Mécanique du solide

Actions intérieures :
RAPPELS DE MECANIQUE DU SOLIDE DE PREMIERE ANNEE
Résultante : F int = 0
Moment en O : MO ( F int ) = 0
Pint= 0
Ce document présente les connaissances acquises en première année en mécanique du solide.
Dans tout ce qui suit, sauf avis contraire, le référentiel d’étude absolu est appelé (R).
Eléments cinétiques du solide :
Définition d’un solide :
Système de points matériels {S} tel que : ∀(A, B) ∈ {S} on a AB = cste
Barycentre ou centre de masse : M.OG = ∫∫∫ d 3 m.OP ou ∫∫∫ d3 m.GP = 0 en posant M la masse totale de {S}
P∈S
P∈S
Energie cinétique :
Description du mouvement d’un solide :
Translations : tout segment [AB] lié à ce solide évolue parallèlement à lui-même au cours du temps.
∀M ∈ solide on a la vitesse d’un point M du solide : v (M,R ) = v (G ,R )
Rotation autour d’un axe fixe : tous les points du solide ont un mouvement circulaire d’axe ∆, appelé axe de rotation,
dans un plan perpendiculaire à ∆.
- les points de l’axe de rotation ont une vitesse nulle ;
- le vecteur instantané de rotation Ω est colinéaire à l’axe de rotation ∆ : Ω = Ω.u ∆ où Ω est la vitesse angulaire
de rotation et u ∆ un vecteur unitaire orientant l’axe ∆ ;
∀O ∈ ∆ on a la vitesse d’un point M du solide : v (M,R ) = Ω ∧ OM
Exemples : enfant sur un manège,mouvement d’un point à la surface de la terre en rotation autour de l’axe des pôles…
Actions extérieures : Force, moment, puissance et travail
Liaison (exemple liaison pivot) :
Liaison parfaite ⇔ Ptotale contact = Pliaison = 0
On se place dans le référentiel lié au support {S2}
Liaison pivot = rotation autour de l’axe fixe Δ = (I, e ∆ )
Pliaison= M I (RS
2
/ S1
).Ω S1 / S2 avec Ω S1 / S2 col e ∆
Pour une liaison parfaite :
⇒ M I ( RS2 / S1 ) ⊥ e ∆
Les théorèmes de la mécanique :
Exemple n°1 : poids
Théorème de la résultante cinétique (TRC) ou théorème du centre de masse :
Résultante : P = M.g exercé en G
2
1
M.v (G, R) pour un solide en translation
2
1
Ec ( S, R) = J ∆ .ω 2 pour un solide en rotation autour d’un axe ∆ avec la vitesse angulaire ω.
2
Ec ( S, R) =
Deux Cas peuvent alors se présenter :
- La translation rectiligne dans laquelle les points du solide décrivent une droite au cours du mouvement.
Exemple : voiture en mouvement sur une route rectiligne.
- La translation circulaire dans laquelle les points du solide décrivent un cercle au cours du mouvement.
- Exemple : nacelle suspendue à une grande roue.
Où J∆ est le moment d’inertie du solide. J∆ est homogène au produit d’une masse et du carré d’une distance
(kg.m-2)
ω est la vitesse angulaire du solide.
NB : d3m = μ(P).d3τ où μ(P) est la masse volumique en P
Moment cinétique par rapport à un axe Δ d’un solide en rotation:
L∆( S,R) = J ∆ .ω
M.
Moment en O : MO ( P) = OG ∧ P
dv(G, R)
=
dt
( R)
∑
F ext
actions extérieures
F ext est une force extérieure au solide (on compte également les forces d’inertie si le référentiel d’étude n’est pas
galiléen).
On pose la résultante cinétique ou quantité de mouvement : p(S,R) = M.v(G,R) , ce qui permet d’écrire :
Moment par rapport à un axe ∆ = (O, u ∆ ) : M ∆( P) = MO( P).u ∆
Puissance dans (R):
P ( P ,R) = P . v(G, R)
Travail : δW( P ) = M.g.dz.e z
M.
Energie potentielle : Ep = Mgz + cste (avec g = −g.e z )
Exemple n°2 : couple (de forces) :
Théorème du moment cinétique (TMC) appliqué à un solide en rotation autour d’un axe ∆ fixe :
dL∆
=
∑ M ∆( F ext )
dt ( R ) actions extérieures
Résultante : R = 0
dv(G, R)
d p(G, R)
=
dt
dt
( R)
( R)
Moment en O : MO ( R) = C ≠ 0
M ∆( F ext ) est le moment de F ext par rapport à l’axe ∆ (on compte également les forces d’inertie si le référentiel
d’étude n’est pas galiléen).
Moment par rapport à un axe ∆ = (O, u ∆ ) : M ∆( R) = C.u ∆ = C∆
Puissance dans (R):
P ( P ,R) = C∆.ω avec ω la vitesse angulaire du solide par rapport à l’axe ∆.
© JM DUCRET Rappels de mécanique du solide de première année
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Théorèmes de la puissance cinétique et de l’énergie cinétique
dEc ( S, R)
= Pext
dt
R
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∆Ec
A →B
= Ec ( B) − Ec( A) = Wext A →B
Théorèmes de la puissance mécanique et de l’énergie mécanique
dEm ( S, R)
= Pext, non conservative
dt
R
∆Em
A→B
(
= Em (B) − Em ( A) = Wext A →B
)
non conservative
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