MATHEMATIQUES – Réduction des endomorphismes (2ième niveau)

MATHEMATIQUES – Réduction des endomorphismes (2ième niveau)
2008 - 2009
REDUCTION DES ENDOMORPHISMES (2ième NIVEAU)
I – TRIGONALISATION
( ). On dit que
• Définition : Soit
( ) soit triangulaire.
est trigonalisable si et seulement si il existe une base
de
telle que
 Remarque : Toute matrice triangulaire inférieure est semblable à une matrice triangulaire supérieure.
(
En effet, si
( ), en notant
)
(
Et
.
/
( )
+
Ceci explique qu’on privilégie (dans la suite) les matrices triangulaires supérieures.
 Remarque : Si
( ) est trigonalisable, alors les éléments diagonaux d’une matrice triangulaire supérieur
représentant sont les valeurs propres de , le nombres de fois qu’elles sont écrites sur cette diagonale indique
leurs ordre de multiplicité.
( ). Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
Théorème : Soit
(i) est trigonalisable
(ii)
est scindé sur
Démonstration :
()
( )
Supposons
Alors
Donc
(
trigonalisable. Il existe
( )
est scindé sur
( )
∏
(
+ telle que
)
( )
()
Récurrence sur
La propriété est triviale pour
( ) telle que
Supposons la vraie pour un
et soit
soit scindé sur . Alors
( ),
une valeur propre
et un vecteur propre associé , et donc il existe
(
*
On a ( ) est scindé sur . D’après l’hypothèse de récurrence,
( )
( )
Il existe
Notons
(
*
Montrons qu’il existe
On ait (
( ) qui est inversible et d’inverse
( ) telle qu’en notant
*
Page 1
.
(
/
*
admet au moins
( ) telles que
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(
On a
*.
/(
*
(
pour obtenir (
Il suffit de choisir
*
*
donc
.
/
est trigonalisable.
Corollaire :
Soit un ev de dimension finie
(et donc toute matrice carrée de
. Tout endomorphisme de
( ) est trigonalisable)
est trigonalisable.
• Exemple :
(
Trigonaliser
(
+
)
(
) est de dimension 1 et admet pour base
On cherche
( )
pour que
Il faut ( ( )
( ( )
)
)
(
En notant
( )
( ( )
)
(
+
( +
tel que (
) soit libre par exemple
+
(
)
( +
Puis on choisit n’importe quel
(
(
+
( )
)
( )
Par exemple, on choisit
(
( +
+
Ne pas oublier de marquer la suite !
II – POLYNOMES ANNULATEURS
1) Théorème de CAYLEY-HAMILTON
Page 2
( +
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Théorème (CAYLEY-HAMILTON)
( ), le polynôme caractéristique de
annule .
Démonstration :
* +. La famille .
Soit
( )
tel que (
tel que
( )
∑
( )
Notons
( )
(
( )/
ayant
( )) soit libre. Comme (
( )
( )
dans la base (
( )
( )) est liée, il éxiste (
)
( ))
Il est claire que est stable par .
Notons
l’endomorphisme induit par
De
éléments est liée. Il existe donc un plus grand entier
( ). La matrice
sur
( )) de
( ) est
(
)
On cherche une base dans laquelle il y ait un espace stable
(
)
et on a construit
, on a
Et
( )
pour qu’il soit annulateur de .
|
|
|
|
(on développe par rapport a la
( )
(
(
ligne)
(
) (
(
)
)
( )( ) ( ) ( ( )
D’où
D’autre part
donc il existe
|
( )
, - tel que
Et ( )( )
Donc ( )
( )( )
( ).
( )/ ( )
(
)
)
)
)
2) Théorème des noyaux
( )
Théorème : Soit
vectoriels
( ( )) sont en somme directe et
( )
, -
((∏ +) ( )
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entre eux deux à deux. Alors les sous-espaces
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Démonstration :
∏
Notons
∏
Etapes :
( )
- On montre que ∑
( ( ))
(
))
∑
( )
- On montre que
(
- On montre que la décomposition de 0 sur ∑
On a donc
*
+
1) puisque
( )
*
+
( )
2) Montrons que les polynômes
irréductible tel que | .
( )
,…,
( ) est unique
*
( ) on a
sont
+,
et donc ∑
entre eux dans leur ensemble. Soit
*
+
|
|
*
+ *+
|
|
|
Alors
et
avec
contradiction puisque
Ceci montre que
sont
entre eux dans leur ensemble.
, - tels que ∑
D’après le théorème de Bézout
Puisque
est irréductible et que
Il en résulte ∑
( )
( )
( ) on a
Soit
Montrons que
( ) ∑
Ainsi
3) Soit (
)
( ) ∑
( )
( )( )
( )
tel que
où
*
( )
( )( )
+ {
On va montrer que ceci entraine que tous les
*
+ : On a
( )(∑
Soit
)
Corollaire (Réduction à une forme diagonale par blocs)
( )
Soient un ev de dimension finie
,
,
∏
Tels que {
(
telles que
+
.
( ( ))/
( )
et des matrices
( )
(
( )( )
( )( )
( )
∑
sont nuls.
∑
( )( )
+ *+
| , et donc ( )( )
Pour tout de *
∑
( ) d’où
On a vu en 2)
( ) ∑
Ceci entraine que la somme est directe.
*
Notons pour
Il existe une base de
|
+
Démonstration :
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( ) ( )( )
, -
( )
un polynôme
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( )
( )
admet une base . On note
Comme
est stable par la matrice obtenue est bien diagonale par blocs.
On a
• Exemple :
(
( )
|
||
(
|
n’admet aucune valeur réelle. (En particulier,
)(
)
( )) . mais
n’est pas diagonal
est diagonal dans
( )
Soit
( )
(
( ( )) admet pour base (
Donc
De même :
( )
Une base de
( ) est (
(
)
), où
( ,
,( )
(
) où
( ,
( ,
( )
( ,
,
(
,( )
(
,
(
D’où
,
,
3) Polynôme minimal
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{
( )
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, - tel que
, -( ( )
est formé des multiples de
( ) ; il existe
Propriété : Soit
L’ensemble des polynômes annulateur de
, - ( )
• Définition : Si l’ensemble *
, - ( )
+
, tel que *
est appelé le polynôme minimal de .
Propriété : Soit
+ est non réduit à 0, il existe un polynome unitaire unique, noté
( ) alors
un K espace vectoriel de dimension finie,
 Remarque :D’après Cayley Hamilton,
| )
( )
( )|
donc
admet un polynôme minimal.
( ) et
( ).Pour que
Théorème : Soient un espace vectoriel de dimension finie
faut et il suffit que soit scindé simple.
Propriété : Pour tout polynome irréductible de , -, on a |
Autrement dit et
ont les mêmes diviseurs irréductibles.
Corollaire : les valeurs propres de sont les racines de .
Corollaire : Soit un K espace vectoriel de dimension finie
suffit que soit scindé sur .
,
soit diagonalisable, il
|
( ). Pour que
soit trigonalisable, il faut et il
III – REDUCTION DE JORDAN
1) Sous-espaces caractéristiques
( )
( )
• Définition : Soient
caractéristique (ou sous espace spectral) de
vectoriel de défini par
l’ordre de multiplicité de
dans
. On appelle sous espace
(
) le sous espace
associé à la valeur propre , et on note
(
 Remarque : On a
Propriété : Soit
Démonstration :
En notant {
(
(
)
(
( ) tel que
}
)
)
soit scindé sur . Alors
∏
)
(
( ) tel que
Propriété : Soient
l’ordre de multiplicité de dans .
(
soit scindé sur
(
) est stable par , et en notant
1)
est milpotant d’indice
(
))
2)
(
(
) on a :
3) En notant
(
et
(
) est stable par
car
,
(
)
)
Page 6
( )
donc (théorème des noyaux)
( ),
l’ordre de multiplicité de
l’endormorphisme induit par
)
(
( )
)
Démonstration
1)
-
)
* +
)
( ) on a
* +
(
sur
(
dans
),
,
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(
) ( ( ))
(
Donc ( )
- Comme
) ( ))
((
)
(
)(
) ( )
( )
on a (
)
2)
, - tel que
(
)
Par définition de , il existe
)
Puisque (
d’après le théorème des noyaux
( )
(
)
( )
(
)
Il est clair que
( ( )) est stable par .
( )
Notons l’endomorphisme induit par sur
On a
donc
est milpotant.
et ( )
( )
(
)) on a
( ) (
)
- Puisque
est milpotant, en notant
(
(
),
(
)(
)
(
)(
)
- D’autre part, puisque
est annulateur de , et comme ( )
et
n’est pas valeur propre de . Ainsi, les ordres de multiplicité de
dans
et dans
sont égaux, d’où
Méthode pour réduire une matrice milpotente
1) Trouver tel que
et
( est l’indice de milpotence)
2) Chercher des vecteurs indépendants n’appartenant pas à
3) Pour chaque vecteur
trouvé, construire
etc jusqu’à ce qu’on trouve plus de vecteurs.
4) On prend pour nouvelle base
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