SPÉCIALE MP* : DEVOIR SURVEILLÉ Soit n un entier naturel

SP´ ECIALE MP* : DEVOIR SURVEILL´ E
Soit nun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2 ; soit (e1, e2,...,en) la base canonique de Rn.Rnest
muni d’une structure d’espace vectoriel euclidien grˆace au produit scalaire (x|y) d´efini par la relation
(x|y) =
n
X
i=1
xiyi=XTY;
xet ysont deux vecteurs de Rnde coordonn´ees respectives (xi)i∈[1,n]et (yi)i∈[1,n];Xet Yd´esignent
les matrices colonnes associ´ees aux vecteurs xet y.
Soit Znle sous-ensemble des vecteurs de xde Rndont les coordonn´ees dans la base canonique sont
toutes des entiers relatifs :
Zn={x|x∈Rn, x = (xi)i∈[1,n], xi∈Z}.
Par d´efinition une “base” de l’ensemble Znest une suite (ε1, ε2,...,εn) de vecteurs tels que
(i) La suite (ε1, ε2,...,εn) est une base de Rn.
(ii) Chaque vecteur εi,i∈[1, n] appartient `a Zn.
(iii) Tout vecteur xappartenant `a Znest une combinaison lin´eaire des vecteurs εi,i∈[1, n] :
x=
n
X
i=1
xiεi
o`u les coefficients xi,i∈[1, n] sont des entiers relatifs.
Soit Mune matrice appartenant `a M(n;R), on note M= (mij ) o`u id´esigne la ligne et jla colonne.
Le sous-ensemble des matrices r´eelles d’ordre ninversible est not´e GL(n;R).
Soit M(n;Z) l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre ndont les coefficients sont des entiers relatifs,
on note GL(n;Z) le sous-ensemble des matrices inversibles de M(n;Z) dont l’inverse appartient `a
M(n;Z) :
GL(n;Z) = {M|M∈ M(n;Z)∩GL(n;R) et M−1∈ M(n;Z)}.
Notation : soient A,B,... des matrices appartenant `a M(n;R), les endomorphismes de Rnassoci´es
`a ces matrices dans la base canonique de Rnsont not´es a,b,...
Soit S+(n;R) l’ensemble des matrices sym´etriques A∈ M(n;R) telles que la forme quadratique
associ´ee q(x) = (x|a(x)) = XTAX d´efinisse un produit scalaire.
Le but du probl`eme est d’´etablir, pour une matrice Ade S+(n;R), une relation entre le minimum
m(A)de la forme quadratique q(x)d´efinie ci-dessus, lorsque xest un vecteur appartenant `a Zndiff´erent
du vecteur nul (not´e 0), et le d´eterminant de la matrice A. Cette relation est connue sous le nom de
relation d’Hermite.
Premi` ere partie : construction d’une base de Zn
I.1. D´eterminant d’une matrice de GL(n;Z) :
Soit Mune matrice appartenant `a M(n, Z) ; d´emontrer que, pour que cette matrice Mappar-
tienne `a l’ensemble GL(n;Z), il faut et il suffit que det M=±1.
I.2. Un r´esultat pr´eliminaire :
Soit Pl’application de Z×Zdans Zqui, `a deux entiers relatifs aet bassocie l’entier P(a, b)
´egal :
•au P.G.C.D. de aet bs’ils sont tous les deux diff´erents de 0,
•`a l’entier relatif aou blorsque respectivement bou aest nul i.e.
P(a, 0) = a, P (0, b) = b, P (0,0) = 0.
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Soit xun vecteur appartenant `a Z2de coordonn´ees aet b.´ Etablir l’existence d’un endo-
morphisme vde R2associ´e `a une matrice V, appartenant `a GL(2; Z), telle que l’image du
vecteur xpar l’endomorphisme vsoit le vecteur de coordonn´ees (d, 0) o`u dest l’entier P(a, b) :
Va
b=d 0, on posera V=α β α′β′.
I.3. Recherche de “base” dans Zn:
Soit x= (xi)i∈[1,n]un vecteur de Zn, diff´erent de 0, dont les coordonn´ees diff´erentes de 0 sont
des entiers premiers entre eux dans leur ensemble.
a. L’entier nest ´egal `a deux : d´emontrer qu’il existe un endomorphisme ude matrice U
appartenant `a GL(2; Z) tel que le vecteur xsoit l’image du vecteur e1par u:x=u(e1).
En d´eduire qu’il existe un vecteur y∈Z2tel que la famille (x, y) soit une “base” de Z2.
b. L’entier nest sup´erieur ou ´egal `a 3 : soit (di)i∈[1,n]la suite des entiers d´efinis par les relations
suivantes :
•dn−1=P(xn, xn−1) ;
•pour tout entier 1 6i6n−2, di=P(di+1, xi).
Pour tout entier kcompris entre 1 et n−1, ykest le vecteur dont les coordonn´ees sont
x1, x2,...,xk−1, dk,0,...,0.
D´emontrer l’existence d’un endomorphisme vn−1tel que vn−1(x) = yn−1(de coordonn´ees
x1, x2,...,xn−2, dn−1,0).
D´emontrer, pour tout entier k, l’existence d’un endomorphisme vkde matrice Vkappartenant
`a GL(n;Z) telle que l’image du vecteur xpar l’endomorphisme vk, soit le vecteur yk:
vk(x) = yk.
En d´eduire l’existence d’un endomorphisme ude matrice Uappartenant `a GL(n;Z) tel que
la relation x=u(e1) ait lieu.
c. D´emontrer qu’il existe n−1 vecteurs z2, z3,...,zntels que la famille (x, z2, z3,...,zn) soit
une “base” de Zn.
Deuxi` eme partie : Matrices Z-congruentes
Deux matrices Aet Bappartenant `a M(n;R) sont dites Z-congruentes si et seulement s’il existe
une matrice Uappartenant `a GL(n;Z) telle que la relation B=UTAU ait lieu. Il est admis que cette
propri´et´e est une relation d’´equivalence not´ee A≡B.
Soit Aune matrice de S+(n;R). L’ensemble des valeurs prises par la forme quadratique, associ´ee
`a A,q(x) = (x|a(x)) = XTAX, lorsque xest un vecteur non nul de Zn, est un ensemble de r´eels
strictement positifs. Il est admis que la borne inf´erieure m(A) de cet ensemble existe et est un r´eel
positif ou nul :
m(A) = inf
x∈Zn\{0}(x|a(x)) >0.
Le but de cette partie est de montrer que, dans S+(n;R), toute matrice Aest Z-congruente `a une
matrice Bde S+(n;R)telle que m(B)soit ´egal au coefficient b11.
II.1. Propri´et´es des matrices Z-congruentes :
Soient Aet Bdeux matrices de M(n;R)Z-congruentes. La matrice Aappartient `a l’ensemble
S+(n;R).
a. D´emontrer que la matrice Bappartient aussi `a l’ensemble S+(n;R).
b. ´ Etablir les relations : det A= det B,m(A) = m(B).
c. Soit Bla matrice d´efinie par la relation : B=2−2
−2 3 .´
Etablir que la matrice B
appartient `a l’ensemble S+(2; R) (utiliser la forme quadratique associ´ee `a cette matrice) ;
d´eterminer le r´eel m(B).
II.2. Propri´et´es du r´eel m(A) :
Dans cette question, la matrice A, associ´ee `a l’endomorphisme a, appartient `a l’ensemble
S+(n;R).

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a. Comparer les r´eels m(A) et a11.
Il est admis qu’il n’existe qu’un nombre fini de vecteurs xde Znv´erifiant (x|a(x)) 6a11.
En d´eduire l’existence d’au moins un vecteur zappartenant `a Znv´erifiant l’´egalit´e
(z|a(z)) = m(A).
Soient z1, z2,...,znles coordonn´ees de ce vecteur z. D´emontrer que les coordonn´ees
diff´erentes de 0 sont des entiers relatifs premiers entre eux dans leur ensemble et que le
r´eel m(A) est strictement positif.
b. D´emontrer qu’il existe une matrice BZ-congruente `a la matrice Atelle que la relation
b11 =m(B) ait lieu.
Troisi` eme partie : Majoration de m(A)
Le but de cette partie est d’´etablir, pour une matrice Aappartenant `a l’ensemble S+(n;R), une
relation simple donnant une majoration du r´eel m(A)au moyen du d´eterminant de A. Cette relation
est d’abord ´etablie pour les matrices d’ordre 2 en introduisant la d´efinition de matrice “r´eduite” puis
´etablie pour les matrices d’ordre n.
III.1. Relations v´erifi´ees par les coefficients d’une matrice de S+(2; R) :
On consid`ere une matrice Asym´etrique d’ordre 2 qui s’´ecrit A=a b
b c
a. D´emontrer qu’une matrice Aappartient `a S+(2,R) si et seulement si ses coefficients v´erifient
les relations :
a > 0, c > 0 et ac −b2>0.
b. D´emontrer que, pour qu’une matrice Aappartienne `a S+(2,R), il suffit que ses coefficients
v´erifient les relations 0 < a, 2|b|6a6c.
D´eterminer le r´eel m(A) lorsque les coefficients a,bet cv´erifient les in´egalit´es ci-dessus.
Une matrice Ade S+(2,R) est dite “r´eduite” lorsque ses coefficients a,bet cv´erifient les
relations : 0 < a, 0 62b6a6c.
III.2. Matrice “r´eduite” Z-congruente `a une matrice donn´ee :
Soit A1=a1b1
b1c1une matrice appartenant `a S+(2,R) telle que le r´eel m(A1) soit ´egal au
coefficient a1.
D´emontrer qu’il existe une matrice A2=a2b2
b2c2,Z-congruente `a la matrice A1, dont les
coefficients v´erifient les relations : 0 < a2, 2|b2|6a26c2.
´
Etablir cette propri´et´e en recherchant une matrice U=1λ
0 1, o`u λest un entier relatif, qui
v´erifie la relation suivante : A2=UTA1U.
En d´eduire qu’il existe une matrice A3(appartenant `a S+(2; R)) “r´eduite” et Z-congruente `a la
matrice A1.
III.3. Relation entre les r´eels m(A)et det A:
D´emontrer que, pour toute matrice Ade S+(2; R), les r´eels m(A) et det Asont li´es par la relation
suivante :
m(A)62
√3√det A.
V´erifier la relation ci-dessus pour la matrice Bd´efinie `a la question II.1.c.
III.4. Matrice Binduite par une matrice A:
L’entier nest suppos´e sup´erieur o`u ´egal `a 3. ´ Etant donn´e une matrice A= (aij ) de S+(n;R),
dont le coefficient a11 est diff´erent de 0, soit Vla matrice dont les coefficients vij , 1 6i6n,

4 SP´ ECIALE MP* : DEVOIR SURVEILL´ E
16j6n, sont d´efinis par les relations :
vij =
1 si i=j
a1j
a11
si i= 1 et j>2
0 dans les autres cas.
V=
1a12
a11
a13
a11 ... a1n a11
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
.
.
.....
.
.
0 0 0 ... 1
Soient al’endomorphisme de matrice associ´ee Adans la base canonique (e1, e2,...,en) de Rnet
fl’endomorphisme d´efini par les relations :
∀i, 16i6n, f (ei) = a11a(ei)−a1ia(e1).
a. D´emontrer que le sous-espace vectoriel Fde Rnengendr´e par les vecteurs e2, e3,...,enest
stable par l’endomorphisme f.
Soit Bla matrice d’ordre n−1 associ´ee `a la restriction de l’endomorphisme f(not´e encore
f) au sous-espace vectoriel Fdans la base (e2, e3,...,en). Il est admis que la matrice V,
d´efinie ci-dessus v´erifie la relation ci-apr`es :
A=VTa11 0
01
a11 BV.
b. ´ Etablir la relation qui lie les d´eterminants des matrices Aet Bentre eux.
c. ´ Etant donn´e un vecteur xde Rn:x=
n
P
i=1
xiei, soit xFle vecteur du sous-espace vectoriel
Fd´efini par la relation : xF=
n
P
i=2
xiei. Soit yle vecteur v(x) image du vecteur xpar
l’endomorphisme vde matrice associ´ee V. D´emontrer la relation :
(x|a(x)) = a11y2
1+1
a11
(xF|f(xF)).
D´emontrer que la matrice Bappartient `a l’ensemble S+(n−1; R).
III.5. Relation entre les r´eels det Aet m(A) :
Le but de cette question est d’´etablir, pour toute matrice Ade S+(n;R), la relation ci-dessous,
´etablie lorsque n= 2 :
m(A)64
3
n−1
2
(det A)1/n.(R)
a. Deux hypoth`eses sur la matrice Asont formul´ees :
•m(A) = a11 ;
•la relation (R) ci-dessus est vraie pour la matrice Bconstruite `a partir de la matrice
Acomme `a la question pr´ec´edente.
D’apr`es la question II.2.a., il existe un vecteur zF=
n
P
i=2
ziei(appartenant `a Zn−1) pour
lequel l’´egalit´e (zF|f(zF)) = m(B) a lieu.
D´emontrer qu’il existe un entier relatif z1tel que le vecteur z, de Zn, d´efini par la relation :
z=z1e1+zF, est transform´e par l’endomorphisme v, de matrice associ´ee V, en un vecteur
y(y=v(z)) dont la premi`ere coordonn´ee y1v´erifie |y1|61
2.
En d´eduire que la matrice Av´erifie la relation (R).
b. D´emontrer, pour toute matrice Ade S+(n;R), la relation (R).