Dérivée des fonctions algébriques

CQP 208
Chapitre 2
Dérivée des fonctions algébriques
Olivier Godin
Université de Sherbrooke
22 octobre 2015
Limite et continuité
1 / 103
Plan du chapitre
1
Taux de variation moyen
2
Taux de variation instantané
3
Dérivée en un point et fonction dérivée
4
Dérivée et continuité
5
Premières formules de dérivation
Limite et continuité
2 / 103
Plan du chapitre
6
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
7
Dérivée d’ordre supérieur
8
Dérivation des fonctions composées
9
Dérivation implicite
10
Références
Limite et continuité
3 / 103
Taux de variation moyen
Taux de variation moyen
1
Taux de variation moyen
Variation d’une fonction
Droite sécante et taux de variation moyen
2
Taux de variation instantané
3
Dérivée en un point et fonction dérivée
4
Dérivée et continuité
Limite et continuité
4 / 103
Taux de variation moyen
Variation d’une fonction
Variation d’une fonction
1
Taux de variation moyen
Variation d’une fonction
Droite sécante et taux de variation moyen
2
Taux de variation instantané
3
Dérivée en un point et fonction dérivée
4
Dérivée et continuité
Limite et continuité
5 / 103
Taux de variation moyen
Variation d’une fonction
Variation d’une fonction
La notion de limite introduite au chapitre précédent s’est avérée un excellent moyen pour
mieux comprendre le concept de fonction. Par exemple, elle nous a permis d’identifier les
asymptotes présentes dans le graphique d’une fonction de même que de formaliser la
définition de la continuité d’une fonction. Dans le présent chapitre, nous allons introduire
une autre notion relative aux fonctions qui mettra, une fois de plus, à contribution le
concept de limite. Il s’agit de la notion de dérivée d’une fonction.
La dérivée est un outil mathématique visant à mesurer la variation d’une fonction,
c’est-à-dire de déterminer le changement de la valeur de la variable dépendante suite à la
modification de la valeur de la variable indépendante.
Limite et continuité
6 / 103
Taux de variation moyen
Variation d’une fonction
Variation d’une fonction
La variation d’une fonction continue f (x) sur l’intervalle [a, b], notée ∆f , est la
différence entre la valeur de la fonction à la fin de l’intervalle et la valeur de la fonction au
début de l’intervalle. C’est donc dire que
∆f = f (b) − f (a).
La variation de la variable indépendante x sur l’intervalle [a, b], notée ∆x, est la
longueur de l’intervalle. C’est donc dire que
∆x = b − a.
Limite et continuité
7 / 103
Taux de variation moyen
Variation d’une fonction
Variation d’une fonction
Limite et continuité
8 / 103
Taux de variation moyen
Variation d’une fonction
Variation d’une fonction
Limite et continuité
9 / 103
Taux de variation moyen
Droite sécante et taux de variation moyen
Droite sécante et taux de variation moyen
1
Taux de variation moyen
Variation d’une fonction
Droite sécante et taux de variation moyen
2
Taux de variation instantané
3
Dérivée en un point et fonction dérivée
4
Dérivée et continuité
Limite et continuité
10 / 103
Taux de variation moyen
Droite sécante et taux de variation moyen
Droite sécante et taux de variation moyen
Une droite sécante est une droite qui coupe une courbe en un ou plusieurs points.
Le taux de variation moyen d’une fonction f sur un intervalle [a, b] où a < b est défini par
∆f
f (b) − f (a)
=
.
∆x
b−a
Le taux de variation moyen d’une fonction f sur un intervalle [a, b] correspond à la pente
de la sécante à la courbe de f (x) passant par le points (a, f (a)) et (b, f (b)).
Limite et continuité
11 / 103
Taux de variation moyen
Droite sécante et taux de variation moyen
Droite sécante et taux de variation moyen
Limite et continuité
12 / 103
Taux de variation moyen
Droite sécante et taux de variation moyen
Droite sécante et taux de variation moyen
Partant du principe que ∆x = b − a, on a que b = a + ∆x. On peut donc reformuler la
définition du taux de variation moyen :
∆f
f (b) − f (a)
=
∆x
b−a
f (a + ∆x) − f (a)
=
∆x
Limite et continuité
13 / 103
Taux de variation moyen
Droite sécante et taux de variation moyen
Droite sécante et taux de variation moyen
Limite et continuité
14 / 103
Taux de variation moyen
Droite sécante et taux de variation moyen
Droite sécante et taux de variation moyen
Limite et continuité
15 / 103
Taux de variation instantané
Taux de variation instantané
1
Taux de variation moyen
2
Taux de variation instantané
Droite tangente et taux de variation instantané
Équation de la droite tangente
Équation de la droite normale
Autres applications du taux de variation instantané
3
Dérivée en un point et fonction dérivée
4
Dérivée et continuité
Limite et continuité
16 / 103
Taux de variation instantané
Droite tangente et taux de variation instantané
Droite tangente et taux de variation instantané
1
Taux de variation moyen
2
Taux de variation instantané
Droite tangente et taux de variation instantané
Équation de la droite tangente
Équation de la droite normale
Autres applications du taux de variation instantané
3
Dérivée en un point et fonction dérivée
4
Dérivée et continuité
Limite et continuité
17 / 103
Taux de variation instantané
Droite tangente et taux de variation instantané
Droite tangente et taux de variation instantané
La tangente à la courbe C en un point P de la courbe est l’unique droite dont la position
correspond à la limite des sécantes passant par P et Qi lorsque Qi s’approche de P par
la gauche et des sécances passant par P et Ri lorsque Ri s’approche de P par la droite.
Limite et continuité
18 / 103
Taux de variation instantané
Droite tangente et taux de variation instantané
Droite tangente et taux de variation instantané
Nous pouvons déterminer la pente de la tangente à la fonction f en un point (a, f (a)) en
calculant successivement la pente des sécantes à la courbe passant par P et Qi lorsque
Qi tend vers P par la gauche et des sécances passant par P et Ri lorsque Ri tend vers P
par la droite.
Autrement dit, la pente de la tangente est donnée par
f (a + ∆x) − f (a)
.
∆x
∆x→0
lim
On appelle cette valeur le taux de variation instantané.
Limite et continuité
19 / 103
Taux de variation instantané
Droite tangente et taux de variation instantané
Droite tangente et taux de variation instantané
Limite et continuité
20 / 103
Taux de variation instantané
Équation de la droite tangente
Équation de la droite tangente
1
Taux de variation moyen
2
Taux de variation instantané
Droite tangente et taux de variation instantané
Équation de la droite tangente
Équation de la droite normale
Autres applications du taux de variation instantané
3
Dérivée en un point et fonction dérivée
4
Dérivée et continuité
Limite et continuité
21 / 103
Taux de variation instantané
Équation de la droite tangente
Équation de la droite tangente
L’équation de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f (x) au point (a, f (a))
est donnée par y = m(x − a) + f (a), où
f (a + ∆x) − f (a)
,
∆x
∆x→0
m = lim
si cette limite existe.
Limite et continuité
22 / 103
Taux de variation instantané
Équation de la droite normale
Équation de la droite normale
1
Taux de variation moyen
2
Taux de variation instantané
Droite tangente et taux de variation instantané
Équation de la droite tangente
Équation de la droite normale
Autres applications du taux de variation instantané
3
Dérivée en un point et fonction dérivée
4
Dérivée et continuité
Limite et continuité
23 / 103
Taux de variation instantané
Équation de la droite normale
Équation de la droite normale
La droite normale à la courbe décrite par une fonction f (x) en un point (a, f (a)) est la
droite perpendiculaire à la droite tangente à la courbe f (x) en ce point. Son équation est
1
donnée par y = − m
(x − a) + f (a), où
f (a + ∆x) − f (a)
,
∆x
∆x→0
m = lim
si cette limite existe et est différente de 0.
Limite et continuité
24 / 103
Taux de variation instantané
Équation de la droite normale
Équation de la droite normale
Limite et continuité
25 / 103
Taux de variation instantané
Autres applications du taux de variation instantané
Autres applications du taux de variation instantané
1
Taux de variation moyen
2
Taux de variation instantané
Droite tangente et taux de variation instantané
Équation de la droite tangente
Équation de la droite normale
Autres applications du taux de variation instantané
3
Dérivée en un point et fonction dérivée
4
Dérivée et continuité
Limite et continuité
26 / 103
Taux de variation instantané
Autres applications du taux de variation instantané
Autres applications du taux de variation instantané
Limite et continuité
27 / 103
Taux de variation instantané
Autres applications du taux de variation instantané
Autres applications du taux de variation instantané
Limite et continuité
28 / 103
Dérivée en un point et fonction dérivée
Dérivée en un point et fonction dérivée
1
Taux de variation moyen
2
Taux de variation instantané
3
Dérivée en un point et fonction dérivée
Dérivée d’une fonction en un point
Fonction dérivée
4
Dérivée et continuité
Limite et continuité
29 / 103
Dérivée en un point et fonction dérivée
Dérivée d’une fonction en un point
Dérivée d’une fonction en un point
1
Taux de variation moyen
2
Taux de variation instantané
3
Dérivée en un point et fonction dérivée
Dérivée d’une fonction en un point
Fonction dérivée
4
Dérivée et continuité
Limite et continuité
30 / 103
Dérivée en un point et fonction dérivée
Dérivée d’une fonction en un point
Dérivée d’une fonction en un point
La dérivée d’une fonction en un point correspond au taux de variation instantanné de
cette fonction
en ce point. Ainsi, la dérivée d’une fonction f au point (a, f (a)), notée f 0 (a)
df , peut être définie de la façon suivante :
ou
dx x=a
df f (a + ∆x) − f (a)
f (a) =
= lim
,
dx x=a ∆x→0
∆x
0
lorsque la limite existe.
Lorsque f 0 (a) existe, nous dison que f est une fonction dérivable en x = a et f 0 (a) est
égale à la pente de la tangente à la courbe de f au point (a, f (a)).
Limite et continuité
31 / 103
Dérivée en un point et fonction dérivée
Fonction dérivée
Fonction dérivée
1
Taux de variation moyen
2
Taux de variation instantané
3
Dérivée en un point et fonction dérivée
Dérivée d’une fonction en un point
Fonction dérivée
4
Dérivée et continuité
Limite et continuité
32 / 103
Dérivée en un point et fonction dérivée
Fonction dérivée
Fonction dérivée
Selon la fonction, le calcul de la dérivée en plusieurs points suppose la répétition du
calcul de limites similaires, ce qui peut être long et fastidieux. Pour cette raison, il est
possible de trouver une fonction qui nous donne la dérivée de la fonction de départ en tout
point. C’est ce que nous appellerons la fonction dérivée, ou plus simplement la dérivée.
Soit une fonction y = f (x). La fonction dérivée de f (x), notée f 0 (x),
simplement y 0 , est donnée par
f 0 (x) =
Limite et continuité
df dy
,
ou
dx dx
df
dy
f (x + ∆x) − f (x)
=
= y 0 = lim
.
dx
dx
∆x
∆x→0
33 / 103
Dérivée en un point et fonction dérivée
Fonction dérivée
Fonction dérivée
d
dy
comme un quotient. Il faut plutôt considérer
comme
dx
dx
un opérateur qui indique qu’il faut dériver la fonction par rapport à x.
Attention ! Il ne faut pas voir
Limite et continuité
34 / 103
Dérivée en un point et fonction dérivée
Limite et continuité
Fonction dérivée
35 / 103
Dérivée et continuité
Dérivée et continuité
1
Taux de variation moyen
2
Taux de variation instantané
3
Dérivée en un point et fonction dérivée
4
Dérivée et continuité
Limite et continuité
36 / 103
Dérivée et continuité
Dérivée et continuité
Dans cette section, nous verrons les liens qui existent entre les notions de domaine, de
continuité et de dérivabilité d’une fonction. Nous avons vu qu’une fonction est dérivable
en x = a si et seulement si la limite suivante existe :
f (a + ∆x) − f (a)
.
∆x
∆x→0
lim
La relation entre la dérivabilité et la continuité d’une fonction en x = a est donnée par le
théorème suivant :
Limite et continuité
37 / 103
Dérivée et continuité
Dérivée et continuité
Le théorème précédent nous permet de comprendre que la dérivabilité d’une fonction
implique sa continuité :
dérivabilité =⇒ continuité
Par contre, une fonction continue n’est pas nécessairement dérivable :
continuité =⇒
6
dérivabilité
Par ailleurs, par la contraposée de ce théorème, on a que si une fonction n’est pas
continue, alors elle n’est pas dérivable :
non continuité =⇒ non dérivabilité
Limite et continuité
38 / 103
Dérivée et continuité
Dérivée et continuité
Limite et continuité
39 / 103
Dérivée et continuité
Dérivée et continuité
Limite et continuité
40 / 103
Premières formules de dérivation
Premières formules de dérivation
5
Premières formules de dérivation
Dérivée d’une fonction constante
Dérivée de la fonction identité
Dérivée du produit d’une constante par une fonction
Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions
Dérivée du produit de deux fonctions
Dérivée du quotient de deux fonctions
Dérivée de la fonction puissance
Limite et continuité
41 / 103
Premières formules de dérivation
Premières formules de dérivation
Nous avons utilisé la définition de la dérivée pour calculer les dérivées de fonctions
définies par des formules. Cette notion étant aquise, nous verrons maintenant quelques
règles qui nous permettront de trouver les dérivées sans avoir à toujours utiliser la
définition.
Cependant, il sera nécessaire de démontrer la plupart de ces règles. Pour y arriver, il
faudra faire appel à la définition de la dérivée.
Limite et continuité
42 / 103
Premières formules de dérivation
Dérivée d’une fonction constante
Dérivée d’une fonction constante
5
Premières formules de dérivation
Dérivée d’une fonction constante
Dérivée de la fonction identité
Dérivée du produit d’une constante par une fonction
Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions
Dérivée du produit de deux fonctions
Dérivée du quotient de deux fonctions
Dérivée de la fonction puissance
Limite et continuité
43 / 103
Premières formules de dérivation
Dérivée d’une fonction constante
Dérivée d’une fonction constante
Limite et continuité
44 / 103
Premières formules de dérivation
Dérivée de la fonction identité
Dérivée de la fonction identité
5
Premières formules de dérivation
Dérivée d’une fonction constante
Dérivée de la fonction identité
Dérivée du produit d’une constante par une fonction
Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions
Dérivée du produit de deux fonctions
Dérivée du quotient de deux fonctions
Dérivée de la fonction puissance
Limite et continuité
45 / 103
Premières formules de dérivation
Dérivée de la fonction identité
Dérivée de la fonction identité
Limite et continuité
46 / 103
Premières formules de dérivation
Dérivée du produit d’une constante par une fonction
Dérivée du produit d’une constante par une fonction
5
Premières formules de dérivation
Dérivée d’une fonction constante
Dérivée de la fonction identité
Dérivée du produit d’une constante par une fonction
Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions
Dérivée du produit de deux fonctions
Dérivée du quotient de deux fonctions
Dérivée de la fonction puissance
Limite et continuité
47 / 103
Premières formules de dérivation
Dérivée du produit d’une constante par une fonction
Dérivée du produit d’une constante par une fonction
Limite et continuité
48 / 103
Premières formules de dérivation
Dérivée du produit d’une constante par une fonction
Dérivée du produit d’une constante par une fonction
Limite et continuité
49 / 103
Premières formules de dérivation
Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions
Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions
5
Premières formules de dérivation
Dérivée d’une fonction constante
Dérivée de la fonction identité
Dérivée du produit d’une constante par une fonction
Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions
Dérivée du produit de deux fonctions
Dérivée du quotient de deux fonctions
Dérivée de la fonction puissance
Limite et continuité
50 / 103
Premières formules de dérivation
Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions
Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions
Limite et continuité
51 / 103
Premières formules de dérivation
Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions
Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions
Les formules 3, 4 et 5 peuvent être regroupées en une seule appelée propriété de
linéarité :
d
du
dv
(au ± bv ) = a
±b
dx
dx
dx
Limite et continuité
52 / 103
Premières formules de dérivation
Dérivée du produit de deux fonctions
Dérivée du produit de deux fonctions
5
Premières formules de dérivation
Dérivée d’une fonction constante
Dérivée de la fonction identité
Dérivée du produit d’une constante par une fonction
Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions
Dérivée du produit de deux fonctions
Dérivée du quotient de deux fonctions
Dérivée de la fonction puissance
Limite et continuité
53 / 103
Premières formules de dérivation
Dérivée du produit de deux fonctions
Dérivée du produit de deux fonctions
Limite et continuité
54 / 103
Premières formules de dérivation
Dérivée du produit de deux fonctions
Dérivée du produit de deux fonctions
Limite et continuité
55 / 103
Premières formules de dérivation
Dérivée du produit de deux fonctions
Dérivée du produit de deux fonctions
Attention ! Il ne faut pas commettre l’erreur suivante : la dérivée du produit de deux
fonctions n’est pas égale au produit des dérivées des deux fonctions. C’est donc dire que
d
du
dv
(uv ) 6=
.
dx
dx
dx
Limite et continuité
56 / 103
Premières formules de dérivation
Dérivée du quotient de deux fonctions
Dérivée du quotient de deux fonctions
5
Premières formules de dérivation
Dérivée d’une fonction constante
Dérivée de la fonction identité
Dérivée du produit d’une constante par une fonction
Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions
Dérivée du produit de deux fonctions
Dérivée du quotient de deux fonctions
Dérivée de la fonction puissance
Limite et continuité
57 / 103
Premières formules de dérivation
Dérivée du quotient de deux fonctions
Dérivée du quotient de deux fonctions
Limite et continuité
58 / 103
Premières formules de dérivation
Dérivée du quotient de deux fonctions
Dérivée du quotient de deux fonctions
Attention ! Comme pour la dérivée d’une produit, il faut se rappeler que la dérivée du
quotient de deux fonctions n’est pas égale au quotient des dérivées des deux fonctions.
C’est donc dire que
du
d u dx
.
6= dv
dx v
dx
Limite et continuité
59 / 103
Premières formules de dérivation
Dérivée de la fonction puissance
Dérivée de la fonction puissance
5
Premières formules de dérivation
Dérivée d’une fonction constante
Dérivée de la fonction identité
Dérivée du produit d’une constante par une fonction
Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions
Dérivée du produit de deux fonctions
Dérivée du quotient de deux fonctions
Dérivée de la fonction puissance
Limite et continuité
60 / 103
Premières formules de dérivation
Dérivée de la fonction puissance
Dérivée de la fonction puissance
Limite et continuité
61 / 103
Premières formules de dérivation
Dérivée de la fonction puissance
Dérivée de la fonction puissance
Limite et continuité
62 / 103
Premières formules de dérivation
Dérivée de la fonction puissance
Dérivée de la fonction puissance
Limite et continuité
63 / 103
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
6
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
Relation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivée
Interprétation du signe de la dérivée
Tableau des signes d’une fonction
7
Dérivée d’ordre supérieur
8
Dérivation des fonctions composées
9
Dérivation implicite
10
Références
Limite et continuité
64 / 103
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
Relation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivée
Relation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivée
6
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
Relation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivée
Interprétation du signe de la dérivée
Tableau des signes d’une fonction
7
Dérivée d’ordre supérieur
8
Dérivation des fonctions composées
9
Dérivation implicite
10
Références
Limite et continuité
65 / 103
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
Relation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivée
Relation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivée
Nous savons que la valeur de la dérivée d’une fonction f (x) au point (a, f (a)) correspond
à la pente de la droite tangente à f (x) à ce même point. Pouvons-nous tirer davantage
d’information du calcul de la dérivée ?
Limite et continuité
66 / 103
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
Relation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivée
Relation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivée
La dérivée de f (x) étant elle même une fonction, on peut en tracer le graphique :
Plutôt que d’évaluer la valeur de la dérivée à certains points de la fonction, essayons de
dégager certaines informations plus générales.
Limite et continuité
67 / 103
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
Relation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivée
Relation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivée
Limite et continuité
68 / 103
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
Interprétation du signe de la dérivée
Interprétation du signe de la dérivée
6
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
Relation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivée
Interprétation du signe de la dérivée
Tableau des signes d’une fonction
7
Dérivée d’ordre supérieur
8
Dérivation des fonctions composées
9
Dérivation implicite
10
Références
Limite et continuité
69 / 103
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
Interprétation du signe de la dérivée
Interprétation du signe de la dérivée
Nous allons maintenant formellement relier la croissance et la décroissance d’une
fonction au signe de sa dérivée. Cette relation est exprimée dans le théorème suivant,
que nous accepterons sans démonstration.
Soit f , une fonction continue sur [a, b] telle que f 0 existe sur ]a, b[. On a que
si f 0 (x) > 0 sur ]a, b[, alors f est croissante sur [a, b] ;
si f 0 (x) < 0 sur ]a, b[, alors f est décroissante sur [a, b] ;
De plus, si c ∈ Domf , nous dirons que c est un nombre critique de f si f 0 (c) = 0 ou si
f 0 (c) n’existe pas.
En particulier, on appellera le point (c, f (c)) point stationnaire de f si f 0 (c) = 0.
Limite et continuité
70 / 103
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
Interprétation du signe de la dérivée
Interprétation du signe de la dérivée
Limite et continuité
71 / 103
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
Interprétation du signe de la dérivée
Interprétation du signe de la dérivée
Limite et continuité
72 / 103
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
Interprétation du signe de la dérivée
Interprétation du signe de la dérivée
Limite et continuité
73 / 103
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
Interprétation du signe de la dérivée
Interprétation du signe de la dérivée
Limite et continuité
74 / 103
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
Tableau des signes d’une fonction
Tableau des signes d’une fonction
6
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
Relation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivée
Interprétation du signe de la dérivée
Tableau des signes d’une fonction
7
Dérivée d’ordre supérieur
8
Dérivation des fonctions composées
9
Dérivation implicite
10
Références
Limite et continuité
75 / 103
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
Tableau des signes d’une fonction
Tableau des signes d’une fonction
Puisque nous souhaitons faire l’étude du signe de la dérivée, nous introduisons ici un
outil indispensable : le tableau des signes d’une fonction.
Limite et continuité
76 / 103
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
Tableau des signes d’une fonction
Tableau des signes d’une fonction
Considérons la fonction
P(x) = 2x 2 − 5x − 3
1
= 2(x + )(x − 3)
2
On lui associe le tableau des signes suivant :
Limite et continuité
77 / 103
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
Tableau des signes d’une fonction
Tableau des signes d’une fonction
Une fois rempli, on obtient le tableau
La fonction P(x) est donc
positive sur l’intervalle −∞, − 12 ∪ ]3, ∞[
négative sur l’intervalle − 12 , 3
nulle en x = − 12 et x = 3.
Limite et continuité
78 / 103
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
Tableau des signes d’une fonction
Tableau des signes d’une fonction
Limite et continuité
79 / 103
Dérivée d’ordre supérieur
Dérivée d’ordre supérieur
6
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
7
Dérivée d’ordre supérieur
8
Dérivation des fonctions composées
9
Dérivation implicite
10
Références
Limite et continuité
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Dérivée d’ordre supérieur
Dérivée d’ordre supérieur
Nous avons vu que, lorsque nous dérivons une fonction, le résultat est également une
fonction qui peut, à son tour, être dérivée. C’est ce que nous nommons la dérivée
seconde, qui est notée
d 2f
= f 00 (x) = f (2) (x).
dx 2
Évidemment, rien n’empêche de dériver à nouveau la dérivée seconde pour obtenir la
dérivée troisième :
d 3f
= f 000 (x) = f (3) (x).
dx 3
On peut continuer ainsi tant et aussi longtemps qu’il est possible de le faire. On définit
donc la dérivée d’ordre n, où n ∈ N :
d nf
= f (n) (x).
dx n
Limite et continuité
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Dérivée d’ordre supérieur
Dérivée d’ordre supérieur
Si le signe de la dérivée première nous renseigne sur la croissance et la décroissance
d’une fonction f (x), le signe de la dérivée seconde nous renseigne sur la croissance ou
la décroissance de la fonction f 0 (x). Quelle interprétation pouvons-nous donner à cela ?
Limite et continuité
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Dérivée d’ordre supérieur
Dérivée d’ordre supérieur
Limite et continuité
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Dérivée d’ordre supérieur
Dérivée d’ordre supérieur
Limite et continuité
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Dérivation des fonctions composées
Dérivation des fonctions composées
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Interprétation géométrique du signe de la dérivée
7
Dérivée d’ordre supérieur
8
Dérivation des fonctions composées
Dérivée de la puissance d’une fonction
Dérivée d’une fonction composée
9
Dérivation implicite
10
Références
Limite et continuité
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Dérivation des fonctions composées
Dérivée de la puissance d’une fonction
Dérivée de la puissance d’une fonction
6
Interprétation géométrique du signe de la dérivée
7
Dérivée d’ordre supérieur
8
Dérivation des fonctions composées
Dérivée de la puissance d’une fonction
Dérivée d’une fonction composée
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Dérivation implicite
10
Références
Limite et continuité
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Dérivation des fonctions composées
Dérivée de la puissance d’une fonction
Dérivée de la puissance d’une fonction
Souvenons-nous du théorème 2.8, où il était question d’une règle pour la dérivation d’une
puissance de x :
Dans cette section, on souhaite généraliser ce résultat pour des puissances d’une
fonction, c’est-à-dire des fonctions de la forme
y = (u(x))n .
Limite et continuité
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Dérivation des fonctions composées
Dérivée de la puissance d’une fonction
Dérivée de la puissance d’une fonction
Considérons la fonction f (x) = (3x + 1)2 . Si on souhaite évaluer f 0 (x), on commence par
développer l’expression initiale pour obtenir
f (x) = (3x + 1)2 = 9x 2 + 6x + 1,
puis on trouve que
f 0 (x) = 9(2x) + 6(1) + 0 = 18x + 6 = 6(3x + 1).
Or, si on avait bêtement appliqué le théorème 2.8, on aurait pu croire que
f 0 (x) = 2(3x + 1)2−1 = 2(3x + 1) 6= 6(3x + 1).
On a donc la preuve que le théorème initial ne s’applique pas aux puissances de
fonctions. Il faudra donc trouver un résultat équivalent à celui-ci, mais qui fonctionne
avec les puissances de fonctions.
Limite et continuité
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Dérivation des fonctions composées
Dérivée de la puissance d’une fonction
Dérivée de la puissance d’une fonction
Limite et continuité
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Dérivation des fonctions composées
Dérivée de la puissance d’une fonction
Dérivée de la puissance d’une fonction
Limite et continuité
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Dérivation des fonctions composées
Dérivée de la puissance d’une fonction
Dérivée de la puissance d’une fonction
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Dérivation des fonctions composées
Dérivée de la puissance d’une fonction
Dérivée de la puissance d’une fonction
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Dérivation des fonctions composées
Dérivée d’une fonction composée
Dérivée d’une fonction composée
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Interprétation géométrique du signe de la dérivée
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Dérivée d’ordre supérieur
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Dérivation des fonctions composées
Dérivée de la puissance d’une fonction
Dérivée d’une fonction composée
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Dérivation implicite
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Références
Limite et continuité
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Dérivation des fonctions composées
Dérivée d’une fonction composée
Dérivée d’une fonction composée
√
Supposons qu’on vous demande de dériver la fonction F (x) = x 2 + 1. On peut
constater que F est une fonction composée. Si on pose
√
y = f (u) = u et u = g(x) = x 2 + 1,
alors on peut écrire y = F (x) = f (g(x)) = f ◦ g.
Sachant comment dériver f et g, on aurait intérêt à établir une régle de dérivation pour
la composition des fonctions f et g.
C’est ce que propose de faire la règle de dérivation en chaîne. Il s’agit de l’un des plus
importants théorèmes en calcul différentiel.
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Dérivation des fonctions composées
Dérivée d’une fonction composée
Dérivée d’une fonction composée
Limite et continuité
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Dérivation implicite
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Interprétation géométrique du signe de la dérivée
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Dérivée d’ordre supérieur
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Dérivation des fonctions composées
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Dérivation implicite
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Références
Limite et continuité
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Dérivation implicite
Dérivation implicite
Jusqu’à présent, nous avons travaillé avec des courbes qui étaient données par des
équations explicites de la forme y = f (x), où la variable dépendante est exprimée
directement par rapport à la variable indépendante.
Par contre, certaines courbes ne peuvent pas être exprimées par une telle équation. C’est
par exemple le cas d’un cercle de rayon r dont l’équation est x 2 + y 2 = r 2 . Il est alors
question d’équation implicite, où aucune variable n’est exprimée en fonction de l’autre.
Nous dirons qu’une courbe dans le plan xy est donnée implicitement si son équation est
de la forme f (x, y ) = 0.
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Dérivation implicite
Dérivation implicite
Bien qu’il soit toujours assez simple de convertir une équation explicite en équation
implicite, il n’est pas toujours possible de faire le contraire, c’est-à-dire de convertir une
équation implicite en équivalent explicite.
Pour réussir à déterminer
dy
à partir d’une équation implicite, nous devons
dx
1
dériver chaque membre de l’équation par rapport à x, en considérant y comme
une fonction dérivable par rapport à x ;
2
regrouper tous les termes contenant
3
isoler
dy
du même côté de l’égalité ;
dx
dy
en faisant une mise en évidence, puis une division.
dx
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Dérivation implicite
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Dérivation implicite
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Réseau de concepts
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Références
Références
Éric Brunelle and Marc-André Désautels.
Calcul différentiel.
Les Éditions CEC inc., 2011.
Gilles Charron and Pierre Parent.
Calcul différentiel, 6e édition.
Groupe Beauchemin - Chenelière Éducation, 2007.
Josée Hamel and Luc Amyotte.
Calcul différentiel, 2e édition.
Éditions du renouveau pédagogique, 2014.
Stéphane Beauregard and Chantal Trudel.
Calcul différentiel.
Groupe Modulo, 2013.
Limite et continuité
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