MATHEMATIQUES – Réduction des endomorphismes (2ème niveau)

MATHEMATIQUES – Réduction des endomorphismes (2ème niveau)
2008 - 2009
REDUCTION DES ENDOMORPHISMES (2ième NIVEAU)
I – TRIGONALISATION
• Définition : Soit
. On dit que
soit triangulaire.
est trigonalisable si et seulement si il existe une base
de
telle que
 Remarque : Toute matrice triangulaire inférieure est semblable à une matrice triangulaire supérieure.
En effet, si
, en notant
Et
Ceci explique qu’on privilégie (dans la suite) les matrices triangulaires supérieures.
 Remarque : Si
est trigonalisable, alors les éléments diagonaux d’une matrice triangulaire supérieur
représentant sont les valeurs propres de , le nombres de fois qu’elles sont écrites sur cette diagonale indique
leurs ordre de multiplicité.
Théorème : Soit
suivantes sont équivalentes :
. Les deux propriétés
(i) est trigonalisable
(ii)
est scindé sur
Démonstration :
Supposons
Alors
Donc
trigonalisable. Il existe
telle que
est scindé sur
Récurrence sur
La propriété est triviale pour
Supposons la vraie pour un
et soit
une valeur propre
et un vecteur propre associé
On a
Il existe
Notons
telle que
soit scindé sur
, et donc il existe
est scindé sur . D’après l’hypothèse de récurrence,
qui est inversible et d’inverse
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. Alors
,
admet au moins
telles que
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Montrons qu’il existe
telle qu’en notant
On ait
On a
Il suffit de choisir
pour obtenir
donc
est trigonalisable.
Corollaire :
Soit un ev de dimension finie
(et donc toute matrice carrée de
. Tout endomorphisme de
est trigonalisable)
est trigonalisable.
• Exemple :
Trigonaliser
est de dimension 1 et admet pour base
On cherche
pour que
Il faut
En notant
Par exemple, on choisit
Puis on choisit n’importe quel
tel que
soit libre par exemple
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II – POLYNOMES ANNULATEURS
1) Théorème de CAYLEY-HAMILTON
Théorème (CAYLEY-HAMILTON)
, le polynôme caractéristique de annule .
Démonstration :
Soit
. La famille
ayant
tel que
éléments est liée. Il existe donc un plus grand entier
soit libre. Comme
tel que
Notons
Il est claire que est stable par .
Notons
l’endomorphisme induit par
De
sur
dans la base
de
. La matrice
est
On cherche une base dans laquelle il y ait un espace stable
Et
et on a construit
, on a
(on développe par rapport a la
D’où
D’autre part
donc il existe
pour qu’il soit annulateur de .
ligne)
tel que
Et
Donc
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est liée, il éxiste
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2) Théorème des noyaux
Théorème : Soit
vectoriels
entre eux deux à deux. Alors les sous-espaces
sont en somme directe et
Démonstration :
Notons
• Etapes : - On montre que
- On montre que
- On montre que la décomposition de 0 sur
est unique
On a donc
1)
puisque
on
2) Montrons que les polynômes
irréductible tel que
.
Puisque
,…,
sont
a
entre eux dans leur ensemble. Soit
est irréductible et que
Alors
et
avec
contradiction puisque
Ceci montre que
sont
entre eux dans leur ensemble.
D’après le théorème de Bézout
tels que
Il en résulte
Soit
Montrons que
Ainsi
3) Soit
on a
où
tel que
On va montrer que ceci entraine que tous les
Soit
: On a
,
sont nuls.
Pour tout de
, et donc
On a vu en 2)
d’où
Ceci entraine que la somme est directe.
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et
donc
un polynôme
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Corollaire (Réduction à une forme diagonale par blocs)
Soient un ev de dimension finie
,
,
Tels que
Notons pour
Il existe une base
de
et des matrices
telles que
Démonstration :
On a
admet une base . On note
Comme
est stable par la matrice obtenue est bien diagonale par blocs.
• Exemple :
De même :
n’admet aucune valeur réelle. (En particulier,
n’est pas diagonal
) . mais est diagonal dans
Une base de
Soit
Donc
admet pour base
, où
D’où
3) Polynôme minimal
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est
où
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Propriété : Soit
; il existe
L’ensemble des polynômes annulateur de
tel que
est formé des multiples de
• Définition : Si l’ensemble
tel que
est appelé le polynôme minimal de .
Propriété : Soit
est non réduit à 0, il existe un polynome unitaire unique, noté
un K espace vectoriel de dimension finie,
 Remarque :D’après Cayley Hamilton,
donc
,
alors admet un polynôme minimal.
et
Théorème : Soient un espace vectoriel de dimension finie
faut et il suffit que soit scindé simple.
.Pour que
soit diagonalisable, il
Propriété : Pour tout polynôme irréductible de
, on a
Autrement dit et
ont les mêmes diviseurs irréductibles.
Corollaire : les valeurs propres de sont les racines de .
Corollaire : Soit un K espace vectoriel de dimension finie
suffit que soit scindé sur .
. Pour que
soit trigonalisable, il faut et il
III – REDUCTION DE JORDAN
1) Sous-espaces caractéristiques
• Définition : Soient
caractéristique (ou sous espace spectral) de
vectoriel de défini par
l’ordre de multiplicité de
dans
. On appelle sous espace
associé à la valeur propre , et on note
le sous espace
 Remarque : On a
Propriété : Soit
tel que
soit scindé sur . Alors
Démonstration :
En
notant
Propriété : Soient
l’ordre de multiplicité de
on
tel que
dans .
a
donc
soit scindé sur
est stable par , et en notant
est nilpotente d’indice
1)
et
,
notant
on a :
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des
noyaux)
l’ordre de multiplicité de
l’endormorphisme induit par
2)
3) En
,
(théorème
sur
dans
,
,
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Démonstration
1)
-
est stable par car
Donc
- Comme
on a
donc
est milpotant.
2)
Par définition de
Puisque
, il existe
tel que
d’après le théorème des noyaux
et
Il est clair que
est stable par .
Notons l’endomorphisme induit par sur
On a
- Puisque
est nilpotente, en notant
on a
- D’autre part, puisque
,
est annulateur de , et comme
et
n’est pas valeur propre de . Ainsi, les ordres de multiplicité de
dans
et dans
sont égaux, d’où
Méthode pour réduire une matrice nilpotente
1) Trouver tel que
et
( est l’indice de milpotence)
2) Chercher des vecteurs indépendants n’appartenant pas à
3) Pour chaque vecteur
trouvé, construire
etc jusqu’à ce qu’on trouve plus de vecteurs.
4) On prend pour nouvelle base
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