énoncé

Devoir `a la maison 7 `a rendre le vendredi 20 janvier 2012
Une soci´et´e de location de voitures poss`ede trois agences, une `a Rennes, une `a Lyon, une `a Marseille. Lorsqu’un client
loue une voiture, un jour donn´e, dans une des trois villes, il la restitue le soir mˆeme dans une des trois agences. Une
´etude statistique a permis de montrer que, pour une voiture donn´ee :
– si elle est lou´ee `a Rennes un certain jour, alors elle est laiss´ee le soir `a Lyon avec la probabilit´e 1
4, tandis qu’elle
est laiss´ee `a Marseille avec la probabilit´e 3
4;
– si elle est lou´ee `a Lyon, alors elle est laiss´ee `a Rennes avec la probabilit´e 1
2, laiss´ee `a Marseille avec la probabilit´e
1
4, et ramen´ee `a Lyon avec la probabilit´e 1 4;
– si elle est lou´ee `a Marseille, elle est laiss´ee `a Rennes avec la probabilit´e 1
2, laiss´ee `a Lyon avec la probabilit´e 1 4, et
ramen´ee `a Marseille avec la probabilit´e 1
4.
Pour tout nde N, on note rn(resp. ln,mn) la probabilit´e que la voiture se trouve `a Rennes (respectivement Lyon,
Marseille) le soir du n-i`eme jour. On suppose qu’au d´epart, la voiture est `a Rennes.
1. Pour tout entier nde N, on d´efinit la matrice colonne `a trois lignes Unpar : Un=
rn
ln
mn
.
(a) introduire des ´ev´enements adapt´es `a la notation des probabilit´es cherch´ees
(b) d´eterminer r0,m0et l0, puis expliciter U0.
(c) Montrer que pour tout n∈N,rn+1 =1
2ln+1 2mnet d´eterminer deux relation analogues sur ln+1 et mn+1.
(d) En d´eduire que, pour tout nde N, on a la relation Un+1 =AUn, o`u Aest une matrice `a d´eterminer.
(e) Montrer alors que pour tout n∈N,Un=AnU0.
2. On se propose dans cette question de calculer An, et on introduit la matrice S=
4 1 0
3 0 1
5−1−1
.
(a) Montrer que Sest inversible et expliciter S−1.
(b) On pose ∆ = S−1AS. Expliciter, sous forme de tableau, la matrice ∆, puis la matrice ∆n, pour n≥1.
(c) Montrer alors que, pour tout nde N∗, on a An=S∆nS−1. En d´eduire l’expression de An.
3. (a) Exprimer, pour tout nde N×,rn, ln, mnen fonction de n.
(b) D´eterminer les limites de ces probabilit´es quand ntend vers +∞.
4. Le soir d’un jour donn´e, si on d´esire, o`u qu’elle se trouve, rapatrier la voiture `a Rennes, le coˆut de cette op´eration
est de 100 euros si la voiture est `a Lyon, de 150 euros si la voiture est `a Marseille, et ´evidemment nul si la voiture
est `a Rennes.On note Xnla variable al´eatoire ´egale au coˆut de cette op´eration le soir du n-i`eme jour.
Donner la loi de Xnpuis calculer l’esp´erance math´ematique de Xn.
Devoir `a la maison 7 `a rendre le vendredi 20 janvier 2012
Une soci´et´e de location de voitures poss`ede trois agences, une `a Rennes, une `a Lyon, une `a Marseille. Lorsqu’un client
loue une voiture, un jour donn´e, dans une des trois villes, il la restitue le soir mˆeme dans une des trois agences. Une
´etude statistique a permis de montrer que, pour une voiture donn´ee :
– si elle est lou´ee `a Rennes un certain jour, alors elle est laiss´ee le soir `a Lyon avec la probabilit´e 1
4, tandis qu’elle
est laiss´ee `a Marseille avec la probabilit´e 3
4;
– si elle est lou´ee `a Lyon, alors elle est laiss´ee `a Rennes avec la probabilit´e 1
2, laiss´ee `a Marseille avec la probabilit´e
1
4, et ramen´ee `a Lyon avec la probabilit´e 1 4;
– si elle est lou´ee `a Marseille, elle est laiss´ee `a Rennes avec la probabilit´e 1
2, laiss´ee `a Lyon avec la probabilit´e 1 4, et
ramen´ee `a Marseille avec la probabilit´e 1
4.
Pour tout nde N, on note rn(resp. ln,mn) la probabilit´e que la voiture se trouve `a Rennes (respectivement Lyon,
Marseille) le soir du n-i`eme jour. On suppose qu’au d´epart, la voiture est `a Rennes.
1. Pour tout entier nde N, on d´efinit la matrice colonne `a trois lignes Unpar : Un=
rn
ln
mn
.
(a) introduire des ´ev´enements adapt´es `a la notation des probabilit´es cherch´ees
(b) d´eterminer r0,m0et l0, puis expliciter U0.
(c) Montrer que pour tout n∈N,rn+1 =1
2ln+1 2mnet d´eterminer deux relation analogues sur ln+1 et mn+1.
(d) En d´eduire que, pour tout nde N, on a la relation Un+1 =AUn, o`u Aest une matrice `a d´eterminer.
(e) Montrer alors que pour tout n∈N,Un=AnU0.
2. On se propose dans cette question de calculer An, et on introduit la matrice S=
4 1 0
3 0 1
5−1−1
.
(a) Montrer que Sest inversible et expliciter S−1.
(b) On pose ∆ = S−1AS. Expliciter, sous forme de tableau, la matrice ∆, puis la matrice ∆n, pour n≥1.
(c) Montrer alors que, pour tout nde N∗, on a An=S∆nS−1. En d´eduire l’expression de An.
3. (a) Exprimer, pour tout nde N×,rn, ln, mnen fonction de n.
(b) D´eterminer les limites de ces probabilit´es quand ntend vers +∞.
4. Le soir d’un jour donn´e, si on d´esire, o`u qu’elle se trouve, rapatrier la voiture `a Rennes, le coˆut de cette op´eration
est de 100 euros si la voiture est `a Lyon, de 150 euros si la voiture est `a Marseille, et ´evidemment nul si la voiture
est `a Rennes.On note Xnla variable al´eatoire ´egale au coˆut de cette op´eration le soir du n-i`eme jour.
Donner la loi de Xnpuis calculer l’esp´erance math´ematique de Xn.