MATHEMATIQUES – Réduction des endomorphismes (2ème niveau)

MATHEMATIQUES – Réduction des endomorphismes (2ème niveau)
2008 - 2009
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I – TRIGONALISATION
• Définition : Soit . On dit que est trigonalisable si et seulement si il existe une base de telle que
soit triangulaire.
Remarque : Toute matrice triangulaire inférieure est semblable à une matrice triangulaire supérieure.
En effet, si , en notant
Et
Ceci explique qu’on privilégie (dans la suite) les matrices triangulaires supérieures.
Remarque : Si est trigonalisable, alors les éléments diagonaux d’une matrice triangulaire supérieur
représentant sont les valeurs propres de , le nombres de fois qu’elles sont écrites sur cette diagonale indique
leurs ordre de multiplicité.
Démonstration :
Supposons trigonalisable. Il existe telle que
Alors
Donc est scindé sur
Récurrence sur
La propriété est triviale pour
Supposons la vraie pour un et soit telle que soit scindé sur . Alors admet au moins
une valeur propre et un vecteur propre associé , et donc il existe , telles que
On a est scindé sur . D’après l’hypothèse de récurrence,
Il existe
Notons qui est inversible et d’inverse
REDUCTION DES ENDOMORPHISMES (2ième NIVEAU)
Théorème : Soit . Les deux propriétés
suivantes sont équivalentes :
(i) est trigonalisable
(ii) est scindé sur

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Montrons qu’il existe telle qu’en notant
On ait
On a
Il suffit de choisir pour obtenir donc
est trigonalisable.
Corollaire :
Soit un ev de dimension finie . Tout endomorphisme de est trigonalisable.
(et donc toute matrice carrée de est trigonalisable)
• Exemple :
Trigonaliser
est de dimension 1 et admet pour base
On cherche pour que
Il faut
En notant
Par exemple, on choisit
Puis on choisit n’importe quel tel que soit libre par exemple

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II – POLYNOMES ANNULATEURS
1) Théorème de CAYLEY-HAMILTON
Théorème (CAYLEY-HAMILTON)
, le polynôme caractéristique de annule .
Démonstration :
Soit . La famille ayant éléments est liée. Il existe donc un plus grand entier
tel que soit libre. Comme est liée, il éxiste
tel que
Notons
Il est claire que est stable par .
Notons l’endomorphisme induit par sur . La matrice
De dans la base de est
On cherche une base dans laquelle il y ait un espace stable
et on a construit pour qu’il soit annulateur de .
Et , on a
(on développe par rapport a la ligne)
D’où
D’autre part donc il existe tel que
Et
Donc

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2) Théorème des noyaux
Théorème : Soit entre eux deux à deux. Alors les sous-espaces
vectoriels sont en somme directe et
Démonstration :
Notons
• Etapes : - On montre que
- On montre que
- On montre que la décomposition de 0 sur est unique
On a donc
1) puisque on a , et donc
2) Montrons que les polynômes ,…, sont entre eux dans leur ensemble. Soit un polynôme
irréductible tel que .
Puisque est irréductible et que
Alors et avec contradiction puisque
Ceci montre que sont entre eux dans leur ensemble.
D’après le théorème de Bézout tels que
Il en résulte
Soit on a où
Montrons que
Ainsi
3) Soit tel que
On va montrer que ceci entraine que tous les sont nuls.
Soit : On a
Pour tout de , et donc
On a vu en 2) d’où
Ceci entraine que la somme est directe.

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Corollaire (Réduction à une forme diagonale par blocs)
Soient un ev de dimension finie , ,
Tels que
Notons pour
Il existe une base de et des matrices
telles que
Démonstration :
On a
admet une base . On note
Comme est stable par la matrice obtenue est bien diagonale par blocs.
• Exemple :
n’admet aucune valeur réelle. (En particulier,
n’est pas diagonal ) . mais est diagonal dans
Soit
Donc admet pour base , où
De même :
Une base de est où
D’où
3) Polynôme minimal