Espaces vectoriels et applications linéaires en dimension finie

Marino Alexandre Feuille d’exercices 16
Massena ECS 1
Espaces vectoriels et applications linéaires en dimension finie
Les exercices à regarder sont mentionnés par une *.
A priori les exercices seront traités dans l’ordre suivant :
3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 16, 19, 20, 21
Bases en dimension finie
Exercice 1 : Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie et B= (b1, b2, b3)une base de E. On définit
u1=b1−b2+b3
u2=b1−2b3
u3= 2b1−2b2+b3
1. Montrer que la famille (u1, u2, u3)est une base de E.
2. Déterminer les coordonnées de b1, b2et b3dans cette nouvelle base.
Exercice 2 : Soient ~u = (1,2,3,4) , ~v = (−2,2,3,7) , ~w = (1,3,2,4) et ~x = (4,3,2,1). Trouver une base de
vect(~u, ~v, ~w, ~x)et la compléter en une base de R4.
(*)Exercice 3 : On considère l’espace vectoriel R4et la forme linéaire fsur R4définie par
f:R4−→ R
(x, y, z, t)7−→ x−y+ 2z−t
Déterminer une base et la dimension de Ker (f)et de Im (f).
Exercice 4 :
1. On considère une famille F= (P0, P1, . . . , Pn)de polynômes de R[X]tels que pour tout k∈[[0; n]], degPk=k.
Montrer que Fest une famille libre de R[X].
2. Montrer que tout polynôme de R3[X]s’écrit de manière unique sous la forme : P=a+b(X−1) + c(X−1)2+
d(X−1)3et exprimer a, b, c et dà l’aide de P(1), P 0(1), P 00(1) et P000(1).
(*)Exercice 5 : Pour k∈[[0, n]], on pose : Pk=Xk(1 −X)n−k. Montrer que (P0, . . . , Pn)est une base de Rn[X].
(*)Exercice 6 : Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n>2et Hun hyperplan de E.
Montrer qu’il existe une base (e1, e2, . . . , en)de Etelle que ∀k∈[[1; n]] , ek/∈H.
(On pourra commencer par choisir une base de H, que l’on complétera en une base de E, avant de construire la base
cherchée)
Somme et somme directe en dimension finie
(*)Exercice 7 : On considère l’espace vectoriel R4et les trois vecteurs u= (1,1,0,−1),v= (1,0,0,−1) et w=
(1,0,−1,0). On pose F= Vect(u, v, w)et G={(x, y, z, t)∈R4, x +y−z+ 2t= 0}.
1. Montrer que Gest un sous-espace vectoriel de R4.
2. Déterminer respectivement une base de F,Get F+G.
3. Déterminer un supplémentaire de Fpuis de Gdans R4.
(*)Exercice 8 : Soit R4[X]l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 4. On considère l’ensemble :
F={P∈R4[X], P (0) = P0(0) = P0(1) = 0}.
1. Montrer que Fest un espace vectoriel, déterminer en une base et préciser sa dimension.
2. Montrer que le sous-espace vectoriel G= Vect(1, X, 1 + X+X2)est un supplémentaire de Fdans E. En
déterminer deux autres.
Exercice 9 : Dans l’espace vectoriel R4, on considère les sous-espaces vectoriels :
F= Vect((1,2,1,3),(2,0,0,1)) et G={(x, y, z, t)∈R4,2x+y+z= 0, x =y}.
1. Déterminer les dimensions des sous-espaces vectoriels Fet G.
1

2. Montrer que F∩G={0}.
3. En déduire que R4=F⊕G.
(*)Exercice 10 : Si dim E= 4 et si Fet Gsont distincts et de dimension 3, quelle est la dimension de F∩G?
(*)Exercice 11 : Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n.
Soient Fet Gdeux sous-espace vectoriels de Evérifiant dim(F) + dim(G)> n.
Montrer que F∩G6={0E}
(*)Exercice 12 : On désigne par R3[X], l’espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 3 et à
coefficients réels, B= (1, X, X2, X3)sa base canonique. On considère l’endomorphisme fde R3[X]défini par :
f(1) = 1, f(X) = X2, f(X2) = X, f(X3) = X3.
1. Soient les ensembles :
S={P∈R3[X], f(P) = P}. A ={P∈R3[X], f(P) = −P}.
(a) Montrer que Set Asont des sous-espaces vectoriels de R3[X], en donner une base et préciser leur dimension.
(b) Montrer que R3[X] = S⊕A, donner la décomposition d’un polynôme quelconque de R3[X]dans cette
somme directe.
2. Soit Ele sous-espace vectoriel de R3[X], engendré par (1 + X3, X, X2).
Donner une base de E∩S.
3. Justifier l’existence d’un sous-espace vectoriel Fde R3[X]qui vérifie F⊕(E∩S) = S.
Quelle est la dimension de F? Montrer que E∩F={0}puis que R3[X] = E⊕F.
Exercice 13 : Soit Eun K-espace vectoriel, F1et F2deux sous-espaces vectoriels de même dimension. Montrer que
F1et F2admettent un supplémentaire commun.
Applications linéaires et Formule du rang
(*)Exercice 14 : Soient Fun R-espace vectoriel de dimension 3de base (e1, e2, e3)et (f1, f2, f3, f4)la famille de
vecteurs de Etelle que
f1= 2e1−e2+ 3e3
f2=−e1+ 2e2
f3=e1+ 3e2+ 5e3
f4= 5e1−4e2+ 6e3
Soient Eun R-espace vectoriel de dimension 4de base (a1, a2, a3, a4)et φ∈ L(E, F )telle que φ(ai) = fipour
i∈ {1,2,3,4}.
Déterminer le rang de φ, son image et son noyau.
Exercice 15 : On munit R3d’une base quelconque notée B= (e1, e2, e3). Soit f∈ L(R3)définie par :
f(e1) = −√2e1+e3
f(e2) = √2e2+e3
f(e3) = e1+e2
Déterminer le rang de φ, son image et son noyau.
(*)Exercice 16 : Soit f:R2[X]−→ R2[X]
P7−→ P−(X+ 1)P0
1. Montrer que fest linéaire.
2. Déterminer une base de Ker fet de Im fainsi que leur dimension.
3. Déterminer une base de Ker f∩Im f.
Exercice 17 : Soit fun endomorphisme de R3tel que :
f(1,0,0) = (3,2,1) , f(0,1,0) = (1,−1,2) et f(0,0,1) = (3,7,−4).
Déterminer une base de Ker fet de Im fet préciser leur dimension.
Exercice 18 : Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie. Soit fet gdeux endomorphismes de E.
On suppose que : E= Ker f+ Ker g= Im f+ Im g. Montrer que ces deux sommes sont directes.
(*)Exercice 19 : Soit fun endomorphisme non nul de R3telle que f◦f= 0. Déterminer le rang de f.
(*)Exercice 20 : On considère l’application f:R3[X]−→ R[X]
P7−→ P(X+ 2) + P(X)−2P(X+ 1) 
2

1. Montrer que f∈ L(R3[X]).
2. Déterminer une base de Ker fet de Im fest préciser la dimension de ces deux sous-espaces vectoriels.
(*)Exercice 21 : Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n, et f∈ L(E). Montrer que :
(Ker(f) = Im(f)) ⇐⇒ (f2= 0 et n= 2 rg(f)).
Exercice 22 : On considère l’application Ψ : Rn[X]−→ Rn+1
P7−→ (P(0), P 0(0), . . . , P (n)(0)) 
1. Montrer que Ψest un isomorphisme.
2. Montrer que ∀(y1, . . . , yn)∈Rn+1, il existe un unique P∈Rn[X]tel que P(0) = y0,P0(0) = y1. . .,P(n)(0) = yn.
3. Déterminer ce polynôme.
Exercice 23 : Montrer que f:R[X]−→ R[X]
P7−→ P−P0est un automorphisme de R[X].
Exercice 24 : Soit Eet Fdeux K-espaces vectoriels de dimension finie et f∈ L(E, F ),g∈ L(F, E)tels que
f◦g◦f=fet g◦f◦g=g.
Comparer les rangs de fet de get montrer que F= Im(f)⊕Ker(g).
Exercice 25 : Soit fun endomorphisme d’un K-espace vectoriel Ede dimension finie.
Montrer que les suites (Ker(fn))n∈Net (Im(fn))n∈Nsont stationnaires à partir du même rang pet qu’on a alors :
Ker(fp)⊕Im(fp) = E.
Exercice 26 : Soit fun endomorphisme de Ede dimension finie.
Montrer que : (E= Ker(f)⊕Im(f)) ⇐⇒ (Ker(f2) = Ker(f)).
Exercice 27 : Soit fun endomorphisme de Ede dimension finie.
Montrer que : (E= Ker(f)⊕Im(f)) ⇐⇒ (Im(f2) = Im(f)).
Exercice 28 : Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie net Fun K-espace vectoriel de dimension finie p.
Soit f∈ L(E, F ), montrer que : rg(f)6min(n, p).
Exercice 29 : Soit E un espace vectoriel de dimension n, F un espace vectoriel de dimension pet f∈ L(E, F ).
Dans les cas où n<p,n > p ,n=p, est-il possible d’avoir finjective , fsurjective , fbijective ?
Si oui, donner un exemple de Kndans Kp, si non le prouver.
Exercice 30 : Soient E,Fet Gsont trois espaces vectoriels de dimension finie et f∈ L(E, F )et g∈ L(F, G).
1. Montrer que rg (g◦f)6min(rg f, rg g).
2. a. Montrer que Ker(g|Im f) = Ker g∩Im f.
b. En déduire que rg( g◦f) = rg f−dim(Ker g∩Im f).
c. Montrer enfin que rg(g◦f)>rg f+ rg g−dimF.