ExercicesCorrigs ProcessusStochastiques

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Exercices Corrigés Processus Stochastiques
Book · May 2022
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Sghir Aissa
Université Mohammed Premier
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.
Universit´e Mohammed Premier Module : Chaˆınes de Markov et Martingales `a temps discret
Facult´e des Sciences OUJDA Facult´e Pluridisciplinaire de NADOR
Master (SPA) (18-19) Master (MMA) (21-22)
TD1 : Mouvement Brownien standard et Processus de Poisson
Exercice 1
1) Rappeler la d´efinition du mouvement Brownien standard B= (Bt, t ≥0) `a valeurs r´eelles et
d´efini sur un espace probabilis´e (Ω,A, P ).
2) Soit Yune v.a de loi N(0,1). On pose Xt:= √tY pour tout t≥0. Montrer que le processus
Xn’est pas un mouvement Brownien standard.
3) Montrer que si Best un mouvement Brownien standard, alors sa fonction de covariance est
donn´ee par : Cov(Bs, Bt) = s∧t, ∀s, t ≥0.
4) Soit c > 0. Montrer que le processus : Bc
t:= 1
cBc2t, t ≥0est un mouvement Brownien
standard.
Exercice 2
Soit B= (Bt, t ≥0) un mouvement Brownien standard, `a valeurs r´eelles et d´efini sur un espace
probabilis´e (Ω,A, P ).
1) Montrer que : B1
t:= −Btsi t≥0et B2 t:= tB1
t
si t > 0 et B2
0= 0sont deux mouvements
Browniens standard.
2) Montrer que Bt+Bs∼ N(0, t + 3s) pour tous 0 < s < t.
3) Calculer E(B2
t), E(B3 t) et E(Bt−Bs)2pour tout 0 < s < t.
4) Rappeler la formule de la fonction caract´eristique d’une v.a gaussienne et trouver les moments
de Bd’ordre pairs et impairs.
Exercice 3
Soit N= (N(t), t ≥0) un processus de Poisson d’intensit´e λ > 0,d´efini sur un espace probabilis´e
(Ω,A, P ).
1) Calculer pour tous s, t ≥0 : Cov(N(s), N (t)) et EN(t)−N(s)2 .
2) Soit s<tet k= 0, ..., n. Calculer : P(N(s) = k|N(t) = n).
3) Lorsque t→+∞, montrer que : N(t)
tconverge en moyenne quadratique vers λ.
4) Lorsque t→+∞, montrer que : N(t)
tconverge presque sˆurement vers λ.
5) Lorsque t→+∞, montrer que : rt
λN(t) t−λconverge en loi vers N(0,1).
Exercice 4
Des autobus arrivent `a une station selon un processus de Poisson d’intensit´e λ.
1) Chaque autobus s’arrˆete un temps τ`a la station. Un passager qui arrive `a un instant θmonte
dans le bus si celui-ci est l`a, ou attend pendant un temps τ′, puis, si l’autobus n’est pas arriv´e
pendant le τ′, quitte la station et s’en va `a pied. D´eterminer la probabilit´e que le passager
prenne l’autobus.
1

Cewecti n n TD )
)B-(Be,t?-)
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(+
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(B-s) - t-s-F(Bs)
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N t-
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S
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bs)
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s)
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-B )
C ) -
(s,
B)
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=
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=o
2,

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t )
E
(B)
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Be N(t-)
(4)
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E,
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4
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+ 2
C(B,
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s<t)