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Exercices Corrigés Processus Stochastiques
Book · May 2022
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Sghir Aissa
Université Mohammed Premier
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Universit´e Mohammed Premier Module : Chaˆınes de Markov et Martingales `a temps discret
Facult´e des Sciences OUJDA Facult´e Pluridisciplinaire de NADOR
Master (SPA) (18-19) Master (MMA) (21-22)
TD1 : Mouvement Brownien standard et Processus de Poisson
Exercice 1
1) Rappeler la d´efinition du mouvement Brownien standard B= (Bt, t 0) `a valeurs r´eelles et
d´efini sur un espace probabilis´e (Ω,A, P ).
2) Soit Yune v.a de loi N(0,1). On pose Xt:= tY pour tout t0. Montrer que le processus
Xn’est pas un mouvement Brownien standard.
3) Montrer que si Best un mouvement Brownien standard, alors sa fonction de covariance est
donn´ee par : Cov(Bs, Bt) = st, s, t 0.
4) Soit c > 0. Montrer que le processus : Bc
t:= 1
cBc2t, t 0est un mouvement Brownien
standard.
Exercice 2
Soit B= (Bt, t 0) un mouvement Brownien standard, `a valeurs r´eelles et d´efini sur un espace
probabilis´e (Ω,A, P ).
1) Montrer que : B1
t:= Btsi t0et B2
t:= tB1
t
si t > 0 et B2
0= 0sont deux mouvements
Browniens standard.
2) Montrer que Bt+Bs∼ N(0, t + 3s) pour tous 0 < s < t.
3) Calculer E(B2
t), E(B3
t) et E(BtBs)2pour tout 0 < s < t.
4) Rappeler la formule de la fonction caract´eristique d’une v.a gaussienne et trouver les moments
de Bd’ordre pairs et impairs.
Exercice 3
Soit N= (N(t), t 0) un processus de Poisson d’intensit´e λ > 0,efini sur un espace probabilis´e
(Ω,A, P ).
1) Calculer pour tous s, t 0 : Cov(N(s), N (t)) et EN(t)N(s)2
.
2) Soit s<tet k= 0, ..., n. Calculer : P(N(s) = k|N(t) = n).
3) Lorsque t+, montrer que : N(t)
tconverge en moyenne quadratique vers λ.
4) Lorsque t+, montrer que : N(t)
tconverge presque sˆurement vers λ.
5) Lorsque t+, montrer que : rt
λN(t)
tλconverge en loi vers N(0,1).
Exercice 4
Des autobus arrivent `a une station selon un processus de Poisson d’intensit´e λ.
1) Chaque autobus s’arrˆete un temps τ`a la station. Un passager qui arrive `a un instant θmonte
dans le bus si celui-ci est l`a, ou attend pendant un temps τ, puis, si l’autobus n’est pas arriv´e
pendant le τ, quitte la station et s’en va `a pied. D´eterminer la probabilit´e que le passager
prenne l’autobus.
1
Cewecti
n n
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-
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S
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C ) -
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B)
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2,
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B-B)
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