Espaces vectoriels et applications linéaires en dimension finie

Marino Alexandre
Massena ECS 1
Feuille d’exercices 16
Espaces vectoriels et applications linéaires en dimension finie
Les exercices à regarder sont mentionnés par une *.
A priori les exercices seront traités dans l’ordre suivant :
3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 16, 19, 20, 21
Bases en dimension finie
Exercice 1 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et B = (b1 , b2 , b3 ) une base de E. On définit

 u 1 = b1 − b 2 + b3
u2 = b1 − 2b3

u3 = 2b1 − 2b2 + b3
1. Montrer que la famille (u1 , u2 , u3 ) est une base de E.
2. Déterminer les coordonnées de b1 , b2 et b3 dans cette nouvelle base.
Exercice 2 : Soient ~u = (1, 2, 3, 4) , ~v = (−2, 2, 3, 7) , w
~ = (1, 3, 2, 4) et ~x = (4, 3, 2, 1). Trouver une base de
vect(~u, ~v , w,
~ ~x) et la compléter en une base de R4 .
(*)Exercice 3 : On considère l’espace vectoriel R4 et la forme linéaire f sur R4 définie par
R4
−→ R
f:
(x, y, z, t) 7−→ x − y + 2z − t
Déterminer une base et la dimension de Ker (f ) et de Im (f ).
Exercice 4 :
1. On considère une famille F = (P0 , P1 , . . . , Pn ) de polynômes de R[X] tels que pour tout k ∈ [[0; n]], degPk = k.
Montrer que F est une famille libre de R[X].
2. Montrer que tout polynôme de R3 [X] s’écrit de manière unique sous la forme : P = a + b(X − 1) + c(X − 1)2 +
d(X − 1)3 et exprimer a, b, c et d à l’aide de P (1), P 0 (1), P 00 (1) et P 000 (1).
(*)Exercice 5 : Pour k ∈ [[0, n]], on pose : Pk = X k (1 − X)n−k . Montrer que (P0 , . . . , Pn ) est une base de Rn [X].
(*)Exercice 6 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n > 2 et H un hyperplan de E.
Montrer qu’il existe une base (e1 , e2 , . . . , en ) de E telle que ∀ k ∈ [[1; n]] , ek ∈
/ H.
(On pourra commencer par choisir une base de H, que l’on complétera en une base de E, avant de construire la base
cherchée)
Somme et somme directe en dimension finie
(*)Exercice 7 : On considère l’espace vectoriel R4 et les trois vecteurs u = (1, 1, 0, −1), v = (1, 0, 0, −1) et w =
(1, 0, −1, 0). On pose F = Vect(u, v, w) et G = {(x, y, z, t) ∈ R4 , x + y − z + 2t = 0}.
1. Montrer que G est un sous-espace vectoriel de R4 .
2. Déterminer respectivement une base de F , G et F + G.
3. Déterminer un supplémentaire de F puis de G dans R4 .
(*)Exercice 8 : Soit R4 [X] l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 4. On considère l’ensemble :
F = {P ∈ R4 [X], P (0) = P 0 (0) = P 0 (1) = 0}.
1. Montrer que F est un espace vectoriel, déterminer en une base et préciser sa dimension.
2. Montrer que le sous-espace vectoriel G = Vect(1, X, 1 + X + X 2 ) est un supplémentaire de F dans E. En
déterminer deux autres.
Exercice 9 : Dans l’espace vectoriel R4 , on considère les sous-espaces vectoriels :
F = Vect((1, 2, 1, 3), (2, 0, 0, 1)) et G = {(x, y, z, t) ∈ R4 , 2x + y + z = 0, x = y}.
1. Déterminer les dimensions des sous-espaces vectoriels F et G.
1
2. Montrer que F ∩ G = {0}.
3. En déduire que R4 = F ⊕ G.
(*)Exercice 10 : Si dim E = 4 et si F et G sont distincts et de dimension 3, quelle est la dimension de F ∩ G ?
(*)Exercice 11 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n.
Soient F et G deux sous-espace vectoriels de E vérifiant dim(F ) + dim(G) > n.
Montrer que F ∩ G 6= {0E }
(*)Exercice 12 : On désigne par R3 [X], l’espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 3 et à
coefficients réels, B = (1, X, X 2 , X 3 ) sa base canonique. On considère l’endomorphisme f de R3 [X] défini par :
f (1) = 1,
1. Soient les ensembles :
S = {P ∈ R3 [X], f (P ) = P }.
f (X) = X 2 ,
f (X 2 ) = X,
f (X 3 ) = X 3 .
A = {P ∈ R3 [X], f (P ) = −P }.
(a) Montrer que S et A sont des sous-espaces vectoriels de R3 [X], en donner une base et préciser leur dimension.
(b) Montrer que R3 [X] = S ⊕ A, donner la décomposition d’un polynôme quelconque de R3 [X] dans cette
somme directe.
2. Soit E le sous-espace vectoriel de R3 [X], engendré par (1 + X 3 , X, X 2 ).
Donner une base de E ∩ S.
3. Justifier l’existence d’un sous-espace vectoriel F de R3 [X] qui vérifie F ⊕ (E ∩ S) = S.
Quelle est la dimension de F ? Montrer que E ∩ F = {0} puis que R3 [X] = E ⊕ F .
Exercice 13 : Soit E un K-espace vectoriel, F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels de même dimension. Montrer que
F1 et F2 admettent un supplémentaire commun.
Applications linéaires et Formule du rang
(*)Exercice 14 : Soient F un R-espace vectoriel
vecteurs de E telle que

f1



f2
f3



f4
de dimension 3 de base (e1 , e2 , e3 ) et (f1 , f2 , f3 , f4 ) la famille de
= 2e1 − e2 + 3e3
= −e1 + 2e2
= e1 + 3e2 + 5e3
= 5e1 − 4e2 + 6e3
Soient E un R-espace vectoriel de dimension 4 de base (a1 , a2 , a3 , a4 ) et φ ∈ L(E, F ) telle que φ(ai ) = fi pour
i ∈ {1, 2, 3, 4}.
Déterminer le rang de φ, son image et son noyau.
Exercice 15 : On munit R3 d’une base quelconque notée B = (e1 , e2 , e3 ). Soit f ∈ L(R3 ) définie par :

√
− 2e1 + e3
 f (e1 ) = √
2e2 + e3
f (e2 ) =

f (e3 ) = e1 + e2
Déterminer le rang de φ, son image et son noyau.
R2 [X] −→ R2 [X]
(*)Exercice 16 : Soit f :
P 7−→ P − (X + 1)P 0
1. Montrer que f est linéaire.
2. Déterminer une base de Ker f et de Im f ainsi que leur dimension.
3. Déterminer une base de Ker f ∩ Im f .
Exercice 17 : Soit f un endomorphisme de R3 tel que :
f (1, 0, 0) = (3, 2, 1) , f (0, 1, 0) = (1, −1, 2) et f (0, 0, 1) = (3, 7, −4).
Déterminer une base de Ker f et de Im f et préciser leur dimension.
Exercice 18 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Soit f et g deux endomorphismes de E.
On suppose que : E = Ker f + Ker g = Im f + Im g. Montrer que ces deux sommes sont directes.
(*)Exercice 19 : Soit f un endomorphisme non nul de R3 telle que f ◦ f = 0. Déterminer le rang de f .
R3 [X] −→ R[X]
(*)Exercice 20 : On considère l’application f :
P 7−→ P (X + 2) + P (X) − 2P (X + 1)
2
1. Montrer que f ∈ L(R3 [X]).
2. Déterminer une base de Ker f et de Im f est préciser la dimension de ces deux sous-espaces vectoriels.
(*)Exercice 21 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n, et f ∈ L(E). Montrer que :
(Ker(f ) = Im(f )) ⇐⇒ (f 2 = 0 et n = 2 rg(f )).
Exercice 22 : On considère l’application Ψ :
Rn [X] −→
Rn+1
P 7−→ (P (0), P 0 (0), . . . , P (n) (0))
1. Montrer que Ψ est un isomorphisme.
2. Montrer que ∀ (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn+1 , il existe un unique P ∈ Rn [X] tel que P (0) = y0 , P 0 (0) = y1 . . ., P (n) (0) = yn .
3. Déterminer ce polynôme.
Exercice 23 : Montrer que f :
R[X] −→ R[X]
P 7−→ P − P 0
est un automorphisme de R[X].
Exercice 24 : Soit E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie et f ∈ L(E, F ), g ∈ L(F, E) tels que
f ◦ g ◦ f = f et g ◦ f ◦ g = g.
Comparer les rangs de f et de g et montrer que F = Im(f ) ⊕ Ker(g).
Exercice 25 : Soit f un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension finie.
Montrer que les suites (Ker(f n ))n∈N et (Im(f n ))n∈N sont stationnaires à partir du même rang p et qu’on a alors :
Ker(f p ) ⊕ Im(f p ) = E.
Exercice 26 : Soit f un endomorphisme de E de dimension finie.
Montrer que : (E = Ker(f ) ⊕ Im(f )) ⇐⇒ (Ker(f 2 ) = Ker(f )).
Exercice 27 : Soit f un endomorphisme de E de dimension finie.
Montrer que : (E = Ker(f ) ⊕ Im(f )) ⇐⇒ (Im(f 2 ) = Im(f )).
Exercice 28 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n et F un K-espace vectoriel de dimension finie p.
Soit f ∈ L(E, F ), montrer que : rg(f ) 6 min(n, p).
Exercice 29 : Soit E un espace vectoriel de dimension n, F un espace vectoriel de dimension p et f ∈ L(E, F ).
Dans les cas où n < p , n > p , n = p , est-il possible d’avoir f injective , f surjective , f bijective ?
Si oui, donner un exemple de Kn dans Kp , si non le prouver.
Exercice 30 : Soient E, F et G sont trois espaces vectoriels de dimension finie et f ∈ L(E, F ) et g ∈ L(F, G).
1. Montrer que rg (g ◦ f ) 6 min(rg f, rg g).
2. a. Montrer que Ker(g|Im f ) = Ker g ∩ Im f .
b. En déduire que rg( g ◦ f ) = rg f − dim(Ker g ∩ Im f ).
c. Montrer enfin que rg(g ◦ f ) > rg f + rg g − dimF .