Une approche dynamique de la conjecture de Riemann d`apr

Une approche dynamique de la conjecture de Riemann
d’apr`es Bost et Connes
F. Desnoyer
R´esum´e
Il s’agit ici de pr´esenter les travaux de Bost et Connes sur la fonction ζ
de Riemann en suivant la pr´esentation de Paula B. Cohen, [Coh00].
Les deux premi`eres parties posent les notations n´ecessaires `a l’´enonc´e du
probl`eme de Bost-Connes, dans les trois derni`eres parties nous donneront des
id´ees sur les outils qui ont permis `a Bost et Connes de r´esoudre ce probl`eme.
Table des mati`eres
Motivation 2
Introduction : Fonction ζde Riemann 2
1 Syst`emes Dynamiques Statistiques 3
1.1 Syst`eme Statistique Quantique : le cas ´el´ementaire . . . . . . 3
1.2 Fonction de Partition et Groupe des Sym´etries . . . . . . . . 3
1.3 Sur la rupture spontan´ee de sym´etrie... . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 C∗-alg`ebres ............................ 4
Le Probl`eme Pos´e 5
2 Equilibres KMSβ5
3 Quelques ´el´ements du syst`eme dynamique de Bost-Connes 5
3.1 Fonction de Partition du syst`eme . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 L’alg`ebre Adusyst`eme ..................... 6
3.3 Evolution Hamiltonienne du Syst`eme . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Le Syst`eme Dynamique de Bost-Connes : ses sym´etries 6
Une conclusion de cette approche 7
R´ef´erences 7
1

Motivation
Notre motivation pour ce petit expos´e est la suivante : on s’int´eresse ici `a
une direction nouvelle sur l’hypoth`ese de Riemann, une direction qui unifie
des approches alg´ebriques et analytiques, commutatif et non-commutatif.
En effet, on ne le verra pas apparaˆıtre ici, mais les syst`emes dynamiques im-
pliqu´es utilise des propri´et´es alg´ebriques abstraites des corps de classes, ad`eles
et id`eles qui appartiennent `a l’alg`ebre classique (commutative), dans un mˆeme
temps, l’approche que nous choisissons de mettre en valeur ici est li´ee aux
syst`emes dynamiques abstraits, `a la th´eorie ergodique non-commutative, aux
alg`ebres de Von Neumann.
Cette approche met en jeu de belles math´ematiques moins ”‘classiques”’ que
les approches traditionnelles (les plus arithm´etiques) et tr`es transversales.
Il faut lire ce petit expos´e comme un hommage au travail des auteurs cit´es
[BoC95] et [Coh00] et aux belles math´ematiques qu’ils exposent. En souhai-
tant vous donner envie d’en lire plus, bonne lecture.
Introduction : Fonction ζde Riemann
La fonction ζqui est au coeur de la conjecture de Riemann est, histori-
quement, d´efinie ainsi:
ζ(s) =
+∞
X
n=1
1
ns,Re(s)>1
On prolonge analytiquement la fonction ζ`a C− {1}par
ζ(s) = 1
Γ(s)Z1
0
xs
ex−1
dx
x
et comme on le voit, il y a les nombres de Bernoulli qui ne sont pas loins
de cette histoire, puisque l’on va avoir, moyennant la d´efinition suivante :
z
ez−1=∞
X
m=0
Bmzm
m!
l’´egalit´e ζ(−n) = (−1)nBn+1
n+1 et puisque les nombre de Bernoulli d’indices
impairs sont nuls, les z´eros dits triviaux de la fonction ζqui sont les nombres
de la forme −2k,k ∈N.
Si l’on pose ξ(s) = Γ( s
2+ 1)π
−s
2(s−1)ζ(s), alors cette fonction v´erifie
l’´equation fonctionnelle:
ξ(s) = ξ(1 −s)
ce qui am`ene naturellement `a esp´erer la sym´etrie autour de la droite
Re(s) = 1
2et am`ene (de mani`ere non-triviale) `a la conjecture de Riemann:
CONJECTURE 1 (Riemann)
Tous les z´eros non-triviaux de ζsont situ´es sur la droite Re(s) = 1
2.
2

Cette conjecture a pour cons´equence le fait suivant:
CONJECTURE 2 (Distribution des nombres premiers)
∀ε > 0,∀xsuffisament grand (!), π(x)
Li(x)<1 + xε−1
2o`u Li(x) = Rx
2
dt
ln(t)est le
logarithme int´egral de x.
1 Syst`emes Dynamiques Statistiques
1.1 Syst`eme Statistique Quantique : le cas ´el´ementaire
On consid`ere l’espace pr´ehilbertien Cn, les vecteurs de la base canonique
de Cnsont interpr´et´es comme ”‘les ´ev`enements ´el´ementaires”’ du syst`eme
statistique.
Les ´ev`enements classiques sont alors les ´el´ements de D=diag(C,n) (ma-
trices diagonales de A=Mn(C)). Les matrices Eij qui forment la base ca-
nonique de Asont des ´ev`enements mutuellement ind´ependants (c’est-`a-dire
qui commutent pour le produit usuel de matrices).
DEFINITION 1
1. On appelle Etat Quantique toute matrice P∈ A telle que P=P∗=P2.
2. Deux ´ev`enements quantiques seront d´ependants si EF −F E 6= 0.
3. Une matrice Mest positive si ∀u∈Cn, < Mu,u >≥0.
4. Un Etat sur Aest une matrice ρtelle que ρpositive et T r(ρ) = 1.
L’analogue de la notion de probabilit´e est alors donn´ees par la d´efinition
suivante:
DEFINITION 2
Soit ρun ´etat sur Aalors la forme lin´eaire ψd´efinie par ∀M∈ A,ψ(M) =
T r(ρM)est une forme lin´eaire positive et pour toute projection Eon dit que
ψ(E)est la probabilit´e de E.
Pour ce qui est des variables al´eatoires, on utilise les matrices hermi-
tiennes:
DEFINITION 3
Soit Mune matrice hermitienne (M=M∗) alors ψ(M)est appel´ee Esp´erance
de Mou valeur attendue de Mdans l’´etat ρ.
1.2 Fonction de Partition et Groupe des Sym´etries
Une Evolution Hamiltonienne du syst`eme est une ´evolution qui prend la
forme
∀M∈ A,∀t∈R,σt(M) = eitH0Me−itH0
avec H0une matrice hermitienne donn´ee, en particulier cette ´evoution hamil-
tonienne conserve la trace, donc ces ´evoltuions se font sur des iso-”’traces”’.
On pourra se rappeler que les syst`emes dynamiques classiques hamiltoniens
sont r´egis par des r`egles similaires.
3

On envient alors `a des consid´erations de physique : on cherche la mesure at-
tendue de la quantit´e observable (c`ad Mhermitienne) du syst`eme en ´equilibre
`a la temp´erature T=1
kβ , le r´esultat attendu est ϕ(M), Etat de Gibbs du
syst`eme.
On rappelle que k≈1,38 ×10−23JK−1d´esigne la constante de Boltzmann
issue de la thermodynamique classique.
DEFINITION 4
Soit Mune observable du syst`eme r´egi par σtd´efinie comme ci-dessus alors
l’Etat de Gibbs du syst`eme est
ϕ(M) = T race(Me−βH0)
T race(e−βH0)
La quantit´e T race(e−βH0)est appel´ee fonction de partition du syst`eme not´ee
ZH0.
1.3 Sur la rupture spontan´ee de sym´etrie...
Dans les syst`emes physiques on constate que l’entropie grandissant, les
sym´etries s’amenuisent, par exemple dans le cas d’un m´etal magn´etique, le
groupe SO(3,R) agit sur le m´etal, pour βpetit, donc `a haute temp´erature,
le orientations des aimants sont identiquement distribu´ees et SO(3,R) agit
transitivement sur le m´etal (on peut toujours trouver un aimant dans une di-
rection donn´ee, enfin, pour un physicien...!), βaugmentant, le m´etal refroidit
et la sym´etrie va disparatre `a une certaine temp´erature critique T0. (Bon l`a
c’est de la physique.)
1.4 C∗-alg`ebres
Il n’est pas possible d’exposer ici TOUTE la th´eorie des C∗-alg`ebres,
th´eorie riche et au-del`a du but de cet expos´e.
DEFINITION 5 (Pr´ eliminaires)
Soit Hun espace de Hilbert, L(H)l’espace des applications lin´eaires continues
de Hdans H,
Aune sous-alg`ebre de L(H)est dite involutive si ∀S∈A,S∗=S,
A′={S∈ L(H)/SM =MS,∀M∈A}.
DEFINITION 6 (Alg` ebre de Von Neumann)
Une sous-alg`ebre Ade L(H), involutive et telle que A′′ =Aest appel´ee une
alg`ebre de Von Neumann. C’est un cas particulier de C∗-alg`ebre.
Pour le principe donnons une d´efinition de C∗-alg`ebre:
DEFINITION 7 (C∗-alg` ebre)
Une sous-alg`ebre involutive de L(H), normiquement ferm´ee est appel´ee une
C∗-alg`ebre d’op´erateurs de H.
La vraie difficult´e se cache dans l’´etude des exemples d’alg`ebres de Von
Neumann et, ce fˆut l’essentiel des r´ealisations d’Alain Connes dans sa th`ese,
la classification de ces alg`ebres (en fait de leurs facteurs).
4

Le Probl`eme Pos´e
Construire un syst`eme dynamique (A,σt) dont la fonction de partition
soit ζ(β) avec une rupture spontan´ee de sym´etrie au pˆole β= 1 et ayant pour
groupe de sym´etrie un groupe de sym´etrie naturel.
La derni`ere partie de ce probl`eme est, naturellement, assez vague, il parais-
sait difficile de prescrire un groupe de sym´etrie `a un tel syst`eme dynamique,
et de fait, on pourra constater, a posteriori, que le groupe de sym´etrie de ce
syst`eme dynamique est... pour le moins brutal.
2 Equilibres KMSβ
Les ´equilibres KMSβsont des objets issus de la th´eorie des Alg`ebres de
Von Neumann (C∗-alg`ebres). Un ´etat d’´equilibre est ici d´efini par la condition
de Kumo-Martin-Schwinger `a la temp´erature inverse β. Le sujet apparaˆıt
beaucoup dans les math´ematiques li´ees `a la physique actuelle. Intuitivement,
il semble s’agir d’un probl`eme de d´eformation holomorphe entre deux ´etats
d´ependants.
Nous nous contenterons d’une seule d´efinition :
DEFINITION 8 (KMSβ)
Soit (A,σt)un syst`eme dynamique avec Aune C∗-alg`ebre, σtun groupe `a un
param`etre d’automorphismes de A. Pour β > 0, un ´etat ϕest un ´etat KM Sβ
si et seulement si il existe une fonction holomorphe Fx,y holomorphe dans la
bande 0< Im(z)< β et continue au bord qui permet de passer de xσt(y)`a
σt(y)xc’est-`a-dire
∀t∈R,Fx,y(t) = ϕ(xσt(y)) Fx,y(t+iβ) = ϕ(σt(y)x)
3 Quelques ´el´ements du syst`eme dynamique
de Bost-Connes
3.1 Fonction de Partition du syst`eme
Soit H=l2(N), l’espace de Hilbert des suites de carr´e sommable, on
consid`ere l’op´erateur Hd´efini sur la base canonique de Hpar Hεn=ln(n)εn.
Remarquons que D(H)⊂ H mais que cet op´erateur n’est pas d´efini pour
tous les ´el´ements de Hpuisqu’il n’y a aucune raison que si u∈ H on ait
Hu ∈ H, on pourra penser `a un=1
√nln(n)qui est dans Hmais pour laquelle
Hu /∈ H.
PROPOSITION 1
ZH=ζ
En effet,
ZH(β) = T race(e−βH ) = X
n≥1
< e−βH εn,εn>=X
n≥1
n−βkεnk2=ζ(β)
5