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Chapitre CARITHMETIQUE 3ème
I. Divisibilité :
1. Diviseurs d'un nombre entier:
Soient A et B deux nombres entiers avec B 0. (car on ne peut pas diviser par 0.)
A est un diviseur de Bs’il existe un nombre entier ntel que A× n= B.
Ex1: 4 est un diviseur de 52 car 52 = 4 × 13.
Rq : On dit aussi que 52 est un multiple de 4 ou que 52 est divisible par 4.
Ex2 : On peut dresser la liste de tous les diviseurs d’un nombre :
Les diviseurs de 60 sont : 1; 60 ; 2 ; 30 ; 3; 20 ; 4; 15 ; 5; 12 ; 6; 10.
2. Nombre premier:
Un nombre premier est un nombre entier positif qui n’admet que deux diviseurs, 1 et lui-même.
Ex : 13 est un nombre premier car 13 n’a que deux diviseurs : 1 et 13.
9 n’est pas un nombre premier car 9 a trois diviseurs : 1; 3 et 9.
Rq : 1 n’est pas un nombre premier car il n’a qu’un seul diviseur, lui-même !
II. Notion de PGCD :
1. Définition:
A et B sont deux nombres entiers :
On note PGCD (A ; B) le Plus Grand Commun Diviseur aux nombres A et B.
Ex : Pour trouver le PGCD de 60 et 48, on dresse la liste de tous les diviseurs de ces 2 nombres :
Les diviseurs de 60 sont :1;2;3; 4; 5 ; 6;
60 ; 30 ; 20 ; 15 ; 12 ; 10.
Les diviseurs de 48 sont :1;2;3;4;6;
48 ; 24 ; 16 ; 12 ;8.
Donc PGCD (60 ; 48) = 12
2. Algorithme d'Euclide:Par divisions euclidiennes successives
Principe
:
A et B sont deux nombres
entiers
avec A > B :
Le PGCD de deux nombres A et B est le même que le PGCD du diviseur et du reste de la division
euclidienne de A par B.
Méthode : a. On effectue la division euclidienne du plus grand nombre par le plus petit nombre.
b. On recommence en posant la division euclidienne du diviseur et du reste de la division euclidienne
précédente.
c. On reprend le même procédé jusqu'à ce que le reste soit nul.
Ex: Déterminons grâce à cette méthode, le PGCD de 720 et 300.
720 = 300 2 + 120 d’où PGCD (720 ; 300) = PGCD (300; 120)
300 = 120 2+ 60 d’où PGCD (300; 120) = PGCD (120; 60)
120 = 60 2 + 0. 60 est un diviseur de 120 et 60 est le plus grand diviseur de 60
donc PGCD (120; 60) = 60
ainsi PGCD (720; 300) = 60
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III.Nombres premiers entre eux:
Deux nombres sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1.
Deux nombres entiers sont donc premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
Ex: 117 et 98 sont-ils premiers entre eux? Déterminons le PGCD de 117 et 98.
117 = 98 1 + 19 PGCD (117; 98) = PGCD (98 ; 19)
98 = 19 5 + 3PGCD (98 ; 19) = PGCD (19 ; 3) = 1
19 = 3 6 + 1PGCD (19 ; 3) = PGCD (3 ; 1)
3 = 3 1 + 0. 1 est un diviseur de 3 donc PGCD (3 ; 1) = 1
→Ainsi PGCD (117 ; 98) = 1(Le dernier reste non nul de ces divisions euclidiennes successives est 1) ;
117 et 98 sont donc premiers entre eux.
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