Introduction à la dynamique des rotors

Introduction à la dynamique des rotors
•
•
•
•
•
•
Composants d’un rotor
Formulation du problème
Principales phénoménologies
Résolution du problème aux valeurs propres
Rigidification centrifuge
exemples
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Composant d’un rotor
arbre
palier
Arbre:
• rigide
• flexible
Disques:
rigide
déformable
paliers:
• rigide
• flexible
disque
-flexibilité isotrope
-flexibilité anisotrope
-symétrie de révolution
-symétrie cyclique
-flexibilité isotrope
-flexibilité anisotrope
-dissipatifs
-non-dissipatifs
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Pièces en rotation
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Imperfection, déséquilibre
ε
G
e
e: déséquilibre statique
ε: déséquilibre dynamique
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Mise en équation
2 repères possibles peuvent être utilisés :
GGG
ournant
xyz
Le
repère
t
•
La rotation uniforme autour de l'axe du rotor
est considéré comme le mouvement de corps
Z
y
z
Y
Ωt
rigide auquel se superposeront des petits
mouvements (cf. chap. I)
G GG
• Le repère fixe XYZ
Lorsque les parties tournantes sont essentiellement axisymétriques
l’utilisation de ce repère permet une modélisation simple de rotor
dont les paliers présente une rigidité anisotrope k y ≠ k z
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
x
X
I-5 Application à la dynamique d’un solide
déformable
Rg: repère galiléen
Rm : repère mobile
x
O
y
(S)
v
s
•Rm repère lié au
solide en mouvement
confondu avec Rg
dans la position de
référence
(non déformé)
u
x
O'
• x vecteur position de M (solide non déformé) dans Rm
• u vecteur déplacement de M/Rm dans Rm
• v vecteur position de M (solide déformé) dans Rm
• s vecteur déplacement de O ’/Rg dans Rg
• y vecteur position de M/Rg dans Rg
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
I-5-1 Cinématique
⋅R : matrice rotation dont les colonnes sont les cosinus directeurs
des vecteurs de base de Rm exprimés dans Rg; R t R = I ; R t = R −1
⋅y = s + R(x + u) :
vecteur déplacement absolu dans Rg
⋅R t y = R t s + (x + u) : vecteur déplacement absolu dans Rm
 ω1 
⋅ω : vecteur vitesse de rotation Rm/Rg exprimé dans Rm; ω =  ω2 
 
 ω3 
−ω3
 0
⋅Ω: matrice vitesse de rotation associée au vecteur ω; Ω =  ω3
0

 −ω2 ω1
⋅R = RΩ : dérivée de la matrice de changement de base
⋅ y = Ru + s + RΩ(x + u) : vitesse absolue exprimée dans Rg
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
ω2 
−ω1 

0 
I-5-2 Contraintes, déformations
⋅σ : vecteur associé au teneur des contraintes de Cauchy
⋅ε: vecteur associé au tenseur des déformations ; ε = ∇u
⋅∇: opérateur différentiel ;
0
0 
 ∂/∂x1
 0
∂/∂x 2
0 


∂/∂x 3 
0
 0
∇=

∂
∂
∂
∂
0
/
x
/
x
3
2

 ∂/∂x 3
∂/∂x1 
0


0 
∂/∂x 2 ∂/∂x1
⋅ε : vecteur taux de déformation; ε = ∇u
⋅Loi généralisée de hooke (viscoélasticité linéaire): σ = A(ε + ηε )
⋅A : matrice des coefficients élastiques; η: coefficient d'amortissement visqueux
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
I-5-3 Formulations énergétique
⋅ Expression de l'énergie cinétique :
Ec =
1
t
ρ
y
y dV
∫
2V
Ec =
1
t
ρ
u
u +
∫
2V
t
ρ
u
∫ Ωu +
V
+ ∫ ρu t (R t s + Ωx) +
V
1
t
2
ρ
Ω
u
u−
∫
2V
t
t
ρ
Ω
u
(R
s + Ωx)
∫
V
1
t
t
t
2
ρ
+
Ω
Ω
(s
s
2s
R
x-x
x)
∫
2V
⋅ Expression de l' energie potentielle de déformation
1 t
1
ε .A.ε =
Ep =
(∇u ) t .A.∇u
2V
2V
∫
∫
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Formulation énergétique (suite)
⋅ Expression du travail des forces données
∫
∫
Wext = y t Rf + y t Rt =
V
Sf
∫
V
∫
(s t Rf + x t f + u t f ) + (s t Rf + x t f + u t f
Sf
f : forces de volume ; t forces de surface sur la frontière Sf
f et t exprimées dans Rm
⋅ Fonction de dissipation :
1
η(∇u ) t A∇u
Fd =
2V
∫
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
I-5-4 Équations du mouvement discrétisées
⋅ Discrétisation : û = φΛ
Les équations de Lagrange s' écrivent sous forme matricielle :
+ (C + G)Λ
+ (K + P + N)Λ = r + F
MΛ
matrice de masse
∫
G = ∫ 2ρφ Ωφ
matrice gyroscopique
N = ∫ ρφ Ω φ
matrice de rigidification centrifuge
φ = 1G
matrice de rigidification d' accélération angulaire
P = ∫ ρφ Ω
2
x + Ω x ) vecteur forces d' inerties
r = -∫ ρφ (R s + Ω
K = ∫ G AG ; G = ∇φ
matrice de raideur
C = ∫ η G AG
matrice d' amortissement
F = ∫φ f + ∫φ t
vecteur forces données
M = ρφ t φ
t
t
2
t
t
t
2
t
t
t
V
t
SF
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Formulation dans le repère tournant
C’est un cas particulier du solide en grand déplacement de corps rigide et petites
déformations (cf chap 1-5 et chap 2-3).
Le repère est lié au solide idéal indéformable entraîné dans un mouvement de rotation
uniforme d’axe fixe.
Le vecteur u représente le déplacement d’un point matériel dans ce repère.
U: vecteurs des déplacement nodaux; N: matrice des fonctions d’interpolation nodale
û : approximation interpolée du champ de déplacement u
û = NU ; εˆ = GU ; σˆ = AGU
Matrice de raideur: K e = ∫ G t AG;
Matrice d'amortissement: Ce = ∫ ηG t AG
Matrice de masse: M e = ∫ ρN t N;
Matrice gyroscopique: G e = 2 ∫ ρN t ΩN
Matrice de rigidité centrifuge: N e = ∫ ρN t Ω 2 N;
Force d'inertie élémentaire: re = − ∫ ρN t Ω 2 x
Vecteur force ( f: densité volumique, t:densité surfacique): Fe = ∫ N t f +
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
t
N
∫ t
SF
Principales phénoménologies
Vibrations libres:
Fréquences propres fonctions de la vitesse de rotation
Vitesses critiques:
Résonances: 1 fréquence propre est un multiple de la
vitesse de rotation
Instabilités:
Le mouvement est instable pour certaines plages de
vitesse de rotation
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Vibrations libres
Evolution des fréquences propres
en fonction de la vitesse de rotation
(diagrammes de Campbell)
•Effet gyroscopique
+ ( C + G ) U
+ (K + K
MU
Ω
lin
géom _ Ω + N Ω ) U = 0
Dédoublement des pulsations propres d’ordre multiple
•Effet de rigidification due à la précontrainte centrifuge
+ ( C + G ) U
+ (K + K
MU
+ N )U = 0
Ω
lin
géom _ Ω
Ω
•Effet de spin-softning
+ ( C + G ) U
+ (K + K
MU
Ω
lin
géom _ Ω + N Ω ) U = 0
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Vitesses critiques
Résonances dues aux harmoniques de la vitesse
de rotation, diagramme de Campbell
Les fréquences d’excitation sont souvent liées à la vitesse de rotation Ω
ou à un de ses multiples
•déséquilibre statique
ou dynamique du
rotor (balourd)
•couple moteur non
constant
•sillage
aérodynamique
(turbines,
compresseurs)
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Instabilité
•Spin-softning: la matrice K+N n’est pas toujours définie positive
•Arbre asymétrique (excitation paramétrique)
•Dissipation associées aux parties en rotation
•...
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
modes propres d ’un système gyroscopique
conservatif
+ G U
+ (K + K
MU
Ω
lin
géom _ Ω + N Ω ) U = 0
(1)
K
Ket M : matrices symétriques
G : matrice antisymétrique
L’équation (1) est écrite sous forme d ’équation d ’état:
U
W =  ;
U
K 0   0 −K
 0 M W + K G  W = 0




A
B
A: matrice symétrique
B: matrice antisymétrique
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Propriétés des modes propres d’un système
gyroscopique conservatif
soit une solution du type W=Xeλt
AλX+BX=0 (1)
⇒ 2n valeurs propres et vecteurs propres conjugués 2 à 2
X t BX
en prémultipliant (1) par X (transconjugué de X) λ =- t
X AX
X t BX
ˆ
λ =- t
de meme
X AX
t
t
 X t BX 
X BX
X t Bt X
X t BX
= - t
or - t
=
Bt = − B; A t = A )
(
 =− t t
t
X AX
XAX
X AX
 X AX 
⇒ λ =-λ
les valeurs propres sont imaginaires pures:
t
si λ i = iωi est une valeur propre associée au vecteur X i
(−iωi ) est une valeur propre associée au vecteur X i
On peut normer les vecteurs propres par rapport à la matrice A: X kt AX k = 1
les vecteurs propres sont orthogonaux au sens des produits scalaires X kt AX j et X kt BX j
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Vibrations libres
W(t) = ∑ α k Xk eλ k t + ∑ α k Xk eλ k t (la solution temporelle est réelle)
k
k
λ k = iω k
W(0) = W0 conditions initiales de déplacement et de vitesse
α k (0) = Xkt AW0
Z
Y
ψ
O
k
t=0
A
k
X
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
modes propres d ’un système gyroscopique
non-conservatif
+ ( C + G ) U
+ (K + K
MU
lin
géom + N ) U = 0
(1)
K
Ket M et C: matrices symétriques
G : matrice antisymétrique
L’équation (1) est écrite sous forme d ’équation d ’état:
U
W =  ;

U
−K 
K 0   0
 0 M  W + K C + G  W = 0




A
B
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Propriétés des modes propres d ’un système
gyroscopique non-conservatif
• soit W=Xeλt
AλX+BX=0 (1)
solution: 2n solution λ i , X i 2 à 2 conjuguées
les valeurs propres de (1) vérifient: det(Aλ + B) = 0
• soit le problème aux Valeurs propres associé:
A t µY+Bt Y=0 (2)
les valeurs propres de (2) vérifient: det(A t µ + Bt ) = det(Aµ + B) = 0
⇒ λ i = µi
(2) peut aussi s'écrire Y t (Aλ + B) = 0
⇒ Y est dit vecteur propre gauche de (1)
• Bi-orthogonalité:
Yjt AX i = Yjt BX i = 0 pour i ≠ j
en normant les vecteurs propres tel que Yit AX i = 1
Yjt AX i = δij
Yjt BX i = −δijλ i
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Effet des précontraintes ‘statiques’
Mesure des déformations : tenseur de Green
•Rappel:
1  ∂u i ∂u j ∂u m ∂u m  (1) (2)
= ε + εij
εij =
+
+
2  ∂x j ∂x i ∂x i ∂x j  ij
Hypothèses de linéarité :
-Les déformations sont infinitésimales:
∂u i
<< 1
pour i=1,2,3
∂x i
-Les rotations sont de faible amplitude:
∂u i
<< 1
∂x j
pour i ≠ j
d'où l'expression linéaire du tenseur des déformations:
1  ∂u i ∂u j  (1)
= εij
εij =
+
2  ∂x j ∂x i 
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Effet des précontraintes ‘statiques’
V0
V*
εij0 , σij0
•Etat non déformé
V(t)
u *i
ε*ij , σ*ij
•Etat précontraint
εij = εij0 +ε*ij
,
•Déformation autour
de l’état précontraint
σij = σij0 + σ*ij
•Si on ne retient que les termes quadratique dans la variation de l’énergie potentielle
de déformation, il apparaît un terme supplémentaire du à la partie non-linéaire du
tenseur des déformation:
δ(Ep) = δ
(∫ σ ε
* *(1)
ij ij
+ ∫σ ε
0 *(2)
ij ij
)
0 *(2)
σ
∫ ijεij : Energie potentielle
de précontrainte (géométrique)
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Matrice de rigidité géométrique
•Discrétisation de l’énergie interne de précontrainte:
En ordonnant le vecteurs des déplacement nodaux sous la forme:
Ut=[U1 U2 …Un V1 V2 …Vn W1 W2 …Wn]
La matrice de raideur géométrique s’écrit:
 kg 0 0 
Kg =  0 kg 0 


 0 0 kg 
 ∂N1
 ∂x

∂N
H= 1
 ∂y

 ∂N1
 ∂z
∂N 2
∂x
∂N 2
∂y
∂N 2
∂z
avec kg= ∫ H t σ0 H dV
V
∂N n 
" "
∂x 
 σ0xx σ0xy
∂N n 

" "
et σ0 = 
σ0yy
∂y 
sym


∂N n 
" "
∂z 
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
σ0yz 

σ0yz 
σ0zz 
Phénoménologies associées aux précontraintes
•L’effet d’une précontrainte statique est particulièrement important dans le
cas de structures minces (aubes de compresseur, de ventilateur) :
• poutre avec chargement axial (effort normal élevé)
•Coques avec chargement dans leurs plans (contraintes membranaires
élevées)
•Des contraintes positives (traction) accroissent la rigidité transverse
et les fréquences propres associées (flexion)
•Des contraintes négatives (compression) diminuent la rigidité
transverse et peuvent provoquer une instabilité de flambement.
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Exemple1
Une poutre de longueur L est encastrée perpendiculairement
sur un disque rigide à une distance d de l’axe.
La poutre a une section circulaire de surface S et d’inertie I
d
U(t) et V(t) sont les déplacements de l’extrémité libre de la
poutre dans le repère tournant oxyz
Les déplacements u(z,t) , et v(z,t) d’un point de la fibre
moyenne s’expriment à l’aide de la fonction d’interpolation
N(z)=z2/L2:
u=U.N(z)
v=V.N(z)
L
Ω
Y
x
y
Ωt
O
X
{
}
2
1 L
2
Ec = ∫ ρS ( u − Ωv ) + ( v + ( d + u ) Ω ) dz
2 0
0
 u  N
 v  =  0 N  U  ;
  
  V 
 w   0
0

[N]
Ω
 0 −1 0 
= Ω 1 0 0 


 0 0 0 
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Equation du mouvement (repère tournant)
L 5 0 
M = ∫ ρSN t Ndz = ρS 
;

 0 L 5
0
L
 0 − L 5
G = 2 ∫ ρSN t ΩNdz = 2ΩρS 

L
5
0


0
L
t
EI 4 0 
 ∂N   ∂N 
K = ∫ EI  2   2  dz = 3 
; C=ηK

L 0 4 
 ∂z   ∂z 
0
L
d 
L 5 0 
t
2  
2 L 3
ρ
ρ
N = ∫ ρSN t Ω 2 Ndz = −Ω 2 ρS 
;
r
=
−
SN
0
dz
=
Sd
Ω
Ω

 0 
∫
 
0
L
5




0
0
 z 
L
L
  0 −1

0   U
0  U 
1 0   U
2 1
2
2 1
2  5 3
 0 1    + 2Ω 1 0  + ηω0  0 1     + ω0 − Ω  0 1   V  = Ω d  0 

 V   


  V 

 
 
(
)
déplacement 'statique' du aux forces centrifuges:
Ω2
5
Us= d 2
;Vs = 0
2
3 ω0 − Ω
(
)
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Valeurs propres propres
Parties imaginaires
λ4
Ω/ω0
U 
V 
W =  ;

U

V 
W=W0 eλt
Limite de stabilité:la partie réelle d’une
ou plusieurs valeurs propres devient
positive
λ3
Parties réelles
λ2
λ1
Résonance pour une excitation dont
la fréquence est égale à la vitesse de
rotation
λ2,λ3
λ1,λ4
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
instable
Formulation dans un repère fixe
Hypothèses:
- Les parties tournantes sont symétriques de révolution
(sauf petit déséquilibtre de type balourd)
- Une section droite du rotor est supposée indéformable
(arbre ou disque)
-Les supports fixes peuvent être anisotropes
(paliers à raideur anisotrope)
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Exemple
Z
Arbre + disque rigide
O: articulation
A: palier souple
Y
ψ
O
ky
Arbre: longueur L; masse m
Disque: rayon R; masse M
A
rotations :
Ψ autour de Z : OXYZ → Ox1 y1z1
kz
X
θ autour de y1 : Ox1 y1z1 → Ox 2 y 2 z 2
ϕ autour de x 2 : Ox 2 y 2 z 2 → Ox 3 y 3z 3
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Formulation énergétique
Matrice d'inertie du rotor:
I=
Ox 2 y 2 z 2
 J1
0

 0
0
J2
0
0
0 ;

J 2 

MR 2
 J1 = 2

2
2
MR
ml
2
J =
+ Ml +
2

4
3
G
G
G
G
G
Z + θ y1 + ϕ x 2 → Ω r =
Ωr = ψ
Ox 2 y 2 z 2
Energie potentielle :
Energie cinétique :
Ec =
sin θ
 ϕ − ψ

 ; ϕ = Ω
θ


cos θ 
 ψ
1 
2
sin θ ) + θ 2 + ψ
2 cos2 θ
J2 a (Ω − ψ

2 
1
k y u 2y + k z u 2z ) ;
(
2
u y = l sin ψ ; u z = l cos ψ sin θ
Ep =
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Equations du mouvement
pour ψ et θ petits : u y = lψ ; u z = lθ
1
+ θ 2 + ψ
2 
J 2  aΩ 2 − 2aΩψθ
2
1
1
Ep = l 2  k y ψ 2 + k z θ2  = k z l 2 µψ 2 + θ2 
2
2
Ec =
Equations de Lagrange :


0  ψ 
1 0  ψ
 0 −1  ψ
2 µ
+ J 2 aΩ 
+ kzl 
=0
J2 









0 1  θ 
 −1 0   θ 
 0 1  θ 
ψ 
k z l2
iωt
2
solution : en posant   = V0 e et ω0 =
J2
θ
les pulsations propres ω sont solutions de :
(ω
2
0
− ω2 )(µω02 − ω2 ) − a 2 ω2 Ω 2 = 0
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Campbell
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Vibrations libres
Ω
= 0.8;
ω0
ky = kz ;
=0 θ =0
C.I.: ψ =1 θ=0 ψ
θ
ψ
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Excitation par balourd
Faible balourd:
mbr2 petit
r/l petit
r
mb
Energie cinétique:
Ec balourd
2 2

Ω 2rΩ
1
r
2  2
2
= m bl ψ + θ + 2 −
ψ sin Ωt + θ cos Ωt 
2
l
l


(
)
Equation du mouvement :


0  ψ 
1 0  ψ
 0 −1  ψ
2 µ
2  cos Ωt 
+
Ω
+
=
Ω
J2 
J
a
k
l
m
rl
b
   2  −1 0   θ  z  0 1  θ 
 − sin Ωt 
0 1  θ 

 

 


Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Solution du problème stationnaire (balourd)
m bl2
u0 = r.
J2
|uz|/u0
|uy|/u0
Rotor à palier symétrique:(ky=kz)
1 seule vitesse critique
|uz|=|uy|
Rotor à palier non-symétrique:(ky=kz)
2 vitesses critiques
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Repère fixe / repère tournant
Equations dans le repère fixe :

0  ψ 
1 0   ψ
 0 −1  ψ 
2 1
+ aΩ 
+ ω0 
=0
 0 1   







 θ
1 0   θ 
0 1  θ 
Equations dans le repère tournant:

2 − a   ψ  ω02 − (1 − a)Ω 2
1 0   ψ
 0
 0 1    + Ω  −(2 − a)
  θ  + 
θ
0
0

 

  
 ψ 
=0
2
2 
θ
ω0 − (1 − a)Ω   
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
0
Modèle arbre + disques rigides
modèle élément fini
Modélisation d’un disque rigide
Y
θ
1 nœud, 4 ddl (en flexion): v,w,ψ,θ
v
1
1
1
)
2 ) + J 2 θ 2 + ψ 2 + J1 ( Ω 2 − 2Ωψθ
Md(v 2 + w
2
2
2
J1 = Jxx ; J 2 = Jzz = Jyy
(
Ec =
w
Z
X
)
ψ
0
 Md 0
 0 Md 0
M=
0 J2
 0

0
0
 0
0
0
0
0
; G = 
0
0


J2 
0
0
0
0
0
0
0
0 − J1
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
0
0

J1 

0
Elément arbre
Y
v1 ψ
Z
w1
2 nœuds ; 4 ddl par noeud
v2 ψ
1
θ1
w2
2
θ2
X
v(x) = Nv.V; V=[v1ψ1 v 2 ψ 2 ]t
w(x) = Nw.W; V=[w1θ1 w 2 θ2 ]t

x2
x3  
x 2 x3   x 2
x3   x 2 x3 
Nv = Nw =  1 − 3 2 + 2 3   -x+2 − 2   3 2 − 2 3   − 2  
l
l
l  
l   l
l   l
l 

Dynamique des structures (J.P. Laîné)
Formulation matricielle
L
1
t Nt N V
+W
t Nt N W
dx
Ec = ρS∫  V
v
v
w
w

2 0
L
 t dN tv dN v t dN wt dN w 
1
+ ρI zz ∫  V
V+W
W dx
2
dx dx
dx dx

0 
 t dN tv dN w 
1
-ρI xx Ω ∫  V
W dx + ρI xx Ω 2
dx dx
2

0 
L
0
0
54
0
0
13L 
−22L
156

156 22L
0
0
54 −13L
0 


4L2
0
0
13L −3L2
0 


2
4L
0
0
−13L
−3L2 
ρSL 
M=
420 
156
0
0
22L 


sym
156 −22L
0 


4L2
0 


4L2 

0
0 −36 −3L

0
0
−3L


0
−4L2

0
ρI zz 
G=
30L  anti −

sym




Matrice de raideur poutre en flexion classique inchangée
Dynamique des structures (J.P. Laîné)
0
36 −3L
0 
0
0
−36
−3L 
0
0
L2 
−3L

0
0 
−3L −L2
0
0 
−36 3L

0
0
3L 
0
−4L2 

0 
balourd
Z
Pour un faible balourd situé sur l’axe OY à t=0:
r
Ec balourd =
mb
1
2 + r 2 Ω 2 + 2rΩ ( − v sin Ωt + w
cos Ωt ) 
m b  v 2 + w
2
L’application des équations de Lagrange fait apparaître
une masse locale au nœud (souvent négligée) et un
vecteur force dans les direction Y et Z.
Reporté dans le second membre les composantes sont:
Fy = m b Ω 2 r.cos Ωt
Fz = m b Ω 2 r.sin Ωt
r
α
mb
Pour un faible balourd situé à un angle a par rapport à
Y l’axe OY à t = 0:
Fy = m b Ω 2 r.cos ( Ωt + α )
Fz = m b Ω 2 r.sin ( Ωt + α )
Dynamique des structures (J.P. Laîné)