Cours exemples de lois à densité (loi uniforme et

Chapitre 8
Exemples de lois à densité
!
UNIFORME
I. LOI
!
La loi uniforme nous permet d’étudier les situations dans lesquelles on tire au hasard un
nombre dans un intervalle ! [ a;b ] .
!
!
1
Loi uniforme sur ! [ 0;1]
Soit X la variable aléatoire associée à l’expérience consistant à
un tirer un nombre décimal au hasard entre 0 et 1.
!
On considère que la probabilité d’obtenir un nombre entre ! x1 et
! x2 (dans l’intervalle ! [ x1 ; x2 ] ) est égale à l’aire du rectangle
colorié ci-contre, c’est-à-dire :
! P ( X ∈[ x1 ; x2 ]) = (x2 − x1 ) × 1 = x2 − x1
!
On remarque que cette probabilité ne change pas si on change
le sens des crochets.
!
Définition
Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur ! [ 0; 1] si et seulement si, pour tout intervalle I
inclus dans ! [ 0; 1] , la probabilité de l’événement «! X ∈I » est l’aire de l’ensemble des points
! M ( x; y ) tels que ! x ∈I et ! 0 ≤ y ≤ 1 .
!
Exemple
Soit U une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur ! [ 0;1] .
! P (U ∈[ 0, 4;0,6 ]) = ……………………………………
! P (U = 0,8 ) = …………………………………………..
!
Généralisation : loi uniforme sur ! [ a;b ]
!
Soit X la variable aléatoire associée à l’expérience consistant à un tirer un nombre décimal au
hasard entre a et b.
Chapitre 8 : Exemples de lois à densité
!1
f (t) =
1
b−a
L’aire du grand rectangle doit toujours être égale à 1 : il
faut pour cela que la hauteur du rectangle soit égale à :
1
1
b−a
!
.
b−a
La probabilité d’obtenir un nombre de l’intervalle! [ x1 ; x2 ]
inclus dans l’intervalle ! [ a;b ] est l’aire du rectangle colorié cicontre, c’est-à-dire :
! P ( X ∈[ x1; x2 ]) = ( x2 − x1 ) ×
!
1
x −x
= 2 1
b−a b−a
Définitions
Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur! [ a;b ] si et seulement si, pour tout intervalle I inclus
dans ! [ a;b ] , la probabilité de l’événement «! X ∈I » est l’aire du domaine :
! { M (x; y)tels que x ∈I et 0 ≤ y ≤ f (x)}
où f est la fonction définie par ! f (x) =
loi uniforme sur! [ a;b ] .
1
pour tout ! x ∈[ a;b ] : c’est la fonction de densité de la
b−a
!
!
Propriété
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur! [ a;b ] . Pour tout intervalle ! [ x1 ; x2 ] inclus
x2 − x1
dans! [ a;b ] : ! P ( X ∈[ x1 ; x2 ]) = b − a
!
Remarque : La probabilité que X appartienne à l’intervalle ! [ x1 ; x2 ] est le quotient des longueurs
des intervalles ! [ x1 ; x2 ] et ! [ a;b ] .
!
Exemple
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur! [1; 3] .
La fonction de densité est définie sur ! [1; 3] par : …………………….
! P ( X ∈[1;2 ]) = ………………………………..
! P ( X ∈[ 2; 3]) = ………………………………..
! P ( X ∈[1,99;2,01]) = ………………………………
! P ( X ∈[1; 3]) = …………………………………….
! P ( X = 2 ) = ……………………………………
!
!
!
Espérance et variance
Rappel : dans le cadre d’une loi discrète, l'espérance est donnée par la formule :
n
! E ( X ) = ∑ xi P ( X = xi ) . Nous allons prolonger cette formule au cadre continu en utilisant les
i=1
intégrales au lieu des sommes.
Chapitre 8 : Exemples de lois à densité
!2
Définition
L’espérance d’une variable aléatoire X à densité sur ! [ a;b ] est :
b
! E ( X ) = ∫ x f ( x ) dx où f est la fonction de densité.
a
!
Propriété
L’espérance d’une variable aléatoire X suivant la loi uniforme sur ! [ a;b ] est :
! E(X) =
a+b
2
!
Remarque : une espérance s’interprète en termes de moyenne : le résultat précédent signifie que
lorsqu’une expérience aléatoire faisant intervenir une variable aléatoire X suivant la loi uniforme sur
! [ a;b ] est répétée un très grand nombre de fois, la moyenne des valeurs prises par X est voisine de
a+b
!
(centre de l’intervalle ! [ a;b ] )
2
!
Définitions
• La variance d’une variable aléatoire X à densité sur ! [ a;b ] est :
b
! V ( X ) = ∫ x f ( x ) dx − ( E ( X ))
2
!
2
b
ou
a
! V ( X ) = ∫ ( x − E ( X )) f ( x ) dx
2
a
• L’écart-type d’une variable aléatoire X à densité sur ! [ a;b ] est la racine carrée de la variance,
c’est-à-dire :
! σ (X) = V (X)
!
Propriété
• La variance et l’écart-type d’une variable aléatoire X suivant la loi uniforme sur ! [ a;b ] sont
(b − a)2
respectivement : ! V ( X ) = 12
!
et ! σ ( X ) =
b−a
12
Exercice 1
Aux heures d’ouverture de la gare de Montgeron, un train passe toutes les 15 minutes environ à destination de
Paris. Un voyageur qui n’a pas eu le temps de se renseigner sur les horaires, se présente à la gare. On note X la
variable aléatoire donnant le temps d’attente, en minutes de ce voyageur dans la gare.
!
1) Quelle loi suit la variable aléatoire X ?
2) Calculer la probabilité que le voyageur
attende :
a) exactement 10 minutes
b) entre 5 et 10 minutes
Chapitre 8 : Exemples de lois à densité
c) plus de 12 minutes
3) Calculer l’espérance de X. Interpréter le
résultat.
4) Calculer la variance de X.
!3
!
Concevoir et exploiter une simulation sur tableur dans le cadre
d’une loi uniforme
Soit un demi-cercle C de centre I, de rayon 1 et de
diamètre ! [ AB ] . On choisit au hasard un point M sur
C et on appelle N le projeté orthogonal de M sur
! [ AB ] .
Soit l’événement E : « la distance IN est supérieure
à 0,5. »
!
!
1) Justifier que la situation étudiée relève d’une loi uniforme sur un intervalle ! [ a;b ] à
préciser.
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
!
2) Concevoir une simulation de 1000 choix au hasard d’un point M de C et de la valeur prise
par la distance IN.
Colonne A : ……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
!
Colonne B : ……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
!
Colonne C : ……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
!
3)
!
Exploiter la simulation pour évaluer la probabilité p de l’événement E.
Colonne D : ……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
!
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II.
LOI EXPONENTIELLE
!
La loi exponentielle nous permet d’étudier des situations telles que la radioactivité ou durée
de fonctionnement d’un système non soumis à un phénomène d’usure (taux de désintégration ou
taux d’avarie constant).
Le calcul de probabilité est quasiment similaire à celui de la loi uniforme mais deux choses
changent :
• le nombre n’est plus choisi au hasard sur un intervalle ! [ a;b ] mais sur l’intervalle! [ 0;+∞ ]
• la fonction de densité n’est plus la même
!
Fonction de densité de la loi exponentielle
Définition
La loi exponentielle de paramètre ! λ , où ! λ > 0 , est la loi de densité dont la fonction de densité est
définie sur ! [ 0;+∞ ] par :
−λx
! f ( x) = λ e
Calculs de probabilités
Propriété
Soit T la variable aléatoire suivant la loi exponentielle de
paramètre ! λ > 0 et soit ! [α ; β ] un intervalle inclus dans ! [ 0;+∞ ] .
La probabilité de l’événement « ! T ∈[α ; β ] » est l’aire du
domaine colorié ci-contre, c’est-à-dire :
β
β
α
α
−λx
! P (T ∈[α ; β ]) = P (α ≤ T ≤ β ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ λ e dx
Propriété
Soit T la variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre ! λ > 0 et soit ! t ≥ 0 .
La probabilité de l’événement « ! T ≤ t » est :
− λt
! P (T ≤ t ) = 1− e
!
!
!
Exemple
Soit T la variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre! λ = 0,8 , alors on a :
! P (T ≤ 3) = …………………….…………………….…………………….………………
Chapitre 8 : Exemples de lois à densité
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Espérance
!
Soit T la variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre ! λ > 0 :
!
Définition
L’espérance de T est le réel défini par :
α
! E (T ) = lim ∫ x f ( x ) dx
α →∞
0
!
Propriété
L’espérance de T est donné par :
α
1
E
T
=
(
)
!
x f ( x ) dx
λ ! E (T ) = αlim
→∞ ∫
0
!
Remarque
Si T est la variable aléatoire représentant la durée de fonctionnement d’un système non soumis à un
phénomène d’usure, et si T suit la loi exponentielle de paramètre! λ , alors ! E (T ) s’interprète comme
la durée de vie moyenne du système.
!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
Exercice 2
La durée de vie, en heures, d’une diode, est une variable aléatoire T suivant la loi exponentielle de paramètre
! λ = 0,0008. Déterminer la probabilité que la diode :
1) tombe en panne avant 4 000 heures
2) fonctionne sans panne au moins 5 000 heures
3) tombe en panne entre la 4 000ème et la 5 000ème heure
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