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Exercices Corrigés Processus Stochastiques
Book · May 2022
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Sghir Aissa
Université Mohammed Premier
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Université Mohammed Premier
Faculté des Sciences OUJDA
Master (SPA) (18-19)
Module : Chaı̂nes de Markov et Martingales à temps discret
Faculté Pluridisciplinaire de NADOR
Master (MMA) (21-22)
TD1 : Mouvement Brownien standard et Processus de Poisson
Exercice 1
1) Rappeler la définition du mouvement Brownien standard B = (Bt , t ≥ 0) à valeurs réelles et
défini sur un espace probabilisé (Ω, A, P ).
√
2) Soit Y une v.a de loi N (0, 1). On pose Xt := tY pour tout t ≥ 0. Montrer que le processus
X n’est pas un mouvement Brownien standard.
3) Montrer que si B est un mouvement Brownien standard, alors sa fonction de covariance est
donnée par : Cov(Bs , Bt ) = s ∧ t, ∀s, t ≥ 0.
1
4) Soit c > 0. Montrer que le processus : Btc :=
Bc2 t , t ≥ 0 est un mouvement Brownien
c
standard.
Exercice 2
Soit B = (Bt , t ≥ 0) un mouvement Brownien standard, à valeurs réelles et défini sur un espace
probabilisé (Ω, A, P ).
1) Montrer que : Bt1 := −Bt si t ≥ 0 et Bt2 := tB 1 si t > 0 et B02 = 0 sont deux mouvements
t
Browniens standard.
2) Montrer que Bt + Bs ∼ N (0, t + 3s) pour tous 0 < s < t.
3) Calculer E(Bt2 ), E(Bt3 ) et E(Bt − Bs )2 pour tout 0 < s < t.
4) Rappeler la formule de la fonction caractéristique d’une v.a gaussienne et trouver les moments
de B d’ordre pairs et impairs.
Exercice 3
Soit N = (N (t), t ≥ 0) un processus de Poisson d’intensité λ > 0, défini sur un espace probabilisé
(Ω, A, P ).
2
1) Calculer pour tous s, t ≥ 0 : Cov(N (s), N (t)) et E N (t) − N (s) .
2) Soit s < t et k = 0, ..., n. Calculer : P (N (s) = k|N (t) = n).
N (t)
3) Lorsque t → +∞, montrer que :
converge en moyenne quadratique vers λ.
t
N (t)
4) Lorsque t → +∞, montrer que :
converge presque sûrement vers λ.
rt t N (t)
5) Lorsque t → +∞, montrer que :
− λ converge en loi vers N (0, 1).
λ
t
Exercice 4
Des autobus arrivent à une station selon un processus de Poisson d’intensité λ.
1) Chaque autobus s’arrête un temps τ à la station. Un passager qui arrive à un instant θ monte
dans le bus si celui-ci est là, ou attend pendant un temps τ ′ , puis, si l’autobus n’est pas arrivé
pendant le τ ′ , quitte la station et s’en va à pied. Déterminer la probabilité que le passager
prenne l’autobus.
1
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Bs
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-
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N
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t-
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S
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-
(Be ) = Cos
-
C
Co
BE - B
(
s)
Bs+s,
Bs, s ) +
)
C
vs,t
snt
B
Co (3t -
bs)
V (B)
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-
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2,
u-
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V(Se-E)
B-B)
(B) +E(B)-7 Bte
E
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E(Bt)
F ( T Bu)
2
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BtBs p o - n e
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V(BLt B) ev (B-BttE)
b
V(Bt)
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t - S t y V(B
E-S+4J
(BE(B)
E
VBt)=
=
t+3S
BeNe,+))
t
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Ba)
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-
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V(BE)
+ x )
-
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B
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V(B
(tn)t
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4(tt,%
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C C
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=
2
Co2
a-t,
ta-s)
CoB_l-(n-9F2
,
Ba-s-(1-9B.)
Ba, Ba.s)- (2-5) (Ba- 4, Ka)
(a-t) Ca ( Sa ba-s)+ (a-4) (a-s) V(B
(a-s) - ( 2 -3) (-t)na)
l=
s
(2-t)
(2-t) (2 a(° -) )
-
AS>a-t
S E 5 -s>-t
C[7k,
k
Cs
(2-3) x 2
Ys) =s(a-4)-8-5E
BsSB a)
tKa,
(Bts)
(St B)
o B t B) -5 (sv
+st V (Ba)
ta|S/)
CN
(Snt)-
=
CKejhs)
s(2nt)-
E(ans)+ 5E
)
((-9
()
9
(2-9(a-s)(
B
)
)
5-st
N(4)-N() N s ) .
(
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v
Co
(N(),N(4))
N(¬)-NU))+V(NS1)
=
-
(se)
(N(),
(NS),
N(5))
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N(S)
t
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-Nis)
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N (4)
Cos(N(s), N ) Plas))
s(N(), (4)) =Asne)
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YM)=k,N(4)=)
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(N(E)=~)
YM)
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( ) " ( - )- l
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=\(Y)(2-H)
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E
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V(N(E)) =at
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N)
E(NA)-
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V.als) i i d
(a.1-P(a)
N()- M(T+D)
N(t3) [
N(E)
((
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(NG)-N(i-s
a ( s ) id
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NC) - )
=)N)-AE
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o
e
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-
N(o-7)
P(N (zlt)=)
()|
e
=o)
.
Université Mohammed Premier
Faculté des Sciences OUJDA
Master (SPA) (18-19)
Module : Chaı̂nes de Markov et Martingales à temps discret
Faculté Pluridisciplinaire de NADOR
Master (MMA) (21-22)
TD2 : Martingales à temps discret
Exercice 1
Soit (Bt , t ≥ 0) un mouvement Brownien standard et (Ft , t ≥ 0) sa filtration naturelle.
1) Montrer que E (Bt − Bs )2 |Fs = E Bt2 − Bs2 |Fs pour tous s < t.
2) Montrer que (Bt2 − t , t ≥ 0) est une martingale. En déduire E Bt2 |Fs , s < t.
3) Montrer en utilisant l’espérance conditionnelle que : E(Bs Bt2 ) = 0.
4) On admet que E(Z 4 ) = 3σ 2 si Z ∼ N (0, σ 2 ). Calculer E(Bs2 Bt2 ).
5) Utiliser le fait que la densité N (a, 1) est d’intégrale 1 pour calculer E(eσBt ).
σ2 t
6) En déduire que eσBt − 2 , t ≥ 0 est une (Ft , t ≥ 0)-martingale, (σ > 0).
Exercice 3
1) Soit X une v.a intégrable. Posons : Zn = E X|Fn , ∀n ≥ 1. Montrer que (Zn ) est une
(Fn )−martingale.
2) Soit (Xn , n ≥ 1) une suite de v.a(s) i.i.d positives telles que : EXn = 1, ∀n ≥ 1. Posons :
n
Q
Yn =
Xi . Montrer que le processus (Yn ) est une (Fn′ )−martingale où Fn′ = σ(X1 , ..., Xn ).
i=1
Donner la décomposition de Doob de (Yn2 , n ≥ 1).
3) Soit ϕ une fonction convexe telle que pour tout n ≥ 1, ϕ(Yn ) est intégrable. Monter que ϕ(Yn )
est une sous-martingale.
1
Exercice 4
Soient S et T deux temps d’arrêt. La tribu du passé jusqu’à l’instant T est définie par :
n
o
FT = A ∈ F∞ , ∀ n ≥ 0, A ∩ (T = n) ∈ Fn .
Montrer que :
1) FT est bien une tribu telle que FT ⊂ F∞ .
2) Si A ∈ Fn , alors A ∩ (T = ∞) ∈ F∞ .
3) (S < T ), (S = T ) et (S ≤ T ) sont dans FS et FT .
4) Si A ∈ FS , alors A ∩ (S ≤ T ) et A ∩ (S < T ) sont dans FT .
5) Si S ≤ T, alors FS ⊂ FT .
Exercice 5 (Identité de Wald)
Soit (Xn , n ≥ 1) une suite de v.a i.i.d telle que E(X1 ) < +∞. Soit T un temps d’arrêt aléatoire
indépendant de la suite (Xn ) tel que E(T ) < +∞.
T
X
1)- Monter que : E
Xi = E(X1 + ...... + XT ) = E(T )E(X1 ).
i=1
1
1
2)- Soit (Xn )n≥1 une suite de v.a(s) i.i.d telle que P (X1 = −1) = et P (X1 = 1) = . On pose :
2
2
n
X
Sn =
Xi et T = inf n , Sn = 1 . (C-à-d (Sn )n≥1 est une marche aléatoire)
i=1
n≥1
Montrer que T est un temps d’arrêt tel que E(T ) = +∞.
Exercice 7 (Inégalité de Kolmogorov)
Soit (Xn , n ≥ 1) une suite de variables aléatoires centrées et indépendantes. Posons Sn =
n
X
i=1
Utiliser l’inégalité maximale de Doob pour montrer que :
∀ λ > 0, P
1
max |Si | > λ ≤ 2 V (Sn ).
1≤i≤n
λ
2
Xi .
Exercice 8 : (La ruine des joueurs)
Rappelons que dans le problème de la ruine des joueurs, on suppose que deux joueurs A et B
jouent un nombre illimité de parties indépendantes, l’enjeu étant de 1 point par partie : si A
gagne la n-ème partie, il donne un point à B et réciproquement. La probabilité que le joueur A
(resp. B) gagne une partie donnée est 0.5 (resp. 0.5).
Pour n ≥ 1, on désigne par Yn le gain de A à la n-ème partie et l’on pose :
Y0 := 0,
Xn := Y0 + Y1 + ...... + Yn (n ≥ 0).
On suppose encore que la fortune initiale de A est de a points et celle de B de b points, où
a, b ≥ 1. Dans ce conditions, (Yn , n ≥ 1) est une suite de v.a i.i.d. De plus, Xn représente le
gain réalisé par A au cours des n premières parties. Après la n-ème partie, la fortune de A est
a + Xn celle de B de b − Xn , tant que ces quantités restent positives.
On définit donc un temps d’arrêt T adapté à la (Yn ) du jeu comme étant :
n
o
T := min n ≥ 1 : Xn = −a ou Xn = +b .
1)- Montrer que la suite (Xn ) est une martingale.
2)- Montrer que T est presque sûrement fini, (utiliser la martingale arrêtée).
3)- Posons : ra = P (XT = −a) (ruine de A) et rb := P (XT = +b) (ruine de B). Déterminer la loi
de XT .
b
4)- Utiliser le théorème d’arrêt pour montrer que : ra =
.
a+b
5)- En déduire que si la fortune du joueur B est infiniment grande (adversaire infiniment riche),
mais que celle du joueur A est toujours fini, alors la ruine de A est certaine.
Nous nous proposons d’évaluer la durée moyenne du jeu : E[T ], jusqu’à la ruine de l’un des joueurs
A ou B.
6)- Utiliser le théorème d’arrêt à la martingale (Xn2 − n) pour déduire que E(XT2 ) = E[T ] = ab.
7) Interpréter la valeur de E(T ) si A joue avec un adversaire infiniment riche.
3
.
Université Mohammed Premier
Faculté des Sciences OUJDA
Master (SPA) (18-19)
Module : Chaı̂nes de Markov et Martingales à temps discret
Faculté Pluridisciplinaire de NADOR
Master (MMA) (21-22)
TD3 : Chaı̂nes de Markov à temps discret
Exercice 1
On lance une pièce de monnaie équilibré : les résultats des lancers sont les v.a(s) indépendantes
Y0 , Y1 , Y2 ...... à valeurs 0 ou 1. Pour tout n ≥ 1, on pose : Xn = Yn + Yn−1 .
1) Comparer P (X3 = 0|X1 = 0, X2 = 1) et P (X3 = 0|X2 = 1).
2) (Xn )n≥0 est-elle une chaı̂ne de Markov.
1
Exercice 4
On considère la matrice de transition suivante sur E = {1, 2, 3, 4, 5} :
0.4 0.3 0.3 0
0
0 0.5 0 0.5 0
0
P=
0.5 0 0.5 0
0 0.5 0 0.5 0
0 0.3 0 0.3 0.4
1) Tracer le graphe de transition de cette chaı̂ne.
2) Quels son les états transitoires. Quelles sont les états récurrents.
3) Déterminer la loi stationnaire après justification de l’unicité.
4) Trouver si possible la période de chaque états.
Exercice 5 (Le modèle d’Ehrenfest à N = 3)
On dispose de deux urnes A et B. L’urne A contient trois boules numérotées 1, 2 et 3. L’urne B est
vide. On choisit au hasard un numéro entre 1 et 3, et on change d’urne la boule correspondante.
On recommence n fois cette opération. On note 0, 1, 2, 3 les quatre états possibles de l’urne
A : 0 boule, 1 boule, 2 boules, 3 boules.
1) Représenter par un arbre probabiliste l’évolution de l’urne A au cours des quatre premières
étapes.
2) Représenter le graphe de transition. Quelle est la matrice de transition ?
1
3) Trouver la loi stationnaire et comparer avec la loi B 3,
.
2
Exercice 6 (Pile ou Face)
On joue une suite infinie de Pile ou Face non biaisés : ceci fournit une suite de v.a(s) (Xn )n≥0 i.i.d
1
avec P (Xn = P ) = P (Xn = F ) = . A partir de cette suite on considère la chaı̂ne de Markov
2
(Yn )n≥1 définie par : Y1 = (X0 , X1 ), Y2 = (X1 , X2 ), et de façon générale Yn = (Xn−1 , Xn ) pour
tout n ≥ 1.
1) Déterminer les valeurs de l’espace d’états E.
2) Donner la matrice et le graphe de transition de (Yn )n≥1 .
3) La chaı̂ne est-elle irréductible, apériodique ?
4) Trouver la loi(s) stationnaire(s) si elle existe(nt).
5) Retrouver le résultat de (4) en calculant directement la loi P (Yn ).
Exercice 7
Notons : Eni :={le
premier retour à i est réalisé à la n-ème transition}, (n)
et : fij :=P partant de i, la première transition à j arrive à l’instant n .
On pose :
(n)
fij = P Enj |X0 = i = P Xn = j, Xn−1 ̸= j, ......, X1 ̸= j|X0 = i .
+∞
X
(0)
(1)
(n)
On convient que : fij = 0. On a fij = pij , et on pose aussi : fij =
fij .
n=0
Alors : fij =P partant de i, l’état j est occupé au moins une fois .
On dit que :
– Un état i est transitoire si fii < 1.
– Un état i est récurrent si fii = 1.
2
(n)
1) Montrer que : ∀ n ≥ 1, ∀ i ∈ E,
pii =
n
X
(k) (n−k)
fii pii
.
k=0
2) Montrer que : ∀ n ≥ 1, ∀ i ̸= j,
(n)
pij =
n
X
(k) (n−k)
fij pjj
.
k=0
:=P partant de i, on y retourne au moins m fois ,
(m)
lim hii =P partant de i, on y retourne une infinité de fois .
(m)
Posons : hii
hii :=
m→+∞
(m)
3) Montrer que : hii
= (fii )m et en déduire que :
a) Un état i est transitoire si hii = 0.
b) Un état i est récurrent si hii = 1.
Soit Ni le nombre de visites à l’état i, c-à-d : Ni =
+∞
X
1{Xn =i} .
n=1
5) Comparer E Ni
+∞
X
(n)
= E Ni |X0 = i et
pii .
n=1
6) Caractériser les états transitoires ou récurrents à l’aide de E Ni .
3
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