Modélisation d`un haut parleur électro-dynamique

Cet article traite de la mod´ elisation et d’un haut-parleur ´ electro-dynamique. Les r´ ealisations technologiques
font que ces syst` emes sont rarement lin´ eaires. Ces non-lin´ earit´ es sont de divers types (suspensions m´ ecaniques,
propri´ et´ es magn´ etiques, etc). Cependant, ces transducteurs partagent tous une mˆ eme propri´ et´ e physique : en dehors
des sources, ce sont des syst` emes passifs. Dans ce travail, nous cherchons ` a exploiter explicitement cette propri´ et´ e
et en particulier les fonctions de stockage ´ energ´ etique, pour la mod´ elisation non lin´ eaire. L’approche utilis´ ee
s’appuie sur les ”Syst` emes ` a Hamiltoniens ` a Ports” dont nous rappelons le formalisme. Il s’agit de syst` emes
dynamiques ouverts d´ ecrits comme des ensembles de composants stockant de l’´ energie et de composants dissipant
de la puissance, et sont munis de ports d’interconnexion au travers desquels le syst` eme peut ´ echanger avec son
environnement. Ce formalisme pr´ eserve naturellement le comportement ´ energ´ etique des composants ´ el´ ementaires
et le bilan de leurs ´ echanges de puissance, y compris dans le cas non lin´ eaire. Ceci permet de garantir la passivit´ e
des mod` eles ` a temps continu. Un mod` ele non lin´ eaire, param´ etrique, ` a fonctions d’´ energie bien pos´ ees est produit
sur la base d’un dictionnaire de composants ´ el´ ementaires que nous introduisons. Ce mod` ele sera utilis´ e pour de
futurs travaux d’estimation et de compensation des non-lin´ earit´ es d’un transducteur.
1 Introduction
Les hauts parleurs ´ electrodynamiques sont des syst` emes
bien connus, dont l’utilisation a ´ et´ e g´ en´ eralis´ ee depuis
leur mise ` a disposition, que ce soit dans des applications
de restitution sonore (HiFi), ou comme partie int´ egrante
d’une chaˆ ıne de mesure (contrˆ ole non destructif, acoustique
des salles, HRTF, etc...). Cependant, ce sont des syst` emes
complexes de par leur fonctionnement mˆ eme (couplages
entre plusieurs domaines physiques) et les contraintes li´ ees
`
a leur fabrication. Pour toutes ces raisons, il est difficile
de pr´ evoir ` a la conception leur r´ eponse ` a des stimuli
d’amplitude variable.
Un haut parleur ´ electrodynamique est classiquement
d´ ecrit par le mod` ele de Thiele et Small [1, 2], qui est valide
en petits signaux, c’est ` a dire lorsque le syst` eme est sollicit´ e
dans sa zone de fonctionnement lin´ eaire. Cependant, ce
mod` ele ne traduit pas toutes les nuances de fonctionnement
qui apparaissent lorsque le syst` eme est utilis´ e` a fort niveau.
Ces syst` emes pr´ esentent plusieurs non-lin´ earit´ es inh´ erentes ` a
leur principe de fonctionnement. La mod´ elisation des effets
non lin´ eaires a ´ et´ e largement ´ etudi´ ee depuis, et plusieurs
m´ ethodes ont ´ et´ e propos´ ees : Variation des param` etres
de Thiele et Small [10, 11, 12], s´ eries de Volterra [16]
ou de Wiener-Volterra [17], repr´ esentation d’´ etat non
lin´ eaire [19, 20]. Cependant, l’interpr´ etation physique de ces
diff´ erents mod` eles et la pr´ eservation de la passivit´ e n’est pas
´
evidente.
Dans cet article, nous proposons un mod` ele simplifi´ e
de la partie ´ electro-magn´ eto-m´ ecanique du haut parleur
´
electrodynamique, non lin´ eaire et ` a bilan de puissance
garanti. Ce mod` ele est donn´ e dans le formalisme des
“Syst` emes ` a Hamiltoniens ` a Port” et un dictionnaire
de composants physiques adapt´ es est construit. Ce
dictionnaire inclut en particulier des composants non
lin´ eaires param´ etriques, dans le but de faire de l’estimation
dans second temps. Plus pr´ ecis´ ement, la non-lin´ earit´ e de
la suspension m´ ecanique et les effets non lin´ eaires dus
au comportement du circuit ferromagn´ etique sont pris en
compte.
L’article est organis´ e de la fac¸on suivante. La section 2
rappelle le formalisme des syst` emes ` a Hamiltoniens ` a ports.
Le mod` ele du haut parleur est ensuite d´ etaill´ e section 3.
2 Syst` eme hamiltoniens ` a ports
Nous pr´ esentons les bases du formalisme des Syst` emes
`
a Hamiltoniens ` a Ports sous une forme adapt´ ee ` a notre objet
d’´ etude (voir [3, 4, 5] pour une description plus d´ etaill´ ee).
Nous en donnons une illustration sur un exemple simple.
2.1 Formalisme
Un syst` eme ouvert passif de dimension finie (syst` emes
´
electroniques, de m´ ecanique du solide, etc) peut g´ en´ eralement
ˆ
etre d´ ecrit par un ensemble de nScomposants stockants
(condensateurs et bobines, masses et ressorts, etc), nD
composants dissipatifs (r´ esistances et diodes, amortissements
fluides et frottements solides, etc) et nPports de connexion
qui permettent des ´ echanges avec l’ext´ erieur (fils, points
d’action/r´ eaction, etc).
L’´ energie de chaque composant stockant est exprim´ ee
comme une fonction d´ efinie positive d’un ´ etat appropri´ e
Hs(ηs)=Es≥0 (typiquement, pour une masse m, l’´ etat
ηpeut ˆ etre choisie comme la quantit´ e de mouvement
et H(η)=η2
2.m). De mˆ
eme, la puissance dissip´ ee par
chaque composant dissipatif est exprim´ ee comme une
fonction positive d’une variable appropri´ ee Dd(ωd)≥0
(typiquement, pour un amortissement fluide a, la variable
ωpeut ˆ etre choisie comme la vitesse vet D(v)=a.v2). La
puissance entrante sur chaque port est not´ ee P
p.
Pour chaque domaine consid´ er´ e (voir table 1), on choisit
deux quantit´ es, appel´ ees respectivement flux f et effort e,
dont le produit donne la puissance rec¸ue par les composants
(stockants ou dissipatifs) et par le syst` eme complet via les
ports (convention r´ ecepteur). Pour les composants stockants,
les variables d’effort et de flux peuvent ˆ etre reli´ ees aux
quantit´ es dηs
dt et dHs dηspuisque leur produit fournit la puissance
rec¸ue ( fs.es=dEs
dt =dHs dηs.dηs dt ) : dans le cas de la masse,
F=m.dv
dt =dη dt et v=η m=dH dη. Pour les composants
dissipatifs, la fonction de dissipation est factoris´ ee en
Dd(ωd)=fd.ed=ωd.zd(ωd) : pour l’amortissement,
F=a.v=z(ω). Pour les ports, les efforts et les flux sont
r´ epartis et organis´ es dans deux vecteurs uet y, port par port,
de sorte que up.yp=fp.ep=P
p. Dans cette r´
epartition, on
consid` ere ucomme une entr´ ee et ycomme une sortie du
syst` eme.
En exprimant et combinant les relations entre les efforts
et les flux pour un le syst` eme consid´ er´ e (application des lois

de Kirchhoff, bilans des forces, etc), on obtient les ´ equations
qui gouvernent le syst` eme. Ces ´ equations prennent la forme
d’un syst` eme dit “` a Hamiltonien ` a Ports” [5, (´ eq. 2.53)], not´ e
dans la suite SHP
dη
dt
ω
−y
=
Jη−K Gη
KTJwGω
−GT
η−GT ωJy
.
∇H(η)
z(ω)
u
,(1)
o` u les matrices Jη,Jω,Jysont antisym´ etriques (JT=−J).
∇H :RnS→RnSd´ enote le gradient de l’´ energie totale E=
H(η)=PnS
s=1Hs(ηs) par rapport au vecteur d’´
etat [η]s=ηs.
La fonction z:RnD→RnDexprim´ ee sur le vecteur ω∈RnD
rassemble toutes les fonctions zd(ωd) de sorte que z(ω)T .ω=
PnD
d=1Dd(ωd) soit la puissance dissip´
ee par l’ensemble du
syst` eme. La puissance totale entrant le syst` eme est P
S=
uT.y=PpPp. On v´ erifie imm´ ediatement que cette structure
garantit le bilan de puissance. En effet, le calcul de dE
dt en
exploitant (1) montre que
dE
dt +D−P
S=
∇H(η)
z(ω)
u
T
.
dη
dt
ω
−y
=0.(2)
2.2 Exemple illustratif
Consid´ erons le syst` eme d´ ecrit en figure 1 avec les choix
adapt´ es suivants. Pour le ressort r, l’´ etat est son ´ elongation
a
x
Fk
Fa
Fu
Fm
k
m
Figure 1 – Syst` eme masse m, raideur lin´ eaire kret
amortissement a(sans champ de pesanteur). La position
relative de la masse par rapport ` a l’´ equilibre est not´ ee x.
η1=xret l’´ energie (potentielle) est d´ ecrite par H1(η1)=
1
2.kr.η2
1o`
ukrest la raideur. Pour la masse m, on reprend
le mˆ eme choix que pr´ ec´ edemment : l’´ etat est la quantit´ e de
mouvement η2=m.vmet l’´ energie (cin´ etique) est d´ ecrite par
H2(η2)=1
2.mη2
2. Pour l’amortissement, on reprend aussi le
mˆ eme choix que pr´ ec´ edemment : ω1=vaavec z1(ω1)=
a.ω1. Pour le port, l’entr´ ee est la force ext´ erieure appliqu´ ee ` a
la masse u=Fext et la sortie est la vitesse associ´ ee y=vext.
En ´ ecrivant le bilan des forces et ´ egalant les vitesses des
diff´ erents composants connect´ es, on trouve que
˙xr
m.˙vm
va
−vext
=
0+100
−1 0 −1+1
0+100
0−100
.
Fk
vm
Fa
Fext
,(3)
ce qui correspond exactement ` a la structure (1), bloc par bloc.
2.3 Choix des variables de puissance
On a vu en section 2.1 qu’un choix adapt´ e de variables
d’effort et de flux pour le domaine m´ ecanique correspond
`
a la force et la vitesse. Dans le domaine ´ electrique, on
utilisera le courant et la tension [6]. Dans le domaine
magn´ etique, on utilisera la repr´ esentation gyrateur-capacit´e
dont l’interpr´ etation ´ energ´ etique est directe (voir [13, 14]
pour une description compl` ete). L’ensemble des choix faits
est r´ esum´ e dans le tableau 1.
Tableau 1 – Choix des variables de flux et d’effort
consid´ er´ es pour les domaines de la m´ ecanique, de
l’´ electronique et du magn´ etisme.
Domaine Flux Effort
M´ ecanique Vitesse : v[m.s−1] Force : F[N]
´
Electrique Courant : i[A] Tension : υ[V]
Magn´ etique Variation de flux force magn´ eto-
magn´ etique ˙ φ[V] motrice (fmm) ξ[A]
Nous donnons ci-dessous un bref rappel pour la
description macroscopique du magn´ etisme qui sera utilis´ ee
dans la suite. Un champ magn´ etique est habituellement d´ ecrit
par deux champs compl´ ementaires : le champ d’excitation h
et le champ d’induction b=M0(h)+M(h). Ce dernier est la
superposition de la magn´etisation du vide M0=µ0.ho` uµ0
est la perm´ eabilit´ e magn´ etique du vide et de la magn´etisation
du mat´eriau M, caract´ eris´ ee par la moyenne statistique (` a
une ´ echelle macroscopique) de moments magn´ etiques
microscopiques. En l’absence d’un champ d’excitation, les
orientations ` a l’´ echelle microscopique sont uniform´ ement
r´ eparties de sorte que M=0. Avec l’augmentation du champ
appliqu´ e, les moments s’orientent progressivement sur h
jusqu’` a atteindre une saturation lorsque tout les moments
sont localement colin´ eaires au champ. On consid` ere h
constant sur une ligne de champ, bconstant sur une section
d’un circuit magn´ etique, et on d´ efinit [13, 14]
•la force magn´etomotrice (fmm) ξ=HCh.dl =l.het
•le flux d’induction magn´etique φ=!Sb.dS =S.b,
o` u les variables let Ssont d´ efinies en figure 2.
˙
ϕ
l
S
i
ν
N
˙
ϕg
lg
Sg
Figure 2 – Sch´ ematisation d’un circuit magn´ etique. lest la
longueur moyenne des lignes de champs et Sla surface
moyenne embrass´ ee par le champ d’induction b.

3 Dictionnaire de Composants
La membrane d’un haut parleur ´ electrodynamique est
mise en mouvement sous l’action des forces de Laplace, dues
`
a la variation de la tension aux bornes de la bobine plong´ ee
dans un champ magn´ etique g´ en´ er´ e par un aimant permanent.
Trois domaines physiques sont donc explicitement pris en
compte : ´ electrique, m´ ecanique et magn´ etique. Nous ne
mod´ elisons ni le rayonnement acoustique, ni les effets de
la temp´ erature sur le fonctionnement global. Cependant, le
syst` eme est termin´ e par un port m´ ecanique (force et vitesse
de la membrane), sur lequel on peut connecter une charge
acoustique de complexit´ e variable.
Nous d´ etaillons tout d’abord les ph´ enom` ene de stockage
et de dissipation d’´ energie dans le domaine magn´ etique.
Ensuite, le mod` ele param´ etrique des deux non lin´ earit´ es
trait´ ees (suspension et circuit magn´ etique) est donn´ e.
Finalement, l’ensemble et connect´ e au travers de gyrateurs
pour donner le mod` ele complet sous la forme d’un SHP.
3.1 Circuit magn´ etique
Dans la suite, on n´ eglige la magn´ etisation du vide : h≡
h(b). La variation de la densit´ e d’´ energie stock´ ee sous la
forme d’un champ magn´ etique est alors ˙ E=h(b).˙ b[8]. La
variation d’´ energie totale est donc donn´ ee par
$V
˙
EdV =S.l.h(b).˙ b=ξ. ˙ φ=∇H(η).˙η, (4)
avec η=φet ∇H(η)=S.l.hη
S=ξ.
3.2 Pertes par hyst´ er´ esis dans les ferro-
magn´ etiques
Sans champ d’excitation magn´ etique appliqu´ e, les
lignes de champs se ferment pr´ ef´ erablement ` a l’int´ erieur
du mat´ eriau, de telle sorte qu’un ´ echantillon se divise
spontan´ ement ` a l’´ echelle m´ esoscopique en un grand nombre
de r´ egions de magn´ etisation uniforme, appel´ es les domaines
de Weiss, s´ epar´ e par de tr` es fines zones de transition, les
parois de Bloch (voir [7, §2]). [7, §2.3] La magn´ etisation
des ferromagn´ etiques implique le d´ eplacement des parois de
Bloch qui d´ elimitent les domaines de Weiss. La r´ eversibilit´ e
du processus de magn´ etisation des ferromagn´ etiques est
conditionn´ e par la pr´ esence d’impuret´ es dans le r´ eseau
cristallin du mat´ eriau, qui constituent de microscopiques
vides magn´ etique. L’´ energie magn´ etique totale ´ etant plus
faible lorsque ces vides sont situ´ es sur les parois de Bloch
que lorsqu’elles sont dans les domaines, chaque mur
aura tendance ` a rester en position fixe correspondant ` a
un minimum d’´ energie magn´ etique. Lors des phases de
magn´ etisation/d´ emagn´ etisation, les murs sautent d’une
position ` a l’autre, ce qui se traduit par l’irr´ eversibilit´ e du
processus et l’apparition d’un cycle d’hyst´ er´ esis dans la
courbe h(b) Dans la mesure o` u toute l’´ energie perdue est
convertie en chaleur, ce ph´ enom` ene est bien d´ ecrit par
une force de type frottement visqueux , de coefficient κ, de
puissance associ´ ee
P
κ=−κ|˙
M|=−κ
S˙
φ(5)
Figure 3 – Vue sch´ ematique d’un haut parleur
´
electrodynamique.
3.3 Param´ etrisation des fonctions de stockage
non lin´ eaires
Les principales non-lin´ earit´ es apparaissant dans le
syst` eme sont dues ` a la suspension de l’´ equipage mobile
(raideur non-lin´ eaire) et au comportement du mat´ eriau
constituant le circuit magn´ etique. On fait une repr´ esentation
param´ etrique id´ ealis´ ee qui respecte le bilan de puissance.
On choisit des fonctions impaires (sym´ etriques) comme
relations ∇Hk(x)=F(x) et ∇H(φ)=S.l.hφ
S. Pour
les besoins de l’estimation, les courbes de saturation c(x)
sont construites par combinaison lin´ eaire de fonctions de
bases, en assurant la lin´ earit´ e d’une partie du syst` eme par
rapport aux param` etres α:c(η)=α0.c0(η)+αsat.csat η
ηsat ,
avec comme contraintes : c0(η) pilote le comportement
lin´ eaire autours de l’origine et csat(η) d´ ecrit le ph´ enom` ene
de saturation, ne participe pas au comportement lin´ eaire
de c(η) et est normalis´ ee en 1
2. On choisit c0(η)=η
et csat(η)=4
4−π.tan( π.η 2)−π.η 2. L’´
energie associ´ ee est
H(η)=Rη
0c(˜η)d˜η=α0.H0(η)+αsat.Hsat η
ηsat , avec
H0(η)=η2
2et Hsat(η)=−8.ηsat π(4−π).ln cos π.η 2+π2 8.η2. On
v´ erifie que H(η)≥0, ∀(α0, αsat)∈R+
∗×R+ ∗. On donne
la d´ eriv´ ee seconde du hamiltonien pour la simulation :
∂2
ηH(η)=α0+2.π.αsat
ηsat .(4−π).tan2π.η 2.ηsat 
Figure 4 – Courbes c(η) et H(η) pour α0=1, αsat =0.1 et
ηsat =1.

Tableau 2 – Dictionnaire de composants ´ el´ ementaires dans chaque domaine consid´ er´ e.
Stockage Diagram ´
Etat ηFonction de stockage E=H(η) Effort eFlux f
Masse m.v1
2.m.η2˙η∇H(η)
Raideur non
lin´ eaire xαk,0.H0(η)+αk,sat.Hsat η
xsat ∇H(η) ˙η
Ferromagn´ etique φ αφ,0.H0(η)+αφ,sat.Hsat η
φsat ∇H(η) ˙η
Entrefer φle
2.µ0.µr.Se.η2∇H(η) ˙η
Dissipations Diagram ´
Etat ωPuissance dissip´ ee D(ω)=z(ω).ω Effort eFlux f
Amortissement
fluide v=˙x a.ω2z(ω)ω
Hyst´ er´ esis
magn´ etique ˙
φ κ.|˙ φ|z(ω)ω
Couplages Diagram Diagram
Induction υ
i!= 0N
1
N0!. ξ
˙
φ!
Force de Laplace vc
Fc!= 01
b.lc
b.lc0!. ic
υc!
3.4 Couplages
3.4.1 ´ Electromagn´ etiques
Le th´ eor` eme d’Amp` ere relie la circulation du champ
d’excitation le long d’une ligne de champ d’induction ` a la
somme des courants alg´ ebriques qui traversent la surface
circonscrite : ξ=N.i. La loi de Lenz-Faraday relie la
variation de flux magn´ etique dans un sol´ eno¨ ıde ` a la force
´
electromotrice appliqu´ ee ` a ses bornes : dφ
dt =1 N.υ. L’´
egalit´ e
des puissance dans chaque domaine assure le caract` ere
conservatif de l’interconnexion : υ.i=˙ φ.ξ. Un bobinage de
Ntours ` a noyau ferreux est donc mod´ elis´ e par un gyrateur
[13, 14] :
υ
i!= 0N
1
N0!. ξ
˙
φ!.(6)
3.4.2 ´ Electrom´ ecanique
On consid` ere un conducteur de section Scet de longueur
Lc, soumis ` a une tension υc, en mouvement ` a la vitesse vcde
direction constante dans un champ d’induction borthogonal
`
avc. On exprime le courant parcourant ce conducteur ` a partir
de la distribution volumique de charge ρqse d´ eplac¸ant ` a la
vitesse vqcomme ic=!ρq.vq.dS c. Alors, un ´ el´ ement de
conducteur de longueur dl est soumis ` a la force de Laplace
dFL=ρq.Sc.dl.(vq+vc)×b. Cette force est orthogonale
`
a la vitesse vq+vf, la puissance associ´ ee est donc nulle :
dPL=FL.(vq+vf)=0. En int´ egrant cette relation sur la
longueur totale du conducteur, on obtient que
PL=vc.(b.lc.ic)+ic.(vc.lc.b)
=vc.Fc−ic.υc=0(7)
Ce que l’on r´ esume par
vc
Fc!= 01
b.lc
b.lc0!. ic
υc!.(8)
3.5 Mod` ele complet
Le circuit magn´ etique repr´ esent´ e en figure 5 est mod´ elis´ e
par
˙
φi
˙
φκ
−iB
−˙ φA
=
0 0 +1
N0
0 0 +1
N0
−1
N−1 N0−1 N
0 0 1
N0
.
ξi
ξκ
υB
ξA
,(9)
Finalement, le mod` ele complet du transducteur est donn´ e
par
˙
φi
Fm
vk
˙
φκ
va
−iB
−˙ φA
−vac
=
.−b.l
N. . . 1 N. .
b.l
N.−1b.l N−1.b.l N−1
.1. . . . . .
.−b.l
N. . . 1 N. .
.1. . . . . .
−1
N. . −1 N. . −1 N.
.−b.l
N. . . 1 N. .
.1. . . . . .
ξi
vm
Fk
ξκ
Fa
υB
ξA
Fac
(10)

Figure 5 – Mod` ele de circuit magn´ etique ` a une dimension.
Figure 6 – Mod` ele du haut-parleur transpos´ e dans le
domaine ´ electrique.
o` u les points correspondent ` a des z´ eros.
4 Conclusions
Dans cet article, la partie ´ electro-magn´ eto-m´ ecanique
d’un haut parleur ´ electrodynamique a ´ et´ e mod´ elis´ ee dans le
cadre des Syst` emes ` a Hamiltonien ` a Ports, qui garantissent
un bilan de puissance bien pos´ e. Ce mod` ele inclut des non-
lin´ earit´ es ”type” pour la suspension m´ ecanique, le stockage
magn´ etique et les ph´ enom` enes d’hyst´ er´ esis magn´ etique.
Pour cela un dictionnaire de composants ´ el´ ementaires a
´
et´ e construit. Ces composants sont mod´ elis´ es ` a partir de
fonctions d’´ energie ou de dissipation param´ etriques dans des
espaces de configuration adapt´ es. Une attention particuli` ere
a´ et´ e port´ ee sur la positivit´ e de ces fonctions et leur lin´ earit´ e
en les param` etres, except´ e pour un ”param` etre de saturation”.
En premi` ere perspective, ceci sera exploit´ e pour la mise au
point d’une future m´ ethode d’estimation des param` etres.
Deux autres perspectives concernent la simulation du mod` ele
`
a passivit´ e garantie et son utilisation pour la compensation
des non-lin´ earit´ es du transducteur.
Remerciements
Ce travail a ´ et´ e men´ e dans le cadre du projet ANR
HamecMopSys. La th` ese d’Antoine Falaize est financ´ ee par
l’ ´ Ecole Doctorale EDITE.
R´ ef´ erences
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