Cours exemples de lois à densité (loi uniforme et

Chapitre 8
!
LOI UNIFORME
!
La loi uniforme nous permet d’étudier les situations dans lesquelles on tire au hasard un
nombre dans un intervalle !.
!
Loi uniforme sur !
!
Soit X la variable aléatoire associée à l’expérience consistant à
un tirer un nombre décimal au hasard entre 0 et 1.
!
On considère que la probabilité d’obtenir un nombre entre ! et
!(dans l’intervalle !) est égale à l’aire du rectangle
colorié ci-contre, c’est-à-dire :
!
!
On remarque que cette probabilité ne change pas si on change
le sens des crochets.
!
Définition
Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur ! si et seulement si, pour tout intervalle I
inclus dans !, la probabilité de l’événement «!» est l’aire de l’ensemble des points
! tels que !et !.
!
Exemple
Soit U une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur !.
!……………………………………
!…………………………………………..
!
Généralisation : loi uniforme sur !
!
Soit X la variable aléatoire associée à l’expérience consistant à un tirer un nombre décimal au
hasard entre a et b.
a;b
[ ]
0;1
[ ]
x1
x2
x1;x2
[ ]
P X ∈x1;x2
[ ] ( )
=(x2−x1)×1=x2−x1
0; 1
[ ]
0; 1
[ ]
X∈I
M x;y
( )
x∈I
0≤y≤1
0;1
[ ]
P U ∈0, 4; 0, 6
[ ] ( )
=
P U =0,8
( )
=
a;b
[ ]
! 1
Chapitre 8 : Exemples de lois à densité
Exemples de lois à densité
I.
1

L’aire du grand rectangle doit toujours être égale à 1 : il
faut pour cela que la hauteur du rectangle soit égale à :
!.
La probabilité d’obtenir un nombre de l’intervalle!
inclus dans l’intervalle !est l’aire du rectangle colorié ci-
contre, c’est-à-dire :
!
!
Définitions
Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur!si et seulement si, pour tout intervalle I inclus
dans !, la probabilité de l’événement «!» est l’aire du domaine :
!
où f est la fonction définie par !pour tout !: c’est la fonction de densité de la
loi uniforme sur!.
!
!
Propriété
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur!. Pour tout intervalle ! inclus
dans! : !
!
Remarque : La probabilité que X appartienne à l’intervalle ! est le quotient des longueurs
des intervalles ! et !.
!
Exemple
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur!.
La fonction de densité est définie sur ! par : …………………….
!……………………………….. !………………………………
!……………………………….. !…………………………………….
!……………………………………
!
!
Espérance et variance
!
Rappel : dans le cadre d’une loi discrète, l'espérance est donnée par la formule :
!. Nous allons prolonger cette formule au cadre continu en utilisant les
intégrales au lieu des sommes.
1
b−a
x1;x2
[ ]
a;b
[ ]
P X ∈x1;x2
[ ] ( )
=x2−x1
( )
×1
b−a
=x2−x1
b−a
a;b
[ ]
a;b
[ ]
X∈I
M(x;y)tels que x ∈I et 0≤y≤f(x)
{ }
f(x)=1
b−a
x∈a;b
[ ]
a;b
[ ]
a;b
[ ]
x1;x2
[ ]
a;b
[ ]
P X ∈x1;x2
[ ] ( )
=x2−x1
b−a
x1;x2
[ ]
x1;x2
[ ]
a;b
[ ]
1; 3
[ ]
1; 3
[ ]
P X ∈1; 2
[ ] ( )
=
P X ∈1, 99; 2,01
[ ] ( )
=
P X ∈2; 3
[ ] ( )
=
P X ∈1; 3
[ ] ( )
=
P X =2
( )
=
E X
( )
=xiP X =xi
( )
i=1
n
∑
! 2
Chapitre 8 : Exemples de lois à densité
1
b−a
f(t)=1
b−a

Définition
L’espérance d’une variable aléatoire X à densité sur !est :
! où f est la fonction de densité.
!
Propriété
L’espérance d’une variable aléatoire X suivant la loi uniforme sur ! est :
!
!
Remarque : une espérance s’interprète en termes de moyenne : le résultat précédent signifie que
lorsqu’une expérience aléatoire faisant intervenir une variable aléatoire X suivant la loi uniforme sur
!est répétée un très grand nombre de fois, la moyenne des valeurs prises par X est voisine de
! (centre de l’intervalle !)
!
Définitions
•La variance d’une variable aléatoire X à densité sur ! est :
! ou !
!
•L’écart-type d’une variable aléatoire X à densité sur ! est la racine carrée de la variance,
c’est-à-dire :
!
!
Propriété
•La variance et l’écart-type d’une variable aléatoire X suivant la loi uniforme sur !sont
respectivement : ! et !
!
Exercice 1
Aux heures d’ouverture de la gare de Montgeron, un train passe toutes les 15 minutes environ à destination de
Paris. Un voyageur qui n’a pas eu le temps de se renseigner sur les horaires, se présente à la gare. On note X la
variable aléatoire donnant le temps d’attente, en minutes de ce voyageur dans la gare.
!
1) Quelle loi suit la variable aléatoire X ?
2) Calculer la probabilité que le voyageur
attende :
a) exactement 10 minutes
b) entre 5 et 10 minutes
c) plus de 12 minutes
3) Calculer l’espérance de X. Interpréter le
résultat.
4) Calculer la variance de X.!
a;b
[ ]
E X
( )
=x f x
( )
a
b
∫dx
a;b
[ ]
E X
( )
=a+b
2
a;b
[ ]
a+b
2
a;b
[ ]
a;b
[ ]
V X
( )
=x2f x
( )
a
b
∫dx −E X
( )
( )
2
V X
( )
=x−E X
( )
( )
2f x
( )
a
b
∫dx
a;b
[ ]
σ X
( )
=V X
( )
a;b
[ ]
V X
( )
=(b−a)2
12
σ X
( )
=b−a
12
! 3
Chapitre 8 : Exemples de lois à densité

Concevoir et exploiter une simulation sur tableur dans le cadre
d’une loi uniforme
!
Soit un demi-cercle C de centre I, de rayon 1 et de
diamètre !. On choisit au hasard un point M sur
C et on appelle N le projeté orthogonal de M sur
!.
Soit l’événement E : « la distance IN est supérieure
à 0,5. »
!
!
1) Justifier que la situation étudiée relève d’une loi uniforme sur un intervalle ! à
préciser.
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
!
2) Concevoir une simulation de 1000 choix au hasard d’un point M de C et de la valeur prise
par la distance IN.
Colonne A : ……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
!
Colonne B : ……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
!
Colonne C : ……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
!
3) Exploiter la simulation pour évaluer la probabilité p de l’événement E.
!
Colonne D : ……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
!
AB
[ ]
AB
[ ]
a;b
[ ]
! 4
Chapitre 8 : Exemples de lois à densité

LOI EXPONENTIELLE
!
La loi exponentielle nous permet d’étudier des situations telles que la radioactivité ou durée
de fonctionnement d’un système non soumis à un phénomène d’usure (taux de désintégration ou
taux d’avarie constant).
Le calcul de probabilité est quasiment similaire à celui de la loi uniforme mais deux choses
changent :
•le nombre n’est plus choisi au hasard sur un intervalle ! mais sur l’intervalle!
•la fonction de densité n’est plus la même
!
Fonction de densité de la loi exponentielle
Définition
La loi exponentielle de paramètre !, où !, est la loi de densité dont la fonction de densité est
définie sur ! par :
!
Calculs de probabilités
Propriété
Soit T la variable aléatoire suivant la loi exponentielle de
paramètre ! et soit ! un intervalle inclus dans !.
La probabilité de l’événement « ! » est l’aire du
domaine colorié ci-contre, c’est-à-dire :
!
Propriété
Soit T la variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre ! et soit !.
La probabilité de l’événement « ! » est :
!
!
Exemple
Soit T la variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre!, alors on a :
!…………………….…………………….…………………….………………
!
!
a;b
[ ]
0;+∞
[ ]
λ
λ >0
0;+∞
[ ]
f x
( )
= λ e−
λ x
λ >0
α ; β
[ ]
0;+∞
[ ]
T∈ α ; β
[ ]
P T ∈ α ; β
[ ] ( )
=P α ≤T≤ β
( )
=f x
( )
dx =
α
β
∫
λ e−
λ xdx
α
β
∫
λ >0
t≥0
T≤t
P T ≤t
( )
=1−e−
λ t
λ =0,8
P T ≤3
( )
=
! 5
Chapitre 8 : Exemples de lois à densité
II.