Infinité du nombre de couples de nombres premiers

Infinit´e du nombre de couples de nombres premiers jumeaux (Denise Vella-Chemla 22.11.2015)
On associe `a chaque nombre entier la suite de nombres index´ee par l’infinit´e des nombres premiers successifs
et qui contient les restes obtenus dans les divisions euclidiennes de ce nombre par les nombres premiers en
question. Par exemple, au nombre 6 est associ´ee la s´equence s6= 0,0,1,6,6,6, . . . et au nombre 30 est
associ´ee la s´equence s30 = 0,0,0,2,8,4,13,11,7,1,30,30,30, . . .
Par commodit´e, on notera `a cˆot´e de chaque reste le diviseur permettant de l’obtenir. Ainsi, la s´equence
associ´ee `a 30 ci-dessus sera plutˆot ´ecrite : s6= 0 (2),0 (3),1 (5),6 (7),6 (11),6 (13),6 (17), . . .
On rappelle que deux nombres premiers jumeaux ont pour diff´erence 2. Par exemple, 3 et 5 sont des nombres
premiers jumeaux, 41 et 43 en sont ´egalement. Appelons “p`ere de jumeaux” un nombre pair compris entre
2 nombres premiers jumeaux. 4, compris entre 3 et 5, est un p`ere de jumeaux ; 42, compris entre 41 et 43,
en est un autre. Tout p`ere de jumeau (sauf 4) est un multiple de 6. En effet, les pairs de la forme 6k+ 2
(resp. 6k+ 4) ne peuvent ˆetre p`eres de jumeaux car le nombre qui les suit (resp. pr´ec`ede), ´etant un 6k+ 3,
est divisible par 3 et ne peut donc ˆetre premier.
Consid´erons nkun p`ere de jumeau ; si on appelle pkle plus grand nombre premier strictement inf´erieur `a
nk−1, la s´equence d’entiers snkassoci´ee `a nkest toujours de la forme suivante
snk= 0 (2),0 (3), x1(5), x2(7), . . . , xk(pk),1 (nk−1), nk(nk+ 1), nk(pj> nk+ 1), . . .
avec xi6= 1 et xi6=pi−1 pour tout pitel que 5 6pi< nk−1 (on appellera ces deux conditions “contraintes
pour pouvoir ˆetre un p`ere de jumeau”).
En effet, un nombre (en particulier un p`ere de jumeau) a pour reste 1 quand on le divise par le nombre qui
le pr´ec`ede. D’autre part, un nombre a pour reste lui-mˆeme dans toute division par un nombre qui lui est
strictement sup´erieur.
Posons maintenant l’hypoth`ese qu’on a d´enombr´e tous les p`eres de jumeaux sous pr´etexte qu’il en existerait
un nombre fini. Notons les s´equences de restes modulaires selon les nombres premiers successifs associ´ees `a
chacun d’eux dans un tableau. pder est le plus grand des aˆın´es de couples de jumeaux recens´es.
2 3 5 7 . . . pi−1pi=ni−1pi+1 =ni+ 1 pj>i+1 . . . pder
n10 0 x1α2. . . αi−11n1n1. . . n1
n20 0 β1x2. . . βi−1. . . . . . n2. . . n2
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ni−10 0 . . . . . . . . . xi−1. . . . . . . . . . . . ni−1
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nder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1nder
Consid´erons alors les nombres dont la s´equence de restes associ´ee commence par les yk(pk), cette s´equence
´etant fabriqu´ee de la fa¸con suivante `a partir des s´equences du tableau :
- si xk= 0 alors yk= 2 ;
- si xk=pk−2 alors yk= 0 ;
- si xk6= 0 et xk6=pk−2 alors yk=xk+ 1.
Ces nombres sont solutions du syst`eme de congruences
[Xk≡0 (mod 6)] ∧[Xk≡yk(mod pk),∀pktel que 56pk6pder].
Le th´eor`eme des restes chinois assure qu’il existe une infinit´e de nombres satisfaisant le syst`eme de congru-
ences ainsi modifi´e. Ces nombres parcourent toutes les possibilit´es combinatoires de valeurs des diff´erents
restes possibles selon les diff´erents modules possibles `a ´egales proportions.
Consid´erons le plus petit de ces nombres qui soit sup´erieur `a pder et qui v´erifie les contraintes que nous avons
appel´ees plus haut “contraintes pour pouvoir ˆetre un p`ere de jumeaux” (non-congruence `a 1 ou pk−1 selon
tout module premier pk). Ce nombre est un p`ere de jumeaux (on l’a choisi pour ¸ca).
1

Or il n’appartient pas `a l’ensemble fini des p`eres de jumeaux d´ej`a recens´es dans le tableau1. Pourtant, son
´ecriture fait de lui un p`ere de jumeau. Cela est en contradiction avec le fait qu’on avait recens´e dans le
tableau tous les p`eres de jumeaux. L’ensemble des p`eres de jumeaux est donc infini.
1On a “perturb´e la diagonale” pour l’obtenir, selon la m´ethode de Cantor.
2

Jumeaux et automates (Denise Vella-Chemla, 12.12.2015)
Il s’agit de démontrer que l’ensemble des nombres premiers jumeaux est infini. On rappelle que deux
nombres premiers jumeaux ont pour différence 2. Par exemple, 3et 5sont des nombres premiers jumeaux,
41 et 43 en sont également.
On définit deux fonctions pp(x)(pp pour prec_premier) et sp(x)(sp pour succ_premier) qui associent à
un nombre pair xdeux booléens de primalité selon que x−1et x+1 sont premiers ou non. Par convention,
le booléen 0signifie premier et le booléen 1signifie composé.
Par exemple, pp(8) = 0 car 8−1=7est premier tandis que sp(8) = 1 car 8 + 1 = 9 est composé.
Les valeurs des fonctions pp(x)et sp(x)sont notées dans le tableau ci-dessous pour xcompris entre 2et 24.
x24681012141618202224
pp(x)100010010010
sp(x)000100100101
On note de façon évidente que la séquence des valeurs de la fonction sp(x)est simplement un “décalage”
d’un cran de la séquence des valeurs de la fonction pp(x). En effet, ∀x, sp(x) = pp(x+ 2).
Notations : On désigne par la lettre :
-a: un entier pair tel que pp(x)=0et sp(x)=0;
-b: un entier pair tel que pp(x)=0et sp(x)=1;
-c: un entier pair tel que pp(x)=1et sp(x)=0;
-d: un entier pair tel que pp(x)=1et sp(x)=1.
Cette convention de notation permet d’ajouter une ligne au tableau en associant à chaque nombre pair x
la lettre l(x)lui correspondant selon les valeurs que prennent pour lui les fonctions pp(x)et sp(x).
x2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
pp(x)100010010010
sp(x)000100100101
l(x)c a a b c a b c a b c b
Supposons qu’à partir d’un certain rang, il n’y ait plus de couple de nombres premiers jumeaux (i.e. que le
nombre de nombres premiers jumeaux est fini). Alors la séquence de lettres à partir d’un certain rang ne
contiendrait plus aucune lettre a. A cause de la condition de décalage, les lettres de la séquence devraient
alors se succéder selon les règles suivantes :
- après une lettre bou une lettre dne pourraient venir qu’une lettre cou une lettre d;
- après une lettre cne pourrait venir qu’une lettre b;
On représente ces contraintes sur la séquence de lettres par un automate. Une flèche entre une lettre
xet une lettre yde l’automate exprime la condition “xpeut être suivie par ydans la séquence globale
des lettres”. On n’arrive cependant pas à aboutir à une contradiction en partant de l’hypothèse que la
séquence globale de lettres ne contient plus de lettre aà partir d’un certain rang.
b
c
d
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Primalité de nombres, comptage de lettres, régularités (Denise Vella-Chemla, 1.1.2016)
Il s’agit d’étudier si certains comptages de lettres, codant certaines propriétés de nombres, permettraient
de mettre au jour des régularités, qui amèneraient la possibilité d’effectuer certaines déductions.
On rappelle que deux nombres premiers jumeaux ont pour différence 2. Par exemple, 3et 5sont des
nombres premiers jumeaux, 41 et 43 en sont également.
On définit deux fonctions pp(n)(pp pour prec_premier) et sp(n)(sp pour succ_premier) qui associent à
un nombre pair ndeux booléens de primalité selon que n−1et n+1 sont premiers ou non. Par convention,
le booléen 0signifie premier et le booléen 1signifie composé. Par exemple, pp(8) = 0 car 8−1=7est
premier tandis que sp(8) = 1 car 8 + 1 = 9 est composé.
On définit l(n)la lettre associée à un nombre pair nqui vaut :
-asi pp(n)=0et sp(n)=0(ex :l(4) = l(18) = a) ;
-bsi pp(n)=0et sp(n)=1(ex :l(8) = l(24) = b) ;
-csi pp(n)=1et sp(n)=0(ex :l(10) = l(22) = c) ;
-dsi pp(n)=1et sp(n)=1(ex :l(26) = l(34) = d).
On définit 4 variables Xa(n), Xb(n), Xc(n)et Xd(n)de la façon suivante :
-Xa(n)=#{x pair et 3≤x≤n et l(x) = a}
(Xa(n)compte le nombre de couples de nombres premiers jumeaux inférieurs ou égaux à n+ 1) ;
-Xb(n)=#{x pair et 3≤x≤n et l(x) = b};
-Xc(n)=#{x pair et 3≤x≤n et l(x) = c};
-Xd(n)=#{x pair et 3≤x≤n et l(x) = d}.
On introduit la notation pi(n)qui compte le nombre de nombres premiers impairs inférieurs à n.
Sont fournies dans un tableau en fin de note les valeurs des variables pour les nombres de 4à100.
On constate les régularités suivantes :
1) pour les nombres nde lettre aou b,pi(n) = pi(n−2) + 1 (en effet, pour ces nombres n,pp(n)=0,
i.e. n−1est premier mais n−1n’a pas été compté comme nombre premier par pi(n−2), il faut
donc ajouter 1àpi(n−2) pour obtenir pi(n)) ;
2) pour les nombres nde lettre cou d,pi(n) = pi(n−2) (pour la raison opposée à celle fournie dans
la parenthèse ci-dessus) ;
3) pour les nombres nde lettre aou c,pi(n) = Xa(n) + Xc(n)et Xb(n) = Xc(n)(et donc pi(n) =
Xa(n) + Xb(n)) ; l’égalité pi(n) = Xa(n) + Xc(n)se comprend aisément en montrant sur deux
exemples qu’il y a autant de nombres premiers que de lettres qui se trouvent à leur gauche et qui
sont des lettres aou des lettres c(moyennant le passage imaginaire de la lettre cà gauche de n+ 1
devant le nombre 3qui n’a pas de lettre à sa gauche - on a coloré les nombres premiers en rouge et
les lettres qui se trouvent à leur gauche en bleu).
Illustration de pi(18) = 6 = Xa(18) + Xc(18) = 4 + 2 :
3a5a7b9c11 a13 b15 c17 a(19)
Illustration de pi(28) = 8 = Xa(28) + Xc(28) = 4 + 4 :
3a5a7b9c11 a13 b15 c17 a19 b21 c23 b25 d27 c(29)
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