01
0,75
3) p( A ∩ B ∩ G) = 0,25 × 0,96 × 0,7 = 0,168
G
0,7
4) p(G) = p(A ∩ G) + p( A ∩ B ∩ G)
B
0,25
p(G) = p(A) × pG ( A ) + p( A ∩ B ∩ G)
p(G) = 0,75 × 0,92 + 0,168 = 0,858
0,3
0,96
G
A
0,04
B
5) pG ( A ) =
p (G ∩ A)
p (G )
=
0, 75 × 0,92
= 0,804 à 10 −3 près
0,858
6) Soit l'épreuve de Bernoulli qui consiste à disputer un point.
La probabilité que Roger gagne un point est égale à 0,858 (= probabilité d'un succès)
On répète 4 fois cette épreuve de Bernoulli de façon identique et indépendante.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de points gagnés par Roger (= nombre de succès)
X suit donc la loi binomiale de paramètres 4 et 0,858
 4
4− 2
a) p(X = 2) =   × 0,8582 × (1 − 0,858 ) = 6 × 0,8582 × 0,142 2 ≈ 0,089 à 10 −3 près
 2
 4
4− 4
b) p(X < 3) = 1 − p(X = 4) = 1 −   × 0,8584 × (1 − 0,858 ) = 1 − 1× 0,8584 × 1 = 1 − 0,8584 ≈ 0,458 à 10 −3
 4
près
S
Exercice 4
R
60 + 15 = 75
R
60
R
100 + 15 = 115
R
100
R
60 + 15 = 75
R
60
0,25
A
0,75
0,2
0,7
0,5
C
0,3
0,3
0,2
L
0,8
1) Voir arbre ci-dessus
2) a) p(C ∩ R) = p(C) × pC ( R ) = 0,5 × 0,7 = 0,35
b) p( R ) = p(A ∩ R ) + p(C ∩ R ) + p(L ∩ R )
( )
( )
( )
p( R ) = p(A) × p A R + p(C) × p C R + p(L) × p L R
p( R ) = 0,2 × 0,75 + 0,5 × 0,3 + 0,3 × 0,8
p( R ) = 0,54
La probabilité qu'une personne interrogée ne participe pas à la rencontre étant égale à 0,54, le président du
club a donc raison.
3) p R ( C ) =
p ( R ∩ C)
0,35
0,35
35
=
=
=
= 0,761 à 10−3 près
p (R )
1
−
0,54
46
1− p R
( )
4) a) voir arbre page précédente
( )
( )
p(S = 60) = p(A ∩ R ) + p(L ∩ R ) = p(A) × p A R + p(L) + p L R = 0,2 × 0,75 + 0,3 × 0,8 = 0,39
( )
p(S = 100) = p(C ∩ R ) = p(C) × p C R = 0,5 × 0,3 = 0,15
si
60
75
100
115
p(X = si )
0,39
0,11
0,15
0,35
Remarque: la somme des 4 probabilités est bien égale à 1
b) E(S) = 60 × 0,39 + 75 × 0,11 + 100 × 0,15 + 115 × 0,35 = 86,9
Un adhérent paye en moyenne 86,9 euros par an.