a – b - Mathos

Arithmétique
1] Les ensembles de nombres
1.1. Nombres entiers naturels
Description : tous les nombres entiers positifs
Notation :
ℕ
Exemples :
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...
1.2. Nombres entiers relatifs
Description : tous les nombres entiers positifs et négatifs
Notation :
ℤ
Exemples :
... ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; ...
1.3. Nombres décimaux
Description : tous les nombres qui ont une écriture
décimale avec un nombre fini de
chiffres après la virgule
Notation :
ID
Exemples :
4,05 ; -3,13 ; 5 ; -4,9
1.4. Nombres rationnels
Description : tous les nombres qui peuvent être
écrits sous la forme d'un quotient
d'entiers relatifs
Notation :
ℚ
6
1 41
Exemples :
;− ;
2
3
5
1.5. Nombres réels
Description : tous les nombres connus en classe de troisième
Notation :
ℝ
2
Exemples :
0 ; -8 ;
;  ; 3
3
2] PGCD de deux nombres entiers
naturels non nuls
2.1. Diviseur
Soient a ∈ ℕ et b ∈ ℕ* (l'étoile signifie « non nul »);
On dit que b est un diviseur de a quand le reste de
la division de a par b est nul (autrement dit, lorsque le
quotient a÷b est un nombre entier).
On dit aussi que a est un multiple de b.
Exemples :
●
●
6 est un diviseur de 42 car : 42 ÷ 6 = 7
36 est un multiple de 2 car : 36 ÷ 2 = 18
2.2. PGCD
Soient a ∈ ℕ et b ∈ ℕ* ;
Les diviseurs communs aux nombres a et b sont les
nombres qui divisent à la fois a et b.
Le Plus Grand Commun Diviseur de deux nombres
a et b est appelé le PGCD de a et b.
On le note PGCD(a ; b).
Remarque :
Il y a toujours un diviseur commun à deux
nombres entiers, car 1 divise n'importe quel nombre.
Exemple :
Déterminer PGCD(12 ; 20).
1 Liste des diviseurs de 12 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12
2 Liste des diviseurs de 20 : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20
3 Liste des diviseurs communs : 1 ; 2 ; 4
4 Plus Grand Diviseur Commun : PGCD(12 ; 20) = 4
3] Algorithmes
3.1. Algorithme des différences
Pour tous a ∈ ℕ et b ∈ ℕ*, tels que a > b :
PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a – b).
Dans l'algorithme des différences, le PGCD est la
dernière différence non nulle.
Exemple :
Déterminer PGCD(84 ; 36) à l'aide de l'algorithme
des différences.
84 – 36 = 48
48 – 36 = 12
36 – 12 = 24
24 – 12 = 12
12 – 12 = 0
Puisque la dernière différence non nulle est égale à 12,
alors d'après l'algorithme des différences,
PGCD(84 ; 36) = 12
3.2. Algorithme d'Euclide
Pour tous a ∈ ℕ et b ∈ ℕ*, tels que a > b :
PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r)
où r est le reste de la division euclidienne de a par b.
Dans l'algorithme d'Euclide, le PGCD est le dernier
reste non nul.
Exemple :
Déterminer PGCD(1 053 ; 325) à l'aide de
l'algorithme d'Euclide.
1 053 = 325 × 3 + 78
325 = 78 × 4 + 13
78 = 13 × 6 + 0
Puisque le dernier reste non nul est égal à 13, alors
d'après l'algorithme d'Euclide, PGCD(1 053 ; 325) = 13.
4] Fraction irréductible
4.1. Nombres premiers entre eux
On dit que deux nombres sont premiers entre eux
lorsque leur PGCD est égal à 1.
Exemple :
Démontrer que les nombres 5 et 26 sont premiers
entre eux.
26 = 5 × 5 + 1
5=1×5+0
Puisque le dernier reste non nul est égal à 1, alors
d'après l'algorithme d'Euclide, PGCD(26 ; 5) = 1 et les
nombres 5 et 26 sont premiers entre eux .
4.2. Définition
On dit qu'une fraction est irréductible lorsque son
numérateur et son dénominateur sont premiers entre
eux.
Exemple :
12
est une fraction irréductible car PGCD(12 ; 5) = 1.
5
22
n'est pas une fraction irréductible car PGCD(22 ; 4) = 2.
4
4.3. Propriété
Soient a ∈ ℕ et b ∈ ℕ* ;
a
irréductible, on divise
b
son numérateur et son dénominateur par le PGCD de
a et b.
Pour rendre une fraction
Exemple :
630
Écrire sous forme irréductible la fraction
.
924
924 = 630 × 1 + 294
630 = 294 × 2 + 42
294 = 42 × 7 + 0
Puisque le dernier reste non nul est égal à 42, alors
d'après l'algorithme d'Euclide, PGCD(924 ; 630) = 42.
630 42×15 15
=
=
924 42×22 22