MATHEMATIQUES – Réduction des endomorphismes (2ième niveau)

MATHEMATIQUES – Réduction des endomorphismes (2ième niveau)
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I – TRIGONALISATION
• Définition : Soit . On dit que  est trigonalisable si et seulement si il existe une base  de  telle que
 soit triangulaire.
Remarque : Toute matrice triangulaire inférieure est semblable à une matrice triangulaire supérieure.
En effet, si , en notant  
Et   
Ceci explique qu’on privilégie (dans la suite) les matrices triangulaires supérieures.
Remarque : Si  est trigonalisable, alors les éléments diagonaux d’une matrice triangulaire supérieur
représentant  sont les valeurs propres de , le nombres de fois qu’elles sont écrites sur cette diagonale indique
leurs ordre de multiplicité.
Théorème : Soit . Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) est trigonalisable
(ii) est scindé sur 
Démonstration :
Supposons  trigonalisable. Il existe   
   telle que 
Alors   
Donc  est scindé sur 
Récurrence sur 
La propriété est triviale pour 
Supposons la vraie pour un  et soit  telle que  soit scindé sur . Alors  admet au moins
une valeur propre  et un vecteur propre associé , et donc il existe ,  telles que
On a  est scindé sur . D’après l’hypothèse de récurrence,
Il existe 
Notons  
  qui est inversible et d’inverse  
Montrons qu’il existe  telle qu’en notant 
On ait 
REDUCTION DES ENDOMORPHISMES (2ième NIVEAU)

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On a  
Il suffit de choisir  pour obtenir 
  donc 
 est trigonalisable.
Corollaire :
Soit  un ev de dimension finie . Tout endomorphisme de  est trigonalisable.
(et donc toute matrice carrée de  est trigonalisable)
• Exemple :
Trigonaliser   
 est de dimension 1 et admet pour base 
On cherche  pour que   
Il faut 
En notant 
Par exemple, on choisit 
Puis on choisit n’importe quel  tel que  soit libre par exemple 
Ne pas oublier de marquer la suite !
II – POLYNOMES ANNULATEURS
1) Théorème de CAYLEY-HAMILTON

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Théorème (CAYLEY-HAMILTON)
, le polynôme caractéristique de  annule .
Démonstration :
Soit . La famille  ayant  éléments est liée. Il existe donc un plus grand entier
 tel que  soit libre. Comme  est liée, il éxiste 
 tel que
Notons 
Il est claire que  est stable par .
Notons  l’endomorphisme induit par  sur . La matrice 
De  dans la base  de  est 
On cherche une base dans laquelle il y ait un espace stable 
 et on a construit  pour qu’il soit annulateur de .
Et , on a
(on développe par rapport a la  ligne)
D’où 
D’autre part  donc il existe  tel que 
Et 
Donc 
2) Théorème des noyaux
Théorème : Soit  entre eux deux à deux. Alors les sous-espaces
vectoriels  sont en somme directe et

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Démonstration :
Notons 
Etapes : - On montre que 
- On montre que 
- On montre que la décomposition de 0 sur  est unique
On a donc  
1) puisque   on a ,  et donc 
2) Montrons que les polynômes,…, sont  entre eux dans leur ensemble. Soit  un polynôme
irréductible tel que .
Puisque  est irréductible et que 
Alors  et  avec  contradiction puisque 
Ceci montre que  sont  entre eux dans leur ensemble.
D’après le théorème de Bézout  tels que 
Il en résulte 
Soit  on a 
 où 
Montrons que 
Ainsi 
3) Soit  tel que  
On va montrer que ceci entraine que tous les  sont nuls.
Soit  : On a 
Pour tout  de  , et donc 
On a vu en 2)  d’où 
Ceci entraine que la somme est directe.
Corollaire (Réduction à une forme diagonale par blocs)
Soient  un ev de dimension finie , , 
Tels que 
Notons pour 
Il existe une base  de  et des matrices 
 telles que  
Démonstration :

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On a 
 admet une base . On note 
Comme  est stable par  la matrice obtenue est bien diagonale par blocs.
• Exemple :
 n’admet aucune valeur réelle. (En particulier,  n’est pas diagonal ) . mais  est diagonal dans 
Soit 
Donc  admet pour base , où 
De même :    
Une base de  est  où 
D’où    
3) Polynôme minimal