Mécanique du solide

© JM DUCRET Rappels de mécanique du solide de première année page1/3
RAPPELS DE MECANIQUE DU SOLIDE DE PREMIERE ANNEE
Ce document présente les connaissances acquises en première année en mécanique du solide.
Dans tout ce qui suit, sauf avis contraire, le référentiel d’étude absolu est appelé (R).
Définition d’un solide :
Système de points matériels {S} tel que :
(A, B) {S}
∀ ∈
on a
AB cste
=
Barycentre ou centre de masse :
3
P S
M.OG d m.OP
∈
=
∫∫∫
ou
3
P S
d m.GP 0
∈
=
∫∫∫
en posant M la masse totale de {S}
NB : d
3
m = μ(P).d
3
τ où μ(P) est la masse volumique en P
Description du mouvement d’un solide :
Translations : tout segment [AB] lié à ce solide évolue parallèlement à lui-même au cours du temps.
M solide
∀ ∈ on a la vitesse d’un point M du solide :
( , ) ( , )
v M R v G R
=
Deux Cas peuvent alors se présenter :
- La translation rectiligne dans laquelle les points du solide décrivent une droite au cours du mouvement.
Exemple : voiture en mouvement sur une route rectiligne.
- La translation circulaire dans laquelle les points du solide décrivent un cercle au cours du mouvement.
- Exemple : nacelle suspendue à une grande roue.
Rotation autour d’un axe fixe : tous les points du solide ont un mouvement circulaire d’axe ∆ , appelé axe de rotation,
dans un plan perpendiculaire à ∆ .
- les points de l’axe de rotation ont une vitesse nulle ;
- le vecteur instantané de rotation
Ω
est colinéaire à l’axe de rotation ∆ :
.
u
∆
Ω = Ω où Ω est la vitesse angulaire
de rotation et
u
∆
un vecteur unitaire orientant l’axe ∆ ;
- O
∀ ∈ ∆
on a la vitesse d’un point M du solide : ( , )
v M R OM
= Ω ∧
Exemples : enfant sur un manège,mouvement d’un point à la surface de la terre en rotation autour de l’axe des pôles…
Actions extérieures : Force, moment, puissance et travail
Exemple n°1 : poids
Résultante :
P M.g
=
exercé en G
Moment en O :
O
M (P) OG P
= ∧
Moment par rapport à un axe ∆ = (O,
u
∆
) :
∆
∆
=
O
M (P) M (P).u
Puissance dans (R): P (
P
,R) =
P
.
v(G,R)
Travail : δW(
P
) =
z
M.g.dz.e
Energie potentielle : E
p
= Mgz + cste (avec
z
g g.e
= −
)
Exemple n°2 : couple (de forces) :
Résultante :
=
R 0
Moment en O :
= ≠
O
M (R) C 0
Moment par rapport à un axe ∆ = (O,
u
∆
) :
∆
∆
=
M (R) C.u
= C
∆
Puissance dans (R): P (
P
,R) = C
∆
. ω avec ω la vitesse angulaire du solide par rapport à l’axe ∆ .
© JM DUCRET Rappels de mécanique du solide de première année page2/3
Actions intérieures :
Résultante :
int
F 0
=
Moment en O :
int
O
M (F ) 0
=
P
int
= 0
Eléments cinétiques du solide :
Moment cinétique par rapport à un axe Δ d’un solide en rotation:
∆ ∆
ω
=
L (S,R) J .
Où J
∆
est le moment d’inertie du solide. J
∆
est homogène au produit d’une masse et du carré d’une distance
(kg.m
-2
)
ω est la vitesse angulaire du solide.
Energie cinétique :
=
2
c
1
E (S,R) M.v (G,R)
2
pour un solide en translation
∆
ω
=
2
c
1
E (S,R) J .
2
pour un solide en rotation autour d’un axe ∆ avec la vitesse angulaire ω .
Liaison (exemple liaison pivot) :
Liaison parfaite ⇔ P
totale contact
= P
liaison
= 0
On se place dans le référentiel lié au support {S
2
}
Liaison pivot = rotation autour de l’axe fixe Δ = (I,
e
∆
)
P
liaison
=
1 2
2 1
I S / S
S / S
M (R ). Ω
avec
1 2
S / S
col e
∆
Ω
Pour une liaison parfaite :
⇒
2 1
IS / S
M (R ) e
∆
⊥
Les théorèmes de la mécanique :
Théorème de la résultante cinétique (TRC) ou théorème du centre de masse :
=
( R)
dv(G,R)
M. dt
∑
ext
actions extérieures
F
ext
F
est une force extérieure au solide (on compte également les forces d’inertie si le référentiel d’étude n’est pas
galiléen).
On pose la résultante cinétique ou quantité de mouvement :
p(S,R) M.v(G,R)
=
, ce qui permet d’écrire :
=
( R) ( R)
dv(G,R) d p(G,R)
M. dt dt
Théorème du moment cinétique (TMC) appliqué à un solide en rotation autour d’un axe ∆
∆∆
∆ fixe :
∆
∆
=
∑
ext
actions extérieures
( R )
dL
M ( F )
dt
∆
ext
M ( F )
est le moment de
ext
F
par rapport à l’axe ∆ (on compte également les forces d’inertie si le référentiel
d’étude n’est pas galiléen).
Théorèmes de la puissance cinétique et de l’énergie cinétique
c
R
dE (S,R)
dt
=
P
ext

© JM DUCRET Rappels de mécanique du solide de première année page3/3
A B A B
c c c ext
E E (B) E ( A) W ∆
→ →
= − =
Théorèmes de la puissance mécanique et de l’énergie mécanique
m
R
dE (S,R)
dt
=
P
ext, non conservative
(
)
A B A B
m m m ext
non conservative
E E (B) E ( A) W ∆
→ →
= − =