VOCABULAIRE DES PROBABILITES

PROBABILITE CONDITIONNELLE D’UN EVENEMENT
Il s’agit de calculer la probabilité d’un événement B, sachant qu’un événement A s’est réalisé.
Définition.
Soit A et B deux événements, A étant de probabilité non nulle.
On appelle probabilité de B sachant que A est réalisé ( ou de B sachant A ) le réel noté p A ( B ) ou
p ( B ) défini par :
A
pA ( B ) =
p(A∩B)
p(A)
La probabilité sachant A est appelée aussi probabilité conditionnelle à A.
Cas particulier.
• Si A implique B, c’est à dire si A ⊂ B, on a A ∩ B = A d’où p A ( B ) = 1
p(B)
• Si B implique A, c’est à dire si B ⊂ A, on a A ∩ B = B d’où p A ( B ) =
p(A)
Probabilité d’une intersection.
Soit p une probabilité sur un univers Ω et soit A et B deux événements de probabilité non nulle.
p ( A ∩ B ) = p ( B ) × p B ( A ) et p ( A ∩ B ) = p ( A ) × p A ( B )
Formule des probabilités totales.
Soit A 1 , A 2 , … , A n n événements formant une partition de l’univers Ω , c’est à dire tels que :
• chaque A k a une probabilité non nulle
• deux quelconques d’entre eux sont incompatibles
• leur réunion est l’univers Ω
quelque soit l’événement E on a :
p ( E ) = p ( E∩A1 ) + p ( E∩A2 ) + … + p ( E∩An )
p ( E ) = p ( A 1 ) × p ( E ) + p ( A 2 ) × p ( E ) + ... + p ( A n ) × p ( E )
A
A
A
1
2
n
Calcul de p ( B ).
A ∩ B et A ∩ B étant incompatibles on a : p ( B ) = p (A ∩ B ) + p ( A ∩ B )
Indépendance de deux événements.
Soit p une probabilité sur un univers Ω .
Deux événements A et B de probabilités non nulles sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne
modifie pas la probabilité de réalisation de l’autre. On a alors:
p ( A ∩ B ) = p ( A ) × p ( B ) et aussi p ( A ) = p B ( A ) et p ( B ) = p A ( B ).
L’événement certain ( Ω ) est indépendant de tous les autres, ainsi que l’événement impossible ( ∅ ).
Indépendance de deux variables aléatoires.
Soit p une probabilité sur un univers Ω et deux variables aléatoires X et Y définies sur Ω .
On note xi toute valeur prise par X et yj toute valeur prise par Y .
Dire que X et Y sont indépendantes signifie que pour tout i et tout j les événements ( X = xi ) et ( Y = yj )
sont indépendants. Dans ce cas, pour tout i et tout j : p ( X = xi et Y = yj ) = p ( X = xi ) × p ( Y = yj ) .
Modélisation d’expériences indépendantes.
La résolution d’un problème de probabilité suppose une modélisation, c’est à dire le choix d’hypothèses
concernant les probabilités des événements élémentaires et le choix d’une méthode de traitement.
On veut déterminer la probabilité d’un événement A dans le cadre d’une expérience E.
• Expliciter les éléments qui seront pris en compte
• Ramener l’expérience E à une situation de référence ( tirage de boules dans une urne avec ou sans
remise par exemple )
• Calculer la probabilité de A dans le cadre de cette situation de référence
• Revenir au problème de départ en critiquant éventuellement la pertinence du modèle choisi.
Expériences répétées.
Lors de la répétition d’expériences aléatoires, on dira qu’elles sont indépendantes si le résultat de l’une
n’a aucune influence sur le résultat des autres.
Lors de la répétition d’expériences aléatoires indépendantes, la probabilité d’une liste de résultats est
égale au produit des probabilités de chacun de ces résultats.